Evolution kollektiver Struktur in den seltenen Erden auf der Basis des Nilsson Modells

1. Evolution kollektiver Struktur in den seltenen Erden auf der Basis des Nilsson Modells - Christoph Hinke -

2. Gliederung • Kernmodelle im Überblick • Motivation und Ziel der Diplomarbeit • Das Nilsson Modell • Paarkorrelationen • Wie kann man kollektive Anregungszustände des Kerns • auf der Basis des Einteilchenmodells verstehen? • Diskussion der Ergebnisse für deformierte • gg-Kerne der seltenen Erden

3. Das Schalenmodell • phänomenologisches Einteilchenmodell • Nukleonen bewegen sich unabhängig voneinander in einem mittleren Potential • Besetzung der Einteilchenzustände nach dem Pauli Prinzip • zusätzliche Annahme von Restwechselwirkungen VRest • CLS und CLL sind die Stärkeparameter der Spin-Bahn und Bahn-Bahn Kopplung • Spin-Bahn Kopplung liefert die magischen Zahlen 50, 82 und 126 • kugelsymmetrisches Potential V(r) Woods-Saxon Potential oder H.O. Potential • deformiertes Schalenmodell  Nilsson Modell • Beschreibung von Einteilchenanregungen sowie • kollektiven Anregungen

4. Geometric Collective Model (GCM) • Kern ist Tropfen einer inkompressiblen Flüssigkeit, dessen Oberfläche zu • Schwingungen angeregt werden kann • GCM beschreibt lediglich kollektive Anregungen des Kerns • Entwicklung der Kernoberfläche nach Kugelflächenfunktionen – die • Koeffizienten der Entwicklung dienen als kollektive Koordinaten • λ=2 Quadrupolmoden  3 Euler Winkel und • 2 Deformationsparamter β, γ • Anregungen des Kerns: Rotationen um Achsen senkrecht • zur Symmetrieachse sowie Oszillationen in β und γ • Vereinfachter GCM Hamilton Operator

5. Geometric Collective Model (GCM) (2) • Grenzfälle der durch das GCM beschriebenen Kernstruktur: • Sphärischer Vibrator E = nħω ; R4/2= 2.0 • Axialsymmetrischer Rotator E =J(J+1) ; R4/2= 3.33 • γ-instabiler Rotator R4/2= 2.5

6. Interacting Boson Model (IBA) • Algebraisches Modell: Starke Vereinfachung des Schalenmodells – die • relevanten Freiheitsgrade werden extrahiert und durch Elemente der Algebra • der Gruppe U(6) ausgedrückt Unabhängige Teilchen- bewegung im Zentralfeld + kurzreichweitige attraktive RestWW • Das IBA basiert auf der Annahme, dass energetisch tiefliegende kollektiveZustände • primär durch die Anregung von Paaren von identischen Fermionen, die zu L=0 (s-Boson) • und L=2 (d-Boson) gekoppelt sind, beschrieben werden können • Nur Valenznukleonen – Bosonenzahl für einen Kern ist festgelegt • N = nS + nD = ½ # der Val. Protonen + ½ # der Val. Neutronen 154Sm: 1014 2+ Zustände im Schalenmodell – IBA: N = 5 + 6 = 11 Bosonen  262+ Zustände • 6 Bosonen Erzeuger-/Vernichteroperatoren s+, s, d+, d  (=-2,-1,0,1,2) Hamilton Operator H = HS + HD + HInteraction • für große Bosonenzahlen reduziert sich der IBA- zum GCM- Hamilton Operator

7. Interacting Boson Model (IBA) (2) • 3 Dynamische Symmetrien: Die Untergruppen U(5), SU(3) und O(6) der • Gruppe U(6) sind von besonderem physikalischem Interesse U(5) entspricht dem sphärischen Vibrator im GCM SU(3) entspricht dem deformierten axialsymmetrischen Rotator im GCM O(6) entspricht dem γ-instabilen Rotator im GCM • Die meisten Kerne erfüllen nicht die strengen Kriterien von U(5), SU(3), O(6) •  Notwendigkeit numerischer Berechnungen, bei denen man den HIBA in der • s-d Bosonen Basis diagonalisiert • Vereinfachter IBA Hamilton Operator im ECQF (Extended Consistent Quadrupole Formalism) Energien U(5) :  = 0  beliebig SU(3) :  = 1 = -1.32 O(6) :  = 1 = 0 Übergangswahrscheinlichkeiten

8. Motivation • Im Jahr 2004: IBA Fits der Parameter  und  an tiefliegende kollektive • Energiezustände (g.s.-, γ-, K=0-Bande) sowie an wichtige B(E2) Werte • für Gd, Dy, Er, Yb, Hf Isotope im ECQF (E.A. McCutchan, N.V. Zamfir, and R.F. Casten, Phys. Rev. C69, 064306 (2004)) Darstellung im Symmetrie Dreieck:  und  werden in Polarkoordinaten umgesetzt  = 1 = 0 IBA Symmetrie Dreieck  = 60°  = 1 = -1.32  = 0  beliebig  = 0°  Ist es möglich den Unterschied in der strukturellen Entwicklung zwischen den Gd, Dy, Er und den Yb, Hf Isotopen auf mikroskopischer Ebene zu verstehen?

9. Motivation (2) γ-instabiler Rotator  = 60° GCM Potential γ-flach C´3 = 0 C´3 > 0 γ-steif  = 0° deformierter axialsymmetrischer Rotator • Der IBA Winkel  ist mit der „Form“ des GCM Potentials in γ verknüpft Untersuchung der Zusammensetzung der Wellenfunktion des Zustandes 2+ γ der γ-Vibration im Einteilchenmodell, um Anhaltspunkte dafür zu finden, ob sich überhaupt und falls ja, wodurch sich mikroskopisch die Veränderung der „Steifheit“ des Potentials in diesem Freiheitsgrad äußert.

10. Das Nilsson Modell • Sphärischer Kern: Im Schalenmodell wird ein kugelsymmetrisches Potential • angenommen  Ein Nukleon sieht das gleiche Potential unabhängig von der • Orientierung seiner Bahnebene β = 0 • Quantenzahlen n l j mj • Jeder Zustand n l j im Schalenmodell ist 2j+1-fach entartet

11. Das Nilsson Modell (2) • Deformierter Kern: Im Nilsson Modell wird ein deformiertes Potential ange- • nommen. Die Kernkraft ist von kurzer Reichweite und anziehend. Nilsson Diagramm: Energie β > 0    = sin-1 (K/j) Prolate Deformation

12. Das Nilsson Modell (3) • Anisotropes H.O. Potential im Hamilton Operator für den deformierten Kern • Quantenzahlen K  [ N nz  ] Exakte QZ: K Projektion des Gesamtdrehimpulses auf die Symmetrieachse  die Parität des Zustandes  = (-1)N N Gesamtzahl der Oszillatorquanten Gute QZ im stark deformierten Kern – „asymptotische QZ“: nz Zahl der Oszillatorquanten in z-Richtung (Symmetrieachse) ,  Projektion des Bahndrehimpulses, Spins (± ½) auf die z-Achse K =  ±  Jeder Zustand im Nilsson Modell ist 2-fach entartet. Ein Nukleon kann den Kern im Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn in der gleichen Bahnebene umrunden ( ± K ). • Nilsson Wellenfunktionen zur Berechnung von WW-Matrixelementen Linearkombinationen der analytischen Lösungen im nicht deformierten oder stark deformierten Fall

13. Paarkorrelationen in gg-Kernen • Paarkraft ist attraktive Wechselwirkung zwischen identischen Teilchen • Zustand, in dem zwei Nukleonen zu J = 0 koppeln, ist energetisch stark abgesenkt •  In den Nilsson Orbitalen im Grundzustand sind jeweils die Nukleonen mit • ± K gepaart • Paarstreuung verursacht verschmierte Besetzungswahrscheinlichkeit der • Nukleonenpaare in den Nilsson Zuständen um die ursprüngliche Fermikante  • „BCS Grundzustand“ ist energetisch am Günstigsten V(i)2 Besetzungswahrscheinlichkeit U(i)2 Nichtbesetzungswahrscheinlichkeit V(i)2 +U(i)2 =1   50 MeV   1 MeV i Einteilchenenergien der Nilsson Orbitale

14. Paarkorrelationen in gg-Kernen (2) Angeregte Zustände • Ohne Paarkraft: Teilchen-Loch Anregungen zwischen Nilsson Orbitalen, die • durch den Operator einer Wechselwirkung verbunden sind • Mit Paarkraft: Teilchen-Loch Anregungen  2 Quasiteilchen Anregungen • Aufbrechen von Nukleonenpaaren kostet Energie – • keine Anregungen unterhalb der Paarungslücke typischer Wert von 2  1.5-2.0 MeV • Modifikation der Wechselwirkungsmatrixelemente

15. Random Phase Approximation* • Beschreibung kollektiver Zustände auf der Basis des Einteilchenmodells • Annahme über die Zusammensetzung des Zustandes 2+ γ der γ-Vibration: Superposition von verschiedenen 2 QT-Anregungen zwischen Nilsson Orbitalen (i,m), die durch den Operator r2Y2±2 der Quadrupolwechselwirkung verbunden sind Auswahlregeln von r2Y2±2: N = 0, nz = 0,  = 0, K = ±2,  = ±2,  = +1 • Grundzustand |RPA> entspricht Grundzustand |BCS> + 2 QT Anregungen • Die Amplituden yim sind • deutlich kleiner als die • Amplituden xim ground state * Der Name RPA stammt von Näherungen, die bei der ersten theoretischen Herleitung dieser Methode gemacht wurden

16. Random Phase Approximation (2) • Lösen der Schrödingergleichung für den kollektiven Zustand |c> mit Hilfe der • Variationsrechnung liefert: - Energie Ec von |c> wobei Ec deutlich unterhalb der Mindestenergie für 2 QT Anregungen liegt • Amplituden xim und yim und die Amplitudenquadrate Cim, die ein Maß für die Bedeutung • der Nilsson Orbitalkombinationen (i,m) in der Gesamtwellenfunktion sind _ Ec = E  1 MeV E2QT > 1.5 MeV  Die Orbitalkombinationen (m,i) sind bedeutend für die γ-Vibration, falls sie - möglichst nahe an der Fermikante  liegen - das Quadrupol-Wechselwirkungsmatrixelement MBCSim groß ist

17. γ-Vibration in deformierten gg-Kernen • Berechnung der Wellenfunktion für wohl-deformierte Sm, Gd, Dy, Er, Yb, Hf Isotope • (SU(3) „ähnliche“ Kerne) und für Pt Isotope (O(6) „ähnlich“) • Bei den Protonen und Neutronen tragen jeweils etwa • 10 Orbitalkombinationen insgesamt 90% der Gesamt- • wellenfunktion, von denen jede mehr als 0.5% Anteil • an der Gesamtwellenfunktion hat  Quantitative • Beschreibung der Art der Verteilung der WF auf diese • Zustände Verteilungsfunktion S S = 1 : Eine Orbitalkombination trägt die gesamte Wellenfunktion S = 0 : Die Wellenfunktion verteilt sich gleichmäßig auf alle Orbitalkombinationen • S ohne Index betrifft Gesamtwellenfunktion • SN/P Verteilung der Wellenfunktion innerhalb der • Neutronen/Protonen • -fN/P Anteil der Neutronen/Protonen an der • Gesamtwellenfunktion fN + fP = 1 Gammakorrelationsfunktion

18. Sm Isotope • Rechnungen von Scholten et al. liefern für die Sm Isotope • IBA Winkel  = 0°  Sm Kerne sind gamma-steif • Die kleinen Werte von  sind auf die extreme Dominanz • der Neutronen (fN > 0.9 für N > 92) zurückzuführen • Anschauliche Vorstellung: Starke N-P Kopplung, Protonen nehmen • kaum an der Vibration teil, Protonen dämpfen die Schwingung der • Neutronen  Kern ist gamma-steif • Qualitative Korrelation zwischen  und  im IBA Dreieck 

19. Gd, Dy und Er Isotope 

20. Gd, Dy und Er Isotope (2)  • Gd, Dy zunehmend gamma-weicher • aufgrund steigendem SN • SP konstant auf hohem Niveau

21. Yb und Hf Isotope • SP(Yb) > SP(Hf) 

22. Korrelation zwischen  und  • Bisher qualitative Korrelation zwischen dem IBA Winkel und  • Quantitative Korrelation möglich unter Einbeziehung von R22 = E(2+) / E(2+1) 2.5 Nullpunktskorrektur  

23. Zusammenfassung • Es besteht eine Korrelation zwischen der Beschreibung von wohl • deformierten Kernen der seltenen Erden im IBA (Algebraisches Modell) • und deren Beschreibung im deformierten Einteilchenmodell. • Die Eigenschaft eines Kernes, ein „gamma-flaches“ Potential zu besitzen, • kann mikroskopisch folgendermaßen definiert werden: • - Kerne tendieren zu gamma-flachem Potential, falls die Wellenfunktion der • γ-Vibration sowohl bei Neutronen als auch bei Protonen von wenigen stark • beitragenden 2 QT Anregungen getragen wird und die Wellenfunktion auf • Neutronen und Protonen gleichverteilt ist • - Kerne mit relativ tief liegender Energie des angeregten Zustandes der γ-Vibration • 2+ γ im Vergleich zum 2+ Zustand der Grundzustandsrotationsbande neigen • ebenfalls zu gamma-weichem Verhalten