Introduction à la logique

1. Introduction à la logique Cours #2: GPA-140 Hiver 2005

2. Introduction aux fonctionslogiques • Systèmes binaires • Deux états fondamentaux et distincts; • Vrai/Faux, Marche/Arrêt, Oui/Non. • Par convention: • Un état est représenté par « 1 »; • L’autre est représenté par « 0 ».

3. La logique Booléenne • En 1847, George Boole invente une algèbre pour traiter les variables binaires. • Il écrira « The Mathematical Analysis of Logic », Cambridge, • Il définit 3 opérateurs de base, ainsi qu’une foule de règles et de postulats.

4. Types de représentation • Les fonctions logiques peuvent être représentées de plusieurs façons: • Tables de vérités • Diagrammes échelle (Ladder) • Équations logiques

5. Types de représentation • Tables de vérités • Tables qui énumèrent toutes les combinaisons possibles d'entrées, et les sorties correspondantes. • Le nombre de colonnes est la sommes du nombre d'entrée et de sortie • Pour "N" entrées, le nombre de lignes est 2N • Exemple: 3 entrées et 1 sorties 4 colonnes et 8 lignes

6. Types de représentation • Tables de vérités 3 entrées et 1 sorties 4 colonnes et 8 lignes • Chaque ligne est une équation logique

7. Types de représentation • Diagrammes échelle (Ladder)

8. Types de représentation • Équations logiques • Reposent sur 3 opérateurs de base: • ET, OU, NON • Toutes les équations logiques sont formées de ces 3 opérateurs

9. Fonction logique NON • En anglais: NOT • Représentation: • F = A ou F = /A

10. Fonction logique ET • En anglais: AND • Représentation: • F = A * B ou A • B ou AB

11. Fonction logique OU • En anglais: OR • Représentation: • F = A + B

12. Fonction logique NON-ET • En anglais: NAND • Représentation: • F = A * B

13. Fonction logique NON-OU • En anglais: NOR • Représentation: • F = A + B

14. Fonction OU-EXCLUSIF /B*A+B*/A /B*A B*/A • En anglais: XOR • Représentation: • F = A B

15. Fonction NON OU-EXCLUSIF /B*/A+B*A /B*/A B*A • En anglais: XNOR • Représentation: • F = A B

16. Fonctions à 2 variables • Il existe 16 fonctions logiques possibles avec 2 variables. • Deux variables permettent 4 combinaisons (22) • 00, 01, 10, 11 • Ces 4 combinaisons donnent 16 fonctions (24) • F0, F1, … F15

17. Fonctions à 2 variables • 16 fonctions logiques avec 2 variables.

18. Fonctions à 2 variables

19. Fonctions à 3 variables • Il existe 256 fonctions logiques possibles avec 3 variables. • Trois variables permettent 8 combinaisons (23) • 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 • Ces 8 combinaisons donnent 256 fonctions (28) • F0, F1, … F255 • Pas très convivial !

20. Fonctions logiques utilisant des interrupteurs • En électronique, on représente les fonctions logiques avec des diagrammes d'échelle. • En automatisation, on utilise des interrupteurs et des relais pour représenter les fonctions logiques.

21. Fonction logique NON • Interrupteur normalement fermé

22. Fonction logique ET • Utilise deux interrupteurs normalement ouvert en série.

23. Fonction logique OU • Utilise deux interrupteurs normalement ouvert en parallèle.

24. Fonction logique NON-ET • Utilise deux interrupteurs normalement fermés en parallèle.

25. Fonction logique NON-OU • Utilise deux interrupteurs normalement fermés en série.

26. Fonction OU-EXCLUSIF • Utilise deux interrupteurs à deux contacts

27. Fonction NON OU-EXCLUSIF • Utilise deux interrupteurs à deux contacts

28. Fonctions logiques utilisant des relais • En automatisation, on utilise les relais pour réaliser des fonctions logiques. • Le relais est une composante électromécanique.

29. Fonction logique NON • Relais avec un contact normalement fermé

30. Fonction logique ET • 2 relais avec des contacts N.O. en série.

31. Fonction logique OU • 2 relais avec des contacts N.O. en parallèle.

32. Fonction logique NON-ET • 2 relais avec des contacts N.F. en parallèle.

33. Fonction logique NON-OU • 2 relais avec des contacts N.F. en série.

34. Fonction OU-EXCLUSIF • Lampe = K L = /K.L + K./L

35. Fonction NON OU-EXCLUSIF • Lampe = M N = M.N + /M./N

36. L’algèbre Booléenne • Règles, postulats et théorèmes • Utiles pour la simplification des équations logiques !

37. L’algèbre Booléenne Règles, postulats et théorèmes • Fermeture: • Si A et B sont des variables Booléennes, alors A+B, A*B sont aussi des variables Booléennes. • Commutativité • A + B = B + A • A * B = B * A

38. L’algèbre Booléenne Règles, postulats et théorèmes • Associativité • A + (B + C) = (A + B) + C • A * (B * C) = (A * B) * C • Distributivité • ET/OU: A(B + C) = AB + AC • OU/ET: A+(B*C) = (A+B)*(A+C)

39. L’algèbre Booléenne Règles, postulats et théorèmes • Idempotence • A + A = A • A * A = A • Complémentarité • A + A = 1 • A * A = 0

40. L’algèbre Booléenne Règles, postulats et théorèmes • Identités remarquables • 1 + A = 1 et 1 * A = A • 0 + A = A et 0 * A = 0 • Distributivité interne • A + (B + C) = (A + B) + (A + C) • A * (B * C) = (A * B) * (A * C)

41. L’algèbre Booléenne Règles et postulats

42. L’algèbre Booléenne Règles, postulats et théorèmes

43. L’algèbre Booléenne Règles, postulats et théorèmes

44. Table de vérité versusdiagramme échelle • Pour une table de vérité donnée, nous pouvons trouver l’équation logique et le diagramme échelle correspondant • Il faut utiliser l’algèbre de Boole pour simplifier.

45. Exemple • Trouver l’équation de S.

46. Exemple • Solution: • On construit l’équation de S en écrivant tous les termes donnant S=1. • Ainsi, S = 1: • si C=0 et B=1 et A=0; • ou si C=0 et B=1 et A=1; • ou si C=1 et B=0 et A=1; • ou si C=1 et B=1 et A=0.

47. Exemple • Solution pour S=1. • si C=0 et B=1 et A=0; • ou si C=0 et B=1 et A=1; • ou si C=1 et B=0 et A=1; • ou si C=1 et B=1 et A=0. • On peut donc écrire: • S = /C.B./A + /C.B.A + C./B.A + C.B./A

48. Exemple • S = /C.B./A + /C.B.A + C./B.A + C.B./A • On peut simplifier: • S = /C.B.(/A+A) + C./B.A + C.B./A • S = /C.B.(1) + C./B.A + C.B./A • S = /C.B + C./B.A + C.B./A • S = /C.B + C.(A B) "ou-exclusif"

49. Exemple • S = /C.B./A + /C.B.A + C./B.A + C.B./A • On peut simplifier: • S = /C.B./A + C.B./A + /C.B.A + C./B.A • S = B./A.(/C+C) + /C.B.A + C./B.A • S = B./A.(1) + /C.B.A + C./B.A • S = B./A + /C.B.A + C./B.A • S = B./A + A.(C B) "ou-exclusif"

50. Exemple Inspection visuelle ? S = /C.B + C./B.A + C.B./AS = /C.B + C.(A B) S = B./A + /C.B.A + C./B.AS = B./A + A.(C B)