Divide et Impera

1. Divide et Impera

2. Ce este Divide et Impera? Aceastametodaeste o tehnica de programare care rezolvaproblemele in care se prelucreazamultimi de elemente.

3. In ceconsta? Algoritmulpresupuneimpartireamultimii in care se face cautareasolutiei in submultimipanacand se epuizeazaelementeleasupracarora se face cautareasaupanacand s-a gasit o solutiepartiala. Solutia finala se construieste din combinareatuturorsolutiilor determinate partial.

4. Cerinte

5. Cerinte

6. Prelucrareavectorilor cu metoda DEI: a)determinareasumeisiprodusuluielementelorvectorului; b)Determinareaelementului maxim/minim; c)Determinareacmmdcsicmmmc al elementelorvectorului;

7. #include<iostream> using namespace std; int v[50], i, n, z, z1; void deicitire (int s, int d) { int m; if(s==d) cin>>v[s]; else {m=(s+d)/2; deicitire(s, m); deicitire(m+1, d); }} void deis(int s, int d, int &z) { int m, x1, x2; if(s==d) z=v[s]; else { m=(s+d)/2; deis(s, m, x1); deis(m+1, d, x2); z=x1+x2;}} void deip(int s, int d, int &z1) { int m, x1, x2; if(s==d) z1=v[s]; else { m=(s+d)/2; deip(s, m, x1); deip(m+1, d, x2); z1=x1*x2; }} int main() { cin>>n; deicitire(1, n); for(i=1; i<=n;i++) cout<<v[i]<<" "; deis(1,n,z); deip(1,n,z1); cout<<endl<<"suma elementelor="<<z; cout<<endl<<"produsul elementelor="<<z1; return 0; }

8. #include<iostream> using namespace std; int v[20], i, n, z, k; void deicitire (int s, int d) { int m; if(s==d) cin>>v[s]; else {m=(s+d)/2; deicitire(s, m); deicitire(m+1, d); }} void deimax(int s, int d, int &z) { int m, x1, x2; if(s==d) z=v[s]; else { m=(s+d)/2; deimax(s, m, x1); deimax(m+1, d, x2); if(x1>x2)z=x1; else z=x2; } } void deimin(int s, int d, int &k) { int m, x1, x2; if(s==d) k=v[s]; else { m=(s+d)/2; deimin(s, m, x1); deimin(m+1, d, x2); if(x1<x2) k=x1; else k=x2; } } int main() { cin>>n; deicitire(1, n); for(i=1; i<=n;i++) cout<<v[i]<<" "; deimax(1,n,z); deimin(1,n,k); cout<<endl<<"max="<<z; cout<<endl<<"min="<<k; return 0; }

9. #include <iostream> using namespace std; int n, i, v[20], z, p, cmmmc; void deicitire (int s, int d) {int m; if(s==d) cin>>v[s]; else {m=(s+d)/2; deicitire(s,m); deicitire(m+1, d);} } void deicmmdc(int s, int d, int &z) { int x1, x2, m; if(s==d) z=v[s]; else { m=(s+d)/2; deicmmdc(s, m, x1); deicmmdc(m+1, d, x2); while(x1!=x2) { if(x1>x2) x1=x1-x2; else x2=x2-x1; } z=x1;}} void deip(int s, int d, int &p) { int x1, x2, m; if(s==d)p=v[s]; else {m=(s+d)/2; deip(s,m,x1); deip(m+1,d,x2); p=x1*x2;} } int main() { cin>>n; deicitire(1,n); for(i=1; i<=n; i++) cout<<v[i]<<" "; deicmmdc(1,n,z); deip(1,n,p); cmmmc=p/z; cout<<endl<<"cmmdc="<<z; cout<<endl<<"cmmmc="<<cmmmc; return 0;}

10. Turnul din Hanoi sau Turnurile din Hanoi este un joc matematic sau puzzle. Este format din trei tije și un număr variabil de discuri, de diferite mărimi, care pot fi poziționate pe oricare din cele 3 tije. Jocul începe având discurile așezate în stivă pe prima tijă, în ordinea mărimii lor, astfel încât să formeze un turn. Scopul jocului este acela de a muta întreaga stivă de pe o tijă pe alta, respectând următoarele reguli:Doar un singur disc poate fi mutat, la un moment dat.Fiecare mutare constă în luarea celui mai de sus disc de pe o tija și glisarea lui pe o altă tijă, chiar și deasupra altor discuri care sunt deja prezente pe acea tijă.Un disc mai mare nu poate fi poziționat deasupra unui disc mai mic. Pasi: • 1.Mutarea a n-1 discuri de pe tija a pe tija c,utilizand ca tija intermediara tija b; • 2.Mutarea discului ramas pe tija b; • 3.Mutarea a n-1 discuri de pe tija c pe tija b, utilizand ca tija intermediara tija a. Problematurnurilor din Hanoi

11. Program C++ #include <iostream> using namespace std; char i,j,k; int n,nr=1; void hanoi (int n, char i, char j, char k) { if (n==1) cout<<i<<j<<endl; else { hanoi(n-1,i,k,j);//mutam "n-1" discuri de pe tija 1 pe tija 3 prin intermediul tijei auxiliare 2 nr++; cout<<i<<j<<endl;//mutam discul ramas de pe tija 1 pe tija 2 hanoi(n-1,k,j,i);//mutam "n-1" discuri de pe tija 3 pe tija 2 prin intermediul tijei 1 nr++; } } • int main() { cin>>n;//n=nr de discuri i='1';j='2';k='3';//i,j,k=cele 3 tije hanoi(n,i,j,k); cout<<nr; return 0; }

12. Enunt: Se citeste un vector cu n componente numere intregi,ordonate crescator si o valoare intreaga x.Sa se decida daca x se gaseste sau nu printre componentele vectorului Cautareabinara a unui element intr-un vector

13. Program C++ • int main() • { cout<<"n=";cin>>n; • for(int i=0;i<n;i++) • { • cout<<"v["<<i<<"]="; • cin>>v[i]; • } • cout<<"numarul cautat:"; • cin>>x; • caut(0,n-1); • return 0; } • #include<iostream> • using namespace std; • int v[100],n,x,i,j; • void caut(int i,int j) • { if(x==v[(i+j)/2]) • cout<<"gasit"<<" "<<"indice "<<(i+j)/2; • else if(i<j) • if(x<v[(i+j)/2]) • caut(i,(i+j)/2 -1); • else caut((i+j)/2+1,j); • else cout<<"nu s-a gasit"; }

14. Sortareaprininterclasare-algoritmulMergeSort • Se impartevectorul in secvente din ce in cemaimici, astfelincatfiecaresecventasa fie ordonata la un moment datsiinterclasata cu o altasecventa din vector, corespunzatoare; • Interclasareavaincepecand se ajunge la o secventaformata din douaelemente. Aceastaodataordonata se vainterclasa cu o altacorespunzatoare. Celedouasecventevoralcatui un subsirordonat din vector mai mare, la randullui se vainterclasa cu subsirulcorespunzatorsi tot asa.

15. Program C++ • #include <iostream> using namespace std; int v[1000],n; void citire () { int i; cin>>n; for(i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]; } void ordo(int p,int u) { int aux; if(v[p]>v[u]) { aux=v[p]; v[p]=v[u]; v[u]=aux; } } void interclas(int p,int u,int m) { int i,j,a[1000],k=0; i=p; j=m+1; while(i<=m && j<=u) if(v[i]<v[j]) { k++; a[k]=v[i]; i++; } else { k++; a[k]=v[j]; j++; } if(i<=m) for(j=i;j<=m;j++) { k++; a[k]=v[j]; } else for(i=j;i<=u;i++) { k++; a[k]=v[i]; } for(i=1;i<=k;i++) v[p+i-1]=a[i]; } void divide(int p,int u) { int m; if(u-p<=1) ordo(p,u); else { m=(p+u)/2; divide(p,m); divide(m+1,u); interclas(p,u,m); } } void afis () { int i; for(i=1;i<=n;i++) cout<<v[i]<<" "; cin>>i; } int main () { citire(); divide(1,n); afis(); return 0; }

16. Sortarearapida-algortimulQuickSort • Enunt: Sa se ordoneze crescator un vector v, folosind metoda de sortare rapida (quick sort). • Etapele de rezolvare ale algoritmului QUICK SORT: • -se apeleaza functia quick cu limita inferioara li=1 si limita superioara ls=n-functia poz realizeaza mutarea elementului de pe prima pozitie exact pe pozitia k ce o va ocupa acesta in vectorul final ordonat: toate elementele aflate in stanga vor fi mai mici si toate elementele din dreapta lui vor fi mai mari ; parametrul k este transmis prin referinta (adresa) fiind astfel vizibil si in afara functiei poz-vectorul V se imparte in doua parti : li,(k-1) si (k+1),ls-pentru fiecare din aceste parti se reapeleaza functia quick-fiecare din cele doua parti va fi impartita in alte doua parti;procesul continua pana cand li depaseste ls ,in acest moment toate elementele vectorului au fost mutate exact pe pozitiile ce le vor ocupa in vectorul final ;deci vectorul este ordonat

17. Program C++ • #include<iostream> • using namespace std; • int v[100],n,k; • void poz(int li,int ls,int & k,int v[100]){int i=li,j=ls,c,i1=0,j1=-1;while(i<j){if(v[i]>v[j]){c=v[j];v[j]=v[i];v[i]=c;c=i1;i1=-j1;j1=-c;}i=i+i1;j=j+j1;}k=i;} • void quick(int li,int ls){if(li<ls){poz(li,ls,k,v);quick(li,k-1);quick(k+1,ls);}} • intmain(){int i;cout<<"n=";cin>>n;for(i=1;i<=n;i++){cout<<"v["<<i<<"]=";cin>>v[i];}quick(1,n);for(i=1;i<=n;i++) cout<<v[i]<<" "; return 0;}

18. Desenareafractalilor: Curbalui Koch pentru unsegment, triunghi,patrat Curba lui koch a fost creata de matematicianul suedez Neils Fabian Helge von Koch.Pentru a ne da seama cum arata aceasta constructie,imaginati-va un triunghi echilateral,apoi adaugati pe fiecare latura un alt triunghi echilateral.Orice parte a ei,marita,arata fix ca originalul.De fiecare data cand un nou triunghi este adaugat la figura centrala, lungimea liniei creste insa aria interioara a curbei lui Koch ramane mai mica decat aria unui cerc desenat in jurul triunghiului original. Pe scurt,este o linie de o lungime infinita ce inconjoara o zona finita

19. Curba lui Koch dupa o iteratie • Curba lui Koch dupa doua iteratii • Curba lui Koch dupa 7 iteratii

20. Acelasi principiu se aplica si in cazul unui patrat. Fiecare latura a unui patrat se transforma conform figurii alaturate: • Dupa un numar mai mare de iteratii patratul arata in felul urmator

21. Participare

22. Thanks for watching • Proiectul a fostprezentat de elevii: • Iordache Robert • Nitu Valentina • ToiOana • VicentiuMihaela • Clasa a X-a B • Colegiul National “Mihai Eminescu”