Download
1 / 20
360 likes | 810 Views
Proses Stokastik. Definisi proses stokastik :. adalah suatu keluarga peubah acak X t atau X(t), di mana t T dengan T = {1, 2, 3, …} untuk t diskret dan T = {0, } untuk t kontinu . Contoh Pada percobaan pelemparan mata uang berkali – kali
E N D
Definisi proses stokastik : adalahsuatukeluargapeubahacakXtatau X(t), di mana t T dengan T = {1, 2, 3, …} untuk t diskretdan T = {0,} untuk t kontinu. Contoh Padapercobaanpelemparanmatauangberkali – kali X1adalahpeubahacak yang berhubungandenganpelemparanpertama X2adalahpeubahacak yang berhubungandenganpelemparankedua Xnadalahpeubahacak yang berhubungandenganpelemparanke-n X1sampaiXninidisebutkeluargapeubahacak yang dapatjugadisebut proses stokastik.
Contoh • Perhatikanbanyaknyakelahiran di suatutempatpadasuatuhari. BilaXtadalahbanyaknyakelahiranpada (0,t) dengan t [0,1440], makakumpulandariXtadalah proses stokastik.
RANTAI MARKOV Definisi • Proses Markov adalah proses stokastik yang mempunyaisifatbahwajikanilaiXttelahdiketahui, makaXs di mana s > t tidakdipengaruhiolehXu di mana u < t. • Definisitersebutmemilikiartibahwafenomenamasadatanghanyadipengaruhiolehfenomenamasasekarangdantidakdipengaruhiolehmasalalu. • RantaiMarkov denganwaktudiskret (Diskret Time Markov Chain) adalahsuatu proses markovdenganwaktudiskretdanXtmemilikinilaidiskret.
Secaramatematis Proses Markov dapatdinyatakansebagaiberikut: P(Xn+1=j| X1 = i1, X2=i2, …, Xn=in) = P(Xn+1 =j|Xn = in) Xn = j artinyarantaimarkovpadawaktu n beradapada state j. PeluangXn+1beradapada state j jikaXnberadapada state i dilambangkandengan
Peluanginijugadinamakanpeluangtransisisatulangkah (one-step transition probability) dansecaramatematisdapatdinyatakansebagaiberikut • P(Xn+1=j|Xn=i). Bilapeluangtransisisatulangkahbebasterhadappeubahwaktu n, makarantaimarkovmempunyaipeluangtransisi yang stasioneratau = Pij
Secaraumum, peluangtransisidiaturdalamsuatumatriks yang dinamakanmatrikspeluangtransisi. Bariske – i+1 dariP adalahsebaranpeluangdarinilai Xn+1dibawahkondisiXn= i. Jikabanyaknya state terhinggamakaPadalahmatrikskuadratterhingga
NilaiPijmemenuhikondisi Pij 0 untuksemua i dan j dan untuki = 0, 1, 2, …
JikamatrikspeluangtransisiPdansebaranpeluang X0diketahui, makaperilakudarirantaimarkovdapatdiketahui. Pernyataaniniakanditunjukkandalampenjelasanberikut: Misalkandiketahuimatrikspeluangtransisidan P(X0=i) = pi, makakitadapatmencari P(X0=i0, X1=i1, X2 = i2, …, Xn=in) Berdasardefinisipeluangbersyaratkitadapatkan P(X0=i0, X1=i1, X2 = i2, …, Xn=in) =P(Xn=in| X0=i0, X1=i1, X2 = i2, …, Xn-1=in-1) P(X0=i0, X1=i1, X2 = i2, …, Xn-1=in-1)
Berdasardefinisirantaimarkovkitadapatkan P(X0=i0, X1=i1, X2 = i2, …, Xn=in) = P(Xn=in| Xn-1=in-1) P(X0=i0, X1=i1, X2 = i2, …, Xn-1=in-1) = P(X0=i0, X1=i1, X2 = i2, …, Xn-1=in-1) Melaluiinduksiakankitadapatkan P(X0=i0, X1=i1, X2 = i2, …, Xn=in) =
MatriksPeluangTransisiRantai Markov Analisisdarirantaimarkovberpusatpadaperhitunganpeluangkemungkinanrealisasi proses yang mungkin. Perhitunganiniberpusatpadamatrikspeluangtransisi n langkahP(n) = . melambangkanpeluang proses pindahdari state i ke state j dalam n langkah. Secaraformal dapatdinyatakansebagai =P(Xm+n=j|Xm=i).
Sifat Markov memungkinkankitamenyatakandalamtheoremaberikut Theorema Peluangtransisi n langkahdarirantaimarkovmemenuhi Di mana Dari teorimatriks, makapersamaandalamteoremainiadalahrumusuntukperkalianmatriks, sehingga P(n) = PP(n-1). Denganmengiterasikanrumusinikitadapatkan Dengan kata lain, peluangtransisi n langkahadalahisimatriksPn.
THE LONG RUN BEHAVIOR OF MARKOV CHAIN MatriksPeluangTransisiReguler MisalkanP (matrikspeluangtransisi) mempunyaisifatjikadipangkatkan k, Pkmempunyaielemen yang semuanyapositif, makaPdikatakanreguler Rantai Markov yang regulermemiliki limiting probability distribution = (0, 1, …, N); di manaj>0 dan =1 dansebaraninibebasdari state awal
Untukmatrikspeluangtransisi yang regular , j = 0, 1, …, N ContohRantai Markov regular denganmatrikspeluangtransisi Mempunyai limiting probability distribution 0 1
Contohnumerikdapatditunjukkan, misalkanrantaimarkovmemilikimatrikspeluangtransisi BeberapapangkatpertamadariPadalah Limiting distribution-nyaadalah b/(a+b) = 0.5282 dan a/(a+b) = 0.4718.
Untuksemuamatrikspeluangtransisidengan state 0, 1, 2, …,N yang memenuhiduakondisiberikutadalah regular • Untuksetiappasang state i,j, terdapat path (jalur) k1, k2, …, kr di mana Pik1Pk1k2 ... Pkrj>0 • Terdapat minimal satu state di manaPii>0
Theorema MisalkanPadalahmatrikspeluangtransisisuaturantaimarkov regular dengan state 0, 1, 2, …, N, maka limiting probability distribution =(0, 1, 2, …,N) adalahsolusiunikdarisistempersamaanberikut = P dan
Contoh Biladiketahuirantaimarkovdenganmatrikspeluangtransisi 0 1 2 Carilah limiting probability distributionnya!
Jawab =P Sehinggakitamemilikipersamaan, yaitu Solusidarisistempersamaan di sampingadalah 0 = 0.077, 1 = 0.625, 2 = 0.298
