Proses Stokastik

1. Proses Stokastik Semester Ganjil 2011

2. X(t) W1 W2 W3 W4 t S0 S1 S2 S3 Sebaran yang Berhubungan dengan Proses Poisson: Interarrivaland waiting times X(t): Jumlah kedatangan sampai dengan waktu t, dengan laju λ 4 Wn, n =0, 1, …: Waktu tunggu sampai dengan kedatangan ke n 3 2 Sn, n =0, 1, …: Waktu antar kedatangan (interarrival times), atau sojourn time 1 W0

3. Waktu antar Kedatangan (Interarrival Times): Sojourn times Jika tidak terdapat kedatangan sampai dengan waktut berarti bahwa: Waktu tunggu (waiting time) dari kedatangan pertama (W1) atau sistem sojourn pada state 0 (S0) lebih dari t Funsi Sebaran Kumulatif (cdf) dari sebaran exponential dengan rata-rata (mean) 1/λ Waktu antar kedatangan S0, S1, … adalah peubah acak exponential yang saling bebas dengan rata-rata 1/ (i.i.d):

4. Waktu Tunggu (Waiting Time) • Waktu tunggu adalah jumlah dari n waktu antar kedatangan (interarrival/sojourn times). • Waktu antar kedatangan (interarrival times) menyebar secara exponential • Dengan pendekatan fungsi pembangkit moment: Fungsi pembangkit moment dari sojourn times, S

5. Fungsi pembangkit moment dari waiting time, W Dengan sifat i.i.d. dari sojourn times Yang merupakan fungsi pembangkit momen dari sebaran Gamma (n, λ), dengan fungsi:

6. Ringkasan • Jika jumlah kedatangan sampai dengan waktu t,X(t) adalah proses Poisson dengan laju λ • Maka waktu antar kedatangan (interarrival times), S akan menyebar secara exponential dengan rata-rata (mean) 1/ λ • Dan waktu tunggu sampai dengan kedatangan ke n, W mempunyai sebaran gamma dengan parameter(n, λ)

7. Contoh • Suatu sumber radioaktif memancarkan partikel mengikuti proses Poisson dengan laju λ=2 partikel per menit. • Berapa peluang bahwa partikel pertama akan muncul setelah tiga menit?

8. Berapa peluang bahwa partikel pertama muncul setelah menit ke-3 menit akan tetapi sebelum menit ke-5?

9. Proses Poisson dan Sebaran Binomial Teorema • DiberikanX(t) suatu proses Poisson dengan laju λ>0, maka untuk 0<u<tdan0 ≤ k ≤n Bukti:

13. Contoh: • Jika 6 pelanggan datang pada setelah 3 jam fasilitas dibuka, berapa peluang bahwa terdapat 2 pelanggan datang selama jam pertama fasilitas tersebut dibuka? • X(t): jumlah kedatangan pelanggan ke suatu fasilitasumum • Adalah proses Poisson dengan laju=2 pelanggan/jam • 0<1<3 and 0 ≤2≤6

15. Definisi Proses Kelahiran dan Kematian(Birth and Death Process) Adalah proses Markov untuk waktu kontinyu X(t)dengan: • State space yang bersifat diskrit • Kemungkinan state: i= 0, 1, 2, ... sedemikian sehingga • Transisi state hanya mungkin terjadi antara state yang bertentangga , i→ i+1 or i→ i-1 • Transisi tersebut terjadi pada selang waktu tertentu dari tsampai dengan(t+∆t)

16. Birth and Death Process Digunakan untuk memodelkan • Proses reproduksi organisme • Penyebaran penyakit menular • Sistem antrian

17. Laju transisi: • Ketika sistem berada padastatei • Peluang kelahiran pada selang waktu∆tadalahλi∆t • Peluang kematian pada selang waktu∆tadalahμi∆t

18. Peluang EquilibriumProbability dari Birth and Death Process • Adalah peluang dari proses berada di state i, tanpa tergantung waktu • Pada saat equilibrium total aliran peluang (net flow) adalah 0 • State 0 dapat dijangkau dari state 1 dengan peluang π1dan lajuμ1 • State 0 dengan peluang π0dapat berubah menjadi state 1 denganlajuλ0 • Secara umum: • State kdapat dijangkau dari k+1dengan peluangπk+1dan lajuμk+1 • State kdengan peluang πkdapat berubah menjadi state k+1 dengan lajuλk

19. Hubungan berikut mendefinisikan net flow balance: Dst secara rekursif:

20. Dengan batasan sedemikian sehingga fungsi peluang dapat terdefinisi dengan baik: • π0menentukan syarat di atas

22. Contoh: • Proses kelahiran dan kematian berawal dari X(0)=0 dan0, 1, 2, 3 adalah kemungkinan state , dengan parameter kelahiran dan kematian • Berapa peluang bahwa pada kondisi equilibrium proses akan berada pada state 0?

23. Berapa peluang bahwa pada kondisi equilibrium proses akan berada pada state1?