Informatica industriala

Informatica industriala Prelucrarea digitala a semnalelor Filtre numerice (cont)

Filtre cu raspuns infinit (IIR) • ieşirea la un anumit moment depinde nu numai de semnalul de intrare ci şi de valorile anterioare ale semnalului de ieşire • un anumit impuls (inclusiv zgomot) in anumite conditii se poate propaga la infinit (de unde si numele filtrului) • formula iesirii pentru un filtru IIR: k-1 k y(kT) = Σ bk-i*y(iT) + Σ ak-i*x(iT) i=0 i=0 • Aplicând transformata în Z asupra expresiei de mai sus se obţine: m n Y(z) = Σ bi*Y(z)*z-i + Σ ai*X(z)*z-i i=0 i=0 unde: m - indexul maxim al coeficienţilor bidiferiţi de zero n - indexul maxim al coeficienţilor aidiferiţi de zero

Filtre cu raspuns infinit (IIR) • transformata in Z a unui filtru IIR: n m H(z) = Y(z)/X(z) = (Σ ai*z-i)/( 1- Σ bi*z-i) i=0 i=0 • Proprietati ale filtrelor IIR • pentru acelasi numar de termeni (rang) un filtru IIR are un efect mai pregnant (calitativ mai bun) decat un filtru FIR • filtrele IIR sunt “reactive” sau cu reactie inversa (feed-back), datorita termenilor ce contin esantioane ale iesirii • pentru anumite valori ale coeficienţilor ai şi bi filtrul IIR devine instabil şi are tendinţa de a oscila

x(kT) y(kT)   z-1 *a1 *b1 z-1 *a2 *b2 ....... z-1 *bm *an Implementarea filtrelor IIR • forma canonica de implementare a filtrelor IIR

|H| panta Atrecere Ablocaj  banda de blocare banda de trecere frecvenţa de tăiere Sinteza filtrelor numerice • Problema: determinarea coeficienţilor funcţiei de transfer a unui filtru numeric, astfel încât efectul produs de filtru să corespundă unor condiţii prestabilite. • Parametri unui filtru: • banda de trecere – intervalul de frecvenţe pentru care filtrul are efect de amplificare • banda de blocare – intervalul de frecvenţe pentru care filtrul are efect de atenuare • frecvenţa de tăiere – frecvenţa care desparte banda de trecere de banda de atenuare • raportul de atenuare – logaritmul raportului dintre amplificarea în banda de blocaj şi amplificarea în banda de trecere raport de atenuare = 20 lg (Ablocaj/Atrecere) [decibeli]

Sinteza filtrelor numerice • exista mai multe tehnici de sinteza, relativ complexe • Metoda 1 • se bazeaza pe functia de transfer a filtrului analogic echivalent, (exprimat in domeniul Laplace) m Ha(s) =  Ak/(s+sk) unde: sksunt polii functiei de transfer k=1 • Din această expresie se deduce transformata în Z a filtrului numeric: m H(z) =  Ak/(1 – eskT*z-1) k=1

y(t) H(z) = ai*z-i ai t Sinteza filtrelor numerice • Metoda 2. • Se consideră cunoscut răspunsul unui filtru analogic echivalent la un semnal de tip impuls. Prin eşantionarea funcţiei răspuns se obţin coeficienţii transformatei în Z a funcţiei de transfer.

Clasificarea filtrelor in functie de implementare • filtre in domeniul timp • folosite pentru modelarea formei semnalului: netezire, eliminare valoare constanta, formatare semnal • filtre in domeniul frecventa • folosite atunci cand informatia este continuta in distributia spectrala (amplitudine, frecventa si faza); • scopul este separarea benzilor de frecventa • filtre particulare/speciale • folosite atunci cand filtrele obisnuite (trece sus, jos, banda) nu ajuta

Filtru de mediere • filtru care actioneaza bine in domeniul timp • elimina zgomotele • are comportament bun la un impuls treapta • filtrul are efect negativ in domeniul frecventelor: nu filtreaza o banda de frecvente bine definita • filtre derivate (putin) mai bune in domeniul frecventelor: Gaussian, Blackman sau mediere multipla • Implementare: prin convolutie unde M – numarul de puncte (termeni) din filtru • Filtrul poate fi si simetric in jurul punctului considerat (j=-M/2, J=+M/2)

Filtru de mediere • Caracteristicile filtrului: • are un efect foarte bun de filtrare a zgomotului alb, cu pastrarea in limite acceptabile a raspunsului la treapta unitara; • paradoxal mult mai bun decat alte filtre mai complexe • factorul de reducere a zgomotului: radacina patrata din numarul de puncte din filtru (ex: 100 puncte reduce zgomotul de 10 ori) • cu cat filtrul este mai mare (mai multe puncte) panta raspunsului la un semnal de tip impuls devine mai oblica Efectul unor filtre de mediere asupra unui impuls cu zgomot alb: a semnal initial b filtru cu 11 puncte c filtru cu 51 de puncte

Raspunsul in frecventa al filtrului de mediere • Functia de transfer exprimata cu transformata Fourier: Raspunsul in frecventa al filtrului pentru numar diferit de puncte de mediere

Efectul aplicarii multiple a filtrului de mediere • Se aplica succesiv de mai multe ori un filtru de mediere de 7 puncte • forma filtrului la numar variabil de treceri • b. raspunsul in frecventa • c. raspunsul la semnal treapta • d. efectul de atenuare in dB

Implementarea filtrului de mediere prin recurenta • exemplu de calculare a 2 iteratii ale unui filtru de 7 puncte y [50] =x [47] + x [48] + x [49] + x [50] + x [51] + x [52] + x [53] y [51] = x [48] + x [49] + x [50] + x [51] + x [52] + x [53] + x [54] • rezulta ca y [51] se poate calcula mai repede pe baza valorii anterior calculate y [50] y [51] = y [50] + x [54] - x [47] • rezulta formula de recurenta in care fiecare nou esantion se calculeaza printr-o suma si o diferenta: y [i ] = y [i -1] + x [i + p] - x [i - q] unde: p=(M-1)/2 si q=p+1 • formula arata ca iesirea curenta este egala cu iesirea anterioara plus o diferenta (panta) calculata simetric fata de punctul considerat

Filtru Windowed-sinc • pentru separarea benzilor de frecventa • foarte stabile si cu performante ridicate dar necesita timp mai mare de calcul • se cauta un filtru “perfect”: • amplificare 1 in banda de trecere • amplificare 0 in banda interzisa • cu trecere verticala la frecventa de taiere • filtrul ideal este de forma sin(x)/x – functia sinc

Filtru Windowed-sinc • functia de transfer a filtrului sinc: h(i) = sin(2πfci)/iπ unde fc este frecventa de taiere (cutoff frequency) si se exprima ca si o fractie din frecventa de esantionare; fcє (0 - 0,5), conform principiului de esantionare: fmax<1/2fesantionare • functia tinde asimptotic la 0 • din considerente practice (de calcul in timp finit) se limiteaza filtrul printr-o fereastra (window): • dreptunghiulara • functie Hamming sau Blackman

Filtru Windowed-sinc • formula completa a filtrului cu fereastra Hamming: unde M este dimensiunea ferestrei, iar K un factor de normalizare • M se determina cu relatia aproximativa: M=4/(latimea benzii de tranzitie) Calitatea filtrului in functie de dimensiunea ferestrei partea “sinc” Fereastra Hamming

Filtru Windowed-sinc • filtrul nu are un comportament prea bun in domeniul timp, raspunsul la un impuls treapta genereaza “ripluri” la tranzitia intre stari; • este insa recomandat pentru lucrul in domeniul frecventelor, cand se stie ce frecvente trebuie eliminate • pentru a creste factorul de atenuare a benzii de blocare filtrul se poate aplica de 2 sau mai multe ori, • se obtine o atenuare dubla (in decibeli), de exemplu de la -74dB (cat are un filtru cu fereastra Blackman) la -148dB ceea ce inseamna un raport atenuare/amplificare de 1 la 30 milioane • pentru a obtine un filtru trece sus se scade din semnalul initial semnalul filtrat cu filtru trece jos avand aceeasi frecventa de taiere • un filtru trece banda este o combinatie intre filtru trece sus si filtru trece jos • un filtru de rejectie banda se obtine prin scaderea din semnalul initial a semnalului filtrat cu un filtru banda • Dezavantajul filtrului Windowed-sinc: necesita timp de calcul mare (numar mare de termeni de calculat)

Referinte • http://www.dspguide.com/pdfbook.htm

Informatica industriala