PROBABILITY PROPORTIONAL TO SIZE (PPS) SAMPLING

1. PROBABILITY PROPORTIONAL TO SIZE (PPS) SAMPLING PPS-WR PPS-WOR

2. DEFINISI • Sampling with Probability Proportional to Size (PPS) adalah suatu prosedur penarikan sampel dimana peluang terpilihnya suatu unit sampel sebanding dengan ukuran • Ukuran yang dimaksud adalah informasi tambahan (auxiliary information) yang dipertimbangkan sebagai dasar penarikan sampel dan memiliki korelasi yang erat dengan variabel-variabel yang akan diteliti.

3. Beberapa contoh variabel yang diteliti dan variabel tambahan

4. ALASAN • Untuk memperoleh suatu metode pemilihan yang akan memberikan penduga rata-rata populasi yang tak bias (unbiased estimator) • Mempunyai ketepatan yang lebih tinggi dari metode-metode yang lain. • Memiliki keuntungan lebih lanjut dengan memberikan penduga-penduga rata-rata dan varians populasi yang sangat sederhana.

5. PROSEDUR PEMILIHAN UNIT SAMPEL • Pemilihan dari suatu daftar (LIST) • Pemilihan dari suatu peta (MAP) • Pemilihan secara sistematis

6. PEMILIHAN DARI SUATU DAFTAR (LIST) • METODE KUMULATIF • METODE LAHIRI

7. METODE KUMULATIF 1. Buat jumlah kumulatif dari ukuran yang digunakan untuk dasar penarikan sampel untuk seluruh unit dalam populasi. 2. Ambil angka random dari 1 sampai X. 3. Bila , maka unit ke-i terpilih, bila kondisi itu tidak terpenuhi, ulangi langkah ke-2. 4. Ulangi langkah ke-2 hingga n unit sampel terpilih.

8. METODE LAHIRI 1. Ambil dua angka random secara serentak, yaitu: AR1: antara 1 sampai N, untuk nomor urut unit sampling dalam populai AR2: antara 1 sampai Xmaks, untuk penarikan sampel dimana Xmaks adalah nilai maksimum dari Xi. 2. Bila AR1 = i dan AR2 ≤ Xi , maka unit ke-i dipilih, bila kondisi itu tidak terpenuhi, ulangi langkah ke-1. 3. Ulangi langkah ke-1 hingga n unit sampel terpilih.

9. Pemilihan dari suatu peta (MAP) Prosedur ini dipakai untuk pemilihan unit-unit wilayah geografis dari sebuah peta dengan peluang proporsi terhadap luas (area)  Probability Proportional to Area. • Ambil dua angka random secara serentak, yaitu: • AR1: antara 1 sampai panjang desa • AR2: antara 1 sampai lebar desa • Sepasang angka random terpilih akan menem-patkan suatu titik pada peta, dan sawah dimana titik itu jatuh akan terpilih • Ulangi langkah ke-1 hingga n unit sampel terpilih.

10. 8 7 3 9 6 2 10 5 4 4 12 8 11 5 1 3 6 7 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Contoh: Pemilihan dari suatu peta (MAP) Gambar berikut adalah peta dari 12 sawah dalam suatu desa. Misal AR1 = 6 dan AR2 =5, maka ko- ordinatnya adalah (6,5). Selanjutnya sawah yang terpi- lih adalah sawah no 4.

11. PEMILIHAN SECARA SISTEMATIS • Buat jumlah kumulatif dari ukuran yang digunakan untuk dasar penarikan sampel untuk seluruh unit dalam populasi. • Jika n adalah besarnya sampel, interval sampling (I) adalah bilangan bulat yang dekat dengan X/n. • Ambil AR1 ≤ I, maka unit-unit yang terpilih adalah: AR1; AR1+I; AR1+2I, dst.

17. Prosedur Estimasi Pada suatu penarikan sampel sebanyak n unit yang diambil dari sebuah populasi dengan ukuran N unit secara PPS-WR dengan size xi, maka besarnya peluang terpilihnya unit ke-i sebagai sampel adalah: Misalnya yi adalah nilai variabel yang berpadanan dengan terpilihnya unit ke-i maka estimator yang unbiased bagi total adalah:

18. Prosedur Estimasi (lanjutan) (i = 1, 2, …,n) merupakan estimator-estimator yang unbiased bagi total Y dan saling independent. Maka kombinasi dari estimator-estimator tersebut merupakan estimator yang unbiased bagi total Y, yaitu: dengan sampling variance:

19. Prosedur Estimasi (lanjutan) Sebuah unbiased estimator dari rata-rata populasi, adalah: dengan sampling variance:

20. Prosedur Estimasi (lanjutan) Dalam PPS Sampling, WR, sebuah unbiased esti-mator dari , adalah: Dalam PPS Sampling, WR, sebuah unbiased esti-mator dari , adalah:

21. Relatif Efisiensi (RE) Untuk mengetahui perbandingan Sampling PPS-WR dengan SRS-WR dari sampel PPS itu sendiri. Dalam SRS-WR, variansnya adalah: Sehingga varians SRS-WR berdasarkan sampel PPS-WR adalah:

26. PPS-WOR PPS-WOR dapat memberikan efisiensi yang lebih baik dibanding PPS-WR. Banyak sampel dalam praktek yang telah dilakukan dengan PPS-WO, tetapi prosedur perhitungan lebih kompleks dan tidak mudah diaplikasikan. Jika fraksi sampling kecil, dalam survey skala besar, efisiensi PPS-WR atau PPS-WOR akan berbeda tidak nyata (hampir sama). Meskipun begitu, jika fraksi besar efisiensi WOR akan lebih substansial.

27. PPS-without replacement • Prosedur Umum • Penduga Terurut Des Raj / Des Raj’s Ordered Estimator • Penduga Tak Terurut Horwitz-Thompson/ Horwitz-Thompson’s Unordered Estimator

28. Prosedur Umum (1)

29. Prosedur Umum (2)

30. Penduga Terurut Des Raj (Des Raj’s Ordered Estimator) Andaikan 2 unit dipilih dengan PPS-WOR dengan peluang unit terpilih dari unit Ui adalah pi, i=1,2,…N dimana pi= Xi/X. Pada pengambilan pertama memiliki peluang pi dan pengambilan kedua dengan peluang bersyarat pj/(1-pi). Anggap y1 dan y2 adalah nilai unit pengambilan pertama dan kedua; serta p1 dan p2 adalah peluangnya, maka: dengan penduga varians yang unbiased:

31. Penduga Tidak Terurut Horvitz-Thompson / Horvitz-Thompson’s Unordered Estimator Andaikan suatu unit dipilih dengan PPS-WOR dengan peluang unit terpilih dari unit Ui adalah pi, i=1,2,…N dimana pi= Xi/X. Peluang bahwa unit Ui dan Uj termasuk dalam sampel adalah: Anggap bahwa yi adalah nilai unit ke-i dengan i peluang masuk dalam sampel, maka: dengan varians sampling yang unbiased:

32. Contoh Soal: Berikut adalah hasil panen (dalam 10 kg) dari 8 pohon buah di suatu desa: Berdasarkan data tersebut, bila sampel yang diambil adalah no urut 5 dan 7, perkirakan total hasil panen buah dan variannya di desa itu dengan metode terurut Des Raj dan metode tidak terurut Horvitz-Thompson!

33. Metode Terurut Des Raj Metode Tidak Terurut Horvitz-Thompson

34. PPS Stratified Sampling Besarnya peluang terpilihnya unit ke-i sebagai sampel: Maka penduga unbiasednya adalah:

35. PPS Stratified Sampling (lanjutan) Dengan varians: Dengan rata-rata: