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CALCULO NUMERICO:

CALCULO NUMERICO:. Problema fundamental:. - No estamos utilizando todos los números reales. - Las operaciones en la calculadora no son estrictamente las mismas:. Dados n+1 puntos de R 2 : (x 0 ,y 0 ), (x 1 ,y 1 ), …, (x n ,y n ) donde x 0 ≠ x 1 ≠... x n

vicky
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CALCULO NUMERICO:

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Presentation Transcript

  1. CALCULO NUMERICO: Problema fundamental: - No estamos utilizando todos los números reales. - Las operaciones en la calculadora no son estrictamente las mismas:

  2. Dados n+1 puntos de R2: (x0,y0), (x1,y1), …, (xn,yn) donde x0≠ x1≠... xn se quiere encontrar un polinomio pn (x) de grado igual o menor a n tal que: pn (xi) = yi , i = 0,1, …,n Tomamos: Teniendo en cuenta que: Interpolación polinomial: Vamos a ver que este polinomio existe y es único:

  3. ... le restamos la columna anterior multiplicada por x0 le restamos la columna anterior multiplicada por x0 le restamos la columna anterior multiplicada por x0 (Determinante de Van der monde)

  4. { les restamos la anterior multiplicada por x1

  5. Polinomio de interpolación de Lagrange: El siguiente polinomio, de grado n, llamado polinomio de interpolación de Lagrange, cumple las condiciones pn (xi) = yi , i = 0,1, …,n:

  6. Buscamos: Calcular el polinomio de interpolación para la función (sen(px)) que pasa por los siguientes 4 puntos: (correcto) (incorrecto: sen(p/2)=1)

  7. Si calculamos la integral:

  8. El polinomio de interpolación buscado es ahora de la forma : Si en vez de los 4 puntos anteriores, hubiéramos usado los tres siguientes: (correcto) (correcto)

  9. Si calculamos la integral:

  10. El polinomio de interpolación buscado es ahora de la forma : Si en vez de los 3 puntos anteriores, hubiéramos usado los tres siguientes: más la condición de simetría que cumple la función: f(x) = f(1-x) resulta como si, efectivamente, tuviéramos 5 puntos, ya que la condición nos proporciona los siguientes dos puntos adicionales:

  11. Pero, dada la condición de simetría que cumple la función: f(x) = f(1-x), podemos escribir ese polinomio de orden 4 del siguiente modo:

  12. Si calculamos la integral:

  13. El polinomio de interpolación buscado es de la forma : Calcular el polinomio de interpolación para la función (f(x)=3x) que pasa por los siguientes 3 puntos:

  14. Tomando: (polinomio de interpolación) (desarrollo en serie) Podríamos comparar este polinomio de interpolación obtenido con el desarrollo de Taylor (Mac Laurin, en este caso, ya que tomamos x0 = 0:

  15. Podríamos también comparar con el desarrollo en la base ortogonal de los polinomios de Legendre:

  16. Podríamos también comparar con el desarrollo en la base ortogonal de los polinomios de Legendre:

  17. Podríamos también comparar con el desarrollo en la base ortogonal de los polinomios de Legendre:

  18. (polinomio de interpolación) (desarrollo en serie) (desarrollo en la base de los polinomios de Legendre)

  19. Desarrollo de Mac Laurin Desarrollo en la base de los polinomios de Legendre Polinomio de interpolación

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