Méthode d'approximation d'Euler

1. Euler, Leonhard (1707-1783) Méthode d'approximation d'Euler

2. Loi de désintégration radioactive. A l’aide d’expérience, on montre qu’une substance radioactive se désintègre, de sorte que la perte de la masse pendant un intervalle de temps est proportionnelle à la masse m (t) à l’instant t . Ce qui se traduit par : m (t) = km (t) t ou encore m ‘ (t) = km (t). La vitesse de désintégration est donc proportionnelle à la masse restante. Par exemple, le polonium 218 est l’un des produits de la désintégration de l’uranium 238. Il se désintègre lui – même et la constante k = – 0,0038 (si le temps t est exprimé en seconde). On obtient ainsi une équation particulière liant une fonction inconnue et sa dérivée. Une telle équation est dite équation différentielle et s’écrit plus généralement y ‘ = ay , où y est la fonction inconnue et a un réel donné. Si oui quelles sont les fonctions qui vérifient ce genre d’équation ? Existe-t-il des fonctions qui vérifient ce genre d’équation ?

3. Activité 1 : Où l’on trouve la méthode d ’Euler ... Pour ceux qui ne connaissent pas la méthode ou pour ceux qui apprécient cette méthode !!! … Rappelons que la méthode d’Euler permet de découvrir une fonction en ne connaissant que certains renseignements relatifs à la dérivée. Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors sa courbe représentative C admet une tangente en chacun de ses points A0 (x0 ; f (x0)) qui permet d’obtenir des valeurs approchées de f (x) au voisinage de x0 . On a, pour h voisin de 0 :

4. y2 M2 A1 y1 M1 y0 A0 O x1 x2 x0 • Soit h un réel strictement positif “ assez petit ”. On pose y0 = f (x0) . • En partant d’un point A0 (x0 ; f (x0)) pour lequel f ‘ (x0) est non nul, on pose :  x1 = x0 + h et on construit le point M1 (x1 ; y1) sur la tangente T0 à la courbe C en A0 . • On a alors : y1 = y0 + f ‘ (x0) h .  x2 = x1 + h et on construit le point M2 (x2 ; y2) sur la parallèle T ’1 à la tangente T1 à • la courbe C en A1 (x1 ; f (x1)) . • On a alors : y2 = y1 + f ‘ (x1) h . •  et ainsi de suite … On construit une suite de points Mn (xn ; yn) . En joignant les points A0 , M1 , M2 , … , on obtient la courbe représentative d’une fonction g qui est affine par morceaux.

5. Voici un exemple de cette méthode : Ainsi, à l’aide de cette méthode, on peut tracer de manière assez précise la courbe de la fonction f ne connaissant que la fonction dérivée f ‘ et une valeur précise de f. Nous pouvons même utiliser cette méthode pour une fonction qui vérifie une relation entre la fonction et sa dérivée. Par exemple, on considère une fonction f qui vérifie f ‘ = f et f (0) = 1. Une telle fonction existe-t-elle ? Sa courbe ressemble à quoi ? A l’aide de la méthode d’Euler, on peut justifier l’existence d’une telle fonction.

6. Activité 2 : Utilisation d’un tableur ... Voici une simulation à l’aide d’un tableur qui légitime l’existence de certaines fonctions que l’on ne connaît pas de manière explicite. A l’aide de la méthode d’Euler, on peut justifier l’existence d’une unique fonction f qui vérifie f ‘ = f et f (0) = 1. Cette fonction s’appelle la fonction exponentielle. On la note exp.

7. Activité 3 : Où l’on réutilise les primitives ... Activité 3 : Où l’on retrouve la méthode d ’Euler ... On considère l’équation différentielle y ‘ = y et on ajoute la condition supplémentaire y (0) = 1. On appelle  une solution éventuelle de cette équation. Soit t0 un réel donné non nul. En utilisant la méthode d’Euler, pour tout entier non nul n , on peut définir de proche en proche une fonction fn continue et affine par morceaux qui fournit une approximation de la fonction  entre 0 et t0 . représente le pas de la méthode Pour cela on pose x0 = 0 , x1 = t0 / n , x2 = 2 t0 / n , … , xk = k t0 / n , … , xn = t0 et on définit de proche en proche les valeurs approchées y0 , y1 , y2 , … , yn des images  (x0) ,  (x1) ,  ( x2), … ,  (xn) en utilisant l’approximation : pour  réel et h proche de 0. .

8. On a x0 = 0 et y0 =  (x0) = 1 et , pour tout entier k compris entre 0 et n – 1 , on a : Ainsi, pour tout entier k compris entre 0 et n – 1, on a la relation : Or  est supposée telle que  ‘ =  , donc :

9. Fonction f2 : pour tout k compris entre 0 et 2 , on a : Ainsi par récurrence, on peut établir que, pour tout k compris entre 0 et n , on a : La courbe représentative de la fonction fn , approximation de la fonction  est obtenue en reliant les points de coordonnées (xk ; yk) . Par exemple, on va construire les tableaux de valeurs puis, sur un même graphique les courbes représentant les fonctions f2 , f4 pour t0 = 1.

10. Fonction f2 : pour tout k compris entre 0 et 2 , on a : Fonction f4 : pour tout k compris entre 0 et 4 , on a :

12. Et voici le tableau de valeurs et la courbe de la fonction f16 pour t0 = 1 et n = 16 : Attention, le repère n’est pas orthonormé !

13. Fonction f2 : pour tout k compris entre 0 et 2 , on a : Fonction f4 : pour tout k compris entre 0 et 4 , on a : Même idée avec t0 = - 1 !

15. Et voici le tableau de valeurs et la courbe de la fonction f16 pour t0 = - 4 et n = 16 :

16. Cette formule devient pour t0 = 1 et k = n : Et que dire de fn (1) pour différentes valeurs de n ? On prend et on utilise la formule :

17. Fin