IV. Küme Teorisi Ve Olasılık Hesapları

1. IV. Küme Teorisi Ve Olasılık Hesapları • Küme Kavramı Küme, tek bir isim altında toplanabilen ve benzer özellik gösteren birimlerin meydana getirdiği topluluk olarak tanımlanabilir. Küme içinde bulunan birimlere eleman adı verilmektedir. • Kümeler genellikle A, B, C gibi büyük harflerle, elemanlar ise a, b, c, gibi küçük harflerle gösterilirler. Kümelere, takım sınıf, cümle, set gibi isimler de verilmektedir. • Eğer herhangi bir a elemanı, herhangi bir B kümesine ait ise bu ifade şöyle yazılabilir. • a  B • Eğer a, B nin elemanı değilse • a  B şeklinde yazılır.

2. Kümelerle İlgili Kavramlar • 1- Bir Kümenin içinde sadece bir eleman varsa böyle kümelere birim küme adı verilir. • 2- Eğer A kümesinin her elemanı, B kümesinin de elemanı ise A ya B’nin alt kümesi denir. • Yani x  A x  B ise A, B’nin alt kümesidir, ve AB veya BA (A kapsanır B veya B kapsar A) şeklinde gösterilir. Her küme kendisinin bir alt kümesidir. AA • 3- Hiçbir elemanı olmayan kümeye boş küme adı verilir ve  veya ={} şeklinde gösterilir. Mesela “elma sepetinden alınan portakallar kümesi” boş bir kümedir. Eğer C={x; x= 4, x tek sayı} ise C= olur. Boş küme her kümenin bir alt kümesidir. Yani A vs. • 4- İncelemeye konu olan bütün kümelerin oluşturduğu kümeye evrensel (universal) küme denir ve büyük harf U ile gösterilir. Mesela nüfus sayımı çalışmalarında evrensel küme, dünyada yaşayan bütün insanların oluşturduğu kümedir. A= {Türkiye’de yaşayan insanlar} U= {Dünyada yaşayan insanlar} A  U

3. 5- Eşit küme: İki küme aynı elemanlara sahip ise birbirlerine eşit olurlar. Bunu şöyle yazabiliriz. • A  B ve B  A ise A=B • Mesela A={a,b} ve B={b,a} ise A=B olur. Bu tanıma göre • a) Her Küme kendisine eşittir ve bu bütün kümeler için doğrudur. A=A • b) A=B ise B=A olur [simetri özelliği] • c) A=B ve B=C ise A=C olur [geçişlilik özelliği] • 6- A, B, C gibi herhangi üç küme için • AB ve BC ise A  C dir. [geçişlilik] • 7- Sınırlı sayıda eleman içeren kümelere sınırlı küme denir. • Örnek: A={X:x alfabedeki sesli harfler } • Bir küme içindeki elemanlar sayılamayacak kadar çok ise böyle kümelere sınırsız küme adı verilir. • 8- Eşlenik Küme: Elemanları arasında bire bir karşılaşma olan kümelere eşlenik küme denir. • Örnek: A = {1,2,3,} ve B={2,4,6} ise bu kümeler eşleniktir. Çünkü A’daki her sayıya B kümesinde iki katı bir sayı karşılık gelmektedir.

4. 9-Kuvvet Kümesi: Sınırlı sayıda eleman içeren bir kümenin bütün alt kümelerinin oluşturduğu kümeye Kuvvet Kümesi denir. A sınırlı sayıda eleman içeren bir küme ise kuvvet kümesi PA şeklinde gösterilir. Örnek: A={1,2,3} olsun. Bu kümenin kuvvet kümesi PA={, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}} Teorem A kümesi n sayıda eleman içeren sınırlı bir küme ise PA’nın 2n sayıda elemanı olur, ya da 2n tane alt kümesi olur. Yukarıdaki örnekte A’nın 3 elemanı vardı öyleyse A kümesinin 23=8 alt kümesi olur. Küme İşlemleri Venn Diyagramları: U evrensel kümesi genellikle bir dikdörtgenle gösterilir. U’nun alt kümeleri dairelerle gösterilir. Kümeler arasındaki bu ilişkiyi geometrik şekillerle gösteren diyagramlara Venn diyagramları adı verilir.

5. Bileşim işlemi: A ve B tesadüfi olarak verilmiştir iki küme olsun. A ve B’nin bileşimi A  B şeklinde gösterilir ve böylece yeni bir küme teşkil edilmiş olur. Bu küme, A ve B’nin (veya hem A ve hem de B’nin ikisini birden) elemanlarına sahiptir. • Yani; A  B={X:x  A ve/veya x  B} Bu işlem Venn diyagramı ile şöyle gösterilir. Şekildeki taralı alan AB’yi vermektedir.

6. Kesişim: Ortak elemanların oluşturduğu kümedir. Hem A, hem de B’nin ortak elemanlarının meydana getirdiği küme A ve B’ kümelerinin kesişimini verir ve AB şeklinde gösterilir. Yani AB={X:x  A ve xB} Şekilde taralı alan AB’yi göstermektedir. • Ayrık küme: AB= ise yani A ve B Kümelerinin ortak elemanları yoksa bu tip kümelere Ayrık Küme adı verilir. Aşağıdaki şekilde ayrık bir küme görülmektedir.

7. İki Kümenin Farkı: A’ya ait olup ta B’ye ait olmayan elemanların teşkil ettiği küme A’nın B’den farkı adını alır ve A-B veya A\B şeklinde gösterilir. Şekildeki taralı alan bu farkı göstermektedir. • A - B = A\B = {X: x  A ; x  B} • Tamamlayan Küme: Tamamlayıcı küme mutlak ve izafi tamamlayıcı küme olmak üzere iki şekilde ele alınır. Mutlak tamamlayıcı küme evrensel kümeye göre ifade edilen bir küme olup A gibi bir kümenin tamamlayıcısı A’, Ac veya A şeklinde yazılır. A’ =Ac= U-A = { X: xU ve xA } olur.

8. İzafi tamamlayıcılık ise bir üst kümeye göre olan tamamlayıcılıktır. B kümesi A nin alt kümesi ise, yani BA ise B nın A ye göre tamamlayıcısı; • = { X: x A ve xB } şeklinde yazılır ve aşağıdaki gibi gösterilir. • AB’nin tamamlayıcısı ise (AB)c veya (AB)’ şeklinde yazılır.

9. Küme Aritmetiği • Yukarıdaki küme işlemlerinden faydalanarak küme aritmetiği ile ilgili aşağıdaki kurallara ulaşmak mümkündür. • Kuralın adı BirleşimKesişim Yansıma (idempotent) AA=A AA=A Birleşme (associative) (AB)C=A(BC) (AB)C=A(BC) (AB)C =ABC (AB)C=ABC Değişme (commutative) AB=BA AB=BA Dağılma (distributive) A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC) Özdeşlik (identity) A=A A= Özdeşlik (identity) AU=U AU=A Tamamlayıcılık (complement) AAc =U AAc= Tamamlayıcılık (complement) (Ac)c =A Uc =,  c=U De Morgan (AB)c=AcBc (AB)c=AcBc

10. Sayma Teknikleri • Olasılık hesapları ve istatistikte birçok problem, verilen küme elemanlarının sayılmasını veya sıralanmasını gerektirir. Eğer bir olayın olasılığının hesaplanmasında, mümkün haller sayısı çok büyük ise olayın doğrudan sıralanması veya sayılması uzun zaman alır ve bazı hallerde doğrudan saymak mümkün olmaz. Bu gibi durumlarda saymayı kolaylaştırıcı bazı tekniklere ihtiyaç duyulur. Bu tekniklere sayma teknikleri (combinational analysis) adı verilir. • SAÜ fakültelerinde eğitim gören öğrencilerin cinsiyet ve öğrenim gördüğü fakülte yönünden sınıflandırılması halinde kaç farklı durumun olacağını belirleyelim. • Cinsiyet vasfının kız ve erkek olmak üzere iki şıkkı vardır. • Fakülte vasfının mühendislik, İİBF, Fen edebiyat, Teknik eğitim, Eğitim ve İlahiyat olmak üzere 6 şıkkı vardır. Buna göre ağaç diyagramı çizildiğinde SAÜ öğrencilerinin bu vasıflara göre kaç farklı durumda olduğu görülebilir.

11. Ağaç diyagramı ile sayma Yandaki ağaç diyagramından öğrencilerin cinsiyet ve fakülte vasfının şıklarına göre 12 farklı durumda bulunduğu anlaşılmaktadır. 2 cinsiyet, 6 fakülte 2*6 = 12 durum Ağaç diyagramı

12. Yukarıdaki ağaç diyagramından hareketle aşağıdaki sayma kuralına ulaşabiliriz. • Çarpım Kuralı: A1 ve A2 kümeleri sırasıyla n1 ve n2 eleman içeriyorsa, A1’in bir elemanı ile A2’nin bir elemanını seçmenin n1 x n2 değişik yolu vardır. Yani iki olay aynı anda n1 x n2 değişik şekilde meydana gelir. • Bir başka örnek İstanbul’dan Ankara’ya 3 yoldan (kara-hava-demiryolu), Ankara’dan Konya’ya 3 yoldan (kara, hava, demiryolu) gidilebiliyorsa İstanbul’dan Konya’ya Ankara bağlantılı olmak üzere 3x3=9 değişik yoldan gidilebilir. • Küme sayısı ikiden çok olduğu zaman yukarıdaki kural aşağıdaki şekilde genelleştirilebilir. • Çarpım Kuralının Genelleştirilmesi: A1, A2,.......,Ak kümeleri sırasıyla n1, n2,......., nk eleman içeriyorsa, önce A1’in bir, sonra A2’nin bir, sonra A3,........, Ak’nin bir elemanını seçmenin n1xn2xn3x ,......., xnk değişik yolu vardır. Yani k olay bir arada n1x n2x........x nk farklı şekilde meydana gelir.

13. Örnek: Test şeklinde yapılan bir sınavda 5 soru ve 5 cevap şıkkı varsa bir öğrenci bu 5 soruyu kaç farklı şekilde cevaplandırır. • 5x5x5x5x5 = 55 = 3125 değişik şekilde işaretleyebilir. • Bu işaretleme hallerinden sadece birinde tüm cevaplar doğru olur. (1x1x1x1x1=1) 4x4x4x4x4= 45 = 1024 halde ise bütün cevaplar yanlış olur. • Öğrencinin 4 soruyu doğru cevaplaması kaç farklı şekilde mümkün olur? 5x4=20 şekilde mümkündür. (1.soru yanlış diğer şıkların doğru olması 4x1x1x1x1 olup diğer 5 soru da böyle olur) 3 sorunun doğru cevaplanması (1x1x1x4x4)x10=160 2 sorunun doğru cevaplanması (1x1x4x4x4)x10=640 1 sorunun doğru cevaplanması (1x4x4x4x4)x5= 1280 şekilde mümkündür. • Ardışık aynı şıkkın doğru olduğu bir soru bulunmadığına göre kaç farklı cevap anahtarı oluşturulabilir İlk şık 5 farklı şekilde işaretlenirken diğer şıklarda işaretlenebilecek şık sayısı 4 e düşer. Bu durumda: 5x4x4x4x4=5x44=1280 cevap anahtarı oluşturulabilir.

14. Örnek: {1,2,3,4,5} kümesindeki rakamlar kullanılarak; • - Kaç sayı oluşturulabilir? • 5x5x5=125 • - Kaç çift sayı oluşturulabilir? • 5x5x2=50 • - 300’den büyük kaç çift sayı oluşturulabilir? • 3x5x2=30 • - Sayılardan kaç tanesi 2 ile başlar 5 ile biter? • 1x5x1=5 • - Rakamları birbirinden farklı kaç sayı oluşturulabilir? • 5x4x3=60 veya 5P3=60

15. Permütasyon • n Elemanlı bir kümeden r eleman çekilerek sıra önemli olmak kaydıyla sıralanması halinde bunun kaç farklı şekilde sıralandığını gösteren sayıya permütasyon adı verilir ve şöyle formüle edilir; • Burada (!) işareti faktöriyel olarak adlandırılır ve bunun altındaki bütün pozitif tam sayıların çarpılacağı anlamına gelir. n! = n.(n-1).(n-2)......2.1 olarak yazılır Özel olarak 0!=1’e eşittir. • n çok büyük olduğu zaman n!’in hesaplanması zor olacağından stirling formülü olarak tanımlanan aşağıdaki formül kullanılmaktadır.

16. Permütasyon birçok probleme uygulanabilmekle birlikte, uygulamada dikkat edilmesi gereken bazı durumlar vardır. Eğer bir problemde şu üç şart gerçekleşiyorsa permütasyonu doğrudan uygulamak mümkündür. • 1- Kümedeki bütün elemanlar birbirinden farklı olmalıdır, • 2- Herhangi bir eleman için hiçbir kısıtlama getirilmemelidir, • 3- Hiçbir eleman bir defadan fazla kullanılmamalıdır. • Örnek: nP4 = 5.nP3 ise n’in değerinedir? • Çözüm: • (n-3) = 5  n = 8 olur.

17. Örnek:10 farklı ampul a)10 farklı yere kaç değişik şekilde takılabilir? b) 5 farklı yere kaç değişik şekilde takılabilir? Çözüm: • 10!= 3628800 b)

18. Örnek:Bir rafta birbirinden farklı 5 tane Matematik, 2 tane Fizik ve 3 tane Kimya kitabı vardır. Aynı tür kitaplar birbirinden ayrılmamak üzere, kaç değişik şekilde yan yana sıralanabilir? • Çözüm: 5Matematik kitabını 1 kitap, 2 Fizik kitabını 1 kitap ve 3 Kimya kitabı da 1 kitap olarak düşünülürse, bunlar 3! şeklinde sıralanır. 5 Matematik kitabı kendi arasında 5!, 2 Fizik kitabı kendi arasında 2! ve 3 Kimya kitabı da kendi arasında 3! şeklinde sıralanabilir. Şu halde kitaplar bir rafa; • 3!*5!*2!*3! = 8640 farklı şekilde sıralanır. • Örnek: 8! = a ise ( 10! – 9! ) ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? • Çözüm 10! – 9! = 10 * 9! – 9! = 9! ( 10 – 1) = 9! * 9 bu ifade = 9 * 8! * 9 şeklinde yazılırsa, = 81 * 8! = 81 a olur.

19. Örnek:4 farklı istatistik ve 5 farklı matematik kitabı, matematik kitapları birbirinden ayrılmamak üzere bir rafa kaç değişik biçimde dizilebilir? • Çözüm: Matematik kitapları birbirinden ayrılmayacağı için hepsi bir kitap olarak düşünülebilir. • Bu durumda 5 kitap 5! şekilde sıralanır. Ayrıca 5 matematik kitabı da kendi arasında 5! şekilde sıralanır. O halde tüm sıralamalar; • 5! . 5! = 120 . 120 = 14.400 olur. • Örnek:20 kişinin katıldığı bir şiir yarışmada ilk üç dereceye girenler farklı şekillerde ödüllendirileceklerdir. Yarışma kaç değişik şekilde sonuçlanabilir? • Çözüm: Örnekte her derecenin farklı ödülü olduğuna göre sıra önemli olduğundan permütasyon uygulanması gerekir.

20. Tekrarlı permütasyon • n eleman içeren bir kümede r1 eleman birbirinin aynısı, r2 eleman birbirinin aynısı,...... rk eleman birbirinin aynısı ise n elemanın Permütasyon sayısı • şeklinde hesaplanır. • Örnek: ÇANAKKALE kelimesinin harfleri ile kaç farklı kelime yazılabilir? • Çözüm: Kelimede A, 3 kez tekrarlanmış, K, 2 kez tekrarlanmış, n = 9 (harf sayısı) olduğuna göre; • Problem: Bir sınıfta bulunan 15 öğrenciye 3 farklı test verilecektir. Her testi alan öğrenci sayısı aynıdır. Dağıtım kaç farklı şekilde gerçekleştirilir.(Cevap: 756756 )

21. Dairesel Permütasyon: • n tane farklı elemanın daire şeklinde bir yere sıralamasına, n elemanın dönel (dairesel) sıralaması adı verilir. Dairesel sıralamada en baştaki ile en sondaki eleman yan yana gelir. Bu nedenle n elemanın dönel (dairesel) sıralamalarının sayısı düz bir hatta sıralanmaya göre 1 eksik eleman alınarak bulunur. Yani n elemanın dönel (dairesel) sıralamalarının sayısı (n-1)! olur. • Örnek: 7 kişilik bir komisyon bir masa etrafında oturacaktır. • Bu komisyon yuvarlak bir masa etrafında kaç farklı şekilde oturabilir? • Bu komisyon düz bir masa boyunca kaç farklı şekilde oturabilir? • Komisyon başkanı ve yardımcısı yan yana gelmek şartıyla yuvarlak bir masa etrafında kaç farklı şekilde oturabilirler? • Çözüm: • a) (7-1)! = 6! = 720 • b) 7! = 5040 • c) (6-1)! *2! = 5!*2! = 240

22. Kombinasyon • Tablodan görüleceği üzere üçerli grupların sayısı yani, Permütasyon sayısı; • olacaktır. • Sıra önemli olduğundan yukarıdaki her satır sadecebir alt kümenin permütasyonlarından ibarettir. • Permütasyon sıranın önemli olduğu problemlere uygulanmaktadır. Ancak bazı problemlerde sıranın önemi yoktur. Böyle durumlarda Permütasyon uygulamak doğru olmaz. Sıra önemli olmak şartıyla a,b,c,d harflerinden üçerli gruplar oluşturulduğunda aşağıdaki sonuçlar elde edilir.

23. {a,b,c,d} Kümesinin her biri üç elemandan oluşan birbirinden farklı dört alt kümesi ({a,b,c}, {a,b,d}, {a,c,d}, {b,c,d}) vardır. n elemanı bulunan bir kümeden seçilen r elemanın permütasyonları, her alt kümeyi r! defa içinde bulundurmaktadır. Dolayısıyla n elemanın r li kombinasyonuna ulaşabilmek için nPr ’yi r! ile bölmek gerekir. Böylece sıranın önemi ortadan kalkmış olur. • Buna göre kombinasyon, n elemanı olan bir kümeden her biri r eleman içeren birbirinden farklı alt kümelerin kaç farklı şekilde seçilebileceğini gösteren sayıdır ve bu sayı şöyle bulunur. • Bu kombinasyon sayısına aynı zamanda binom katsayısı adı da verilmektedir.

24. Alfabenin ilk dört harfi ile teşkil edilen 3’erli kombinasyonların sayısı; • Özel olarak nC0 = 1 ve nCn = 1 e eşittir. • Ayrıca permütasyon ve kombinasyon arasında şöyle bir ilişki vardır. • Yukarıdaki ifadelere göre kombinasyonu permütasyona bağlı olarak şöyle ifade etmek mümkündür Toplam permütasyon sayısı Kombinasyon = --------------------------------------------------- Her alt kümenin permütasyon sayısı

25. Permütasyon ve Kombinasyon hangi tür problemlere uygulanabilir Permütasyonda sıra önemlidir, Örneğin; sözcüklerin dizilişi, bir sıraya oturma düzeni veya bir başkan bir başkan yardımcısı ve bir veznedar seçimi. Kombinasyonda sıra önemli değildir; örneğin komisyon ve takımların seçimi (sayma pozisyonları olmaksızın). Permütasyonlarda genellikle çarpma kuralı uygulanır, çünkü sıralı pozisyonların her birinin seçimi, bir olaylar silsilesi olarak görülebilir. (Kaynak: Olasılık, Schaum serisi, Nobel yayıncılık)

26. Örnek:10 üyesi olan bir dernekte 3 kişilik bir komisyon kaç değişik şekilde teşkil edilebilir. • Çözüm:komisyonda bulunan şahısların seçim sırası önemli olmadığına göre kombinasyon formülü uygulanır. • Örnek:A={1,2,3,4,5,6} kümesinin elemanları ile 3 basamaklı sayılar yazılacaktır. a) Bu kümedeki rakamlarla üç basamaklı kaç sayı yazılabilir. (Seçim iadeli) b) Her rakam bir defa kullanılmak şartıyla (seçim iadesiz) kaç farklı sayı yazılabilir. c) b şıkkındaki sayıların kaç tanesinde 4 rakamı bulunur. d) Bu sayıların kaç tanesinde 4 ve 5 rakamları bulunur.

27. e) Bu sayıların kaç tanesinde 4, 5 ve 6 rakamları vardır. • f) Bu sayıların kaçı 300’den büyüktür. • g) Bu sayılardan kaç tanesinin son rakamı 1’dir. • h) Bu sayılardan kaçı 1 ile başlar 6 ile biter. • Çözüm: • a) 6x6x6 = 216 • b) 6P3= 6x5x4=120 • c) • d) • e) • f) 4x5x4 = 80 • g) 1x5x4=20h) 1x4x1=4

28. Binom katsayıları Binom katsayılarını genel olarak şöyle ifade edebiliriz. (a+b)n ifadesi açıldığında an-rbr ’nin katsayısı r adet b ve n-r adet a’yı seçmek için mevcut olan hal sayısına eşittir. Dolayısıyla a b’nin katsayısı, n elemanlı bir Kümeden r elemanı olan bir alt küme seçmek için mevcut olan hal sayısına eşittir. Yani kısaca dur. Binom teoremi: Eğer n pozitif tamsayısı ise;

29. Binom katsayıları şu üç teorem kullanılarak kolayca hesaplanabilir. • Teorem 1) n pozitif tamsayı ve r=0,1,.....n için • olur. Bu ifade binom katsayılarının simetrik olduğunu ifade etmektedir. • Teorem 2) n pozitif tamsayı ve r=0,1,2,.....n-1 için • olur. Bu teoreme göre Paskal üçgenindeki üstteki iki sayının toplamının alttaki sayıya eşit olduğu anlaşılmaktadır. 2. teorem kullanılarak, binom katsayıları, paskal üçgeni yardımıyla kolaylıkla hesaplanabilir. n =0 (a+b)01 n =1 (a+b)11 1 n =2 (a+b)21 2 1 n =3 (a+b)31 3 3 1 n =4 (a+b)41 4 6 4 1 n =5 (a+b)51 5 10 10 5 1

30. Teorem 3) • Örnek:(a+1/a)8 ifadesinin açılımında sabit terimi bulunuz. • Örnek:(3x-5)10 ifadesinin açılımında x6 yı içeren terimi bulunuz

31. Örnek:(3+5x)4 teriminin açılımını yazınız. • Çözüm: • (3+5x)4 = 81+540x+1350x+1500x+625x • Örnek:ifadesinin açılımını yazınız. • Çözüm:

32. Örnek:ifadesinin açılımında sabit terimi bulunuz. • Çözüm: • Sabit terim x0 lı terim dir. Bu durumda veya, • 24 - 4r = 0 ise r = 6 olur. Bu durumda; • Olarak bulunur.

33. Örnek (2a2 -3b3)n ’in açılımında terimlerden biri ma6b15 ise, • a)n’i bulunuz • b)m’i bulunuz. • Çözüma) terim ma6b15 ise, • a’nın üssü 6, b’nin üssü 15 olduğuna göre bu üsler a ve b ifadelerinin üsleri de dikkate alınarak şöyle yazılabilir. • ma2x3b3x5 olur. O halde: n =3+5 = 8 dir. • b)n =8 olduğuna göre r = 5 olur. Buna göre;

34. Örnek ifadesinin açılımındaki terimlerden x’ teriminin katsayısını bulunuz. • Çözüm • x’in katsayısı arandığı için x1 e bakmak gerekir. • 1=11-2r 10=2r r=5olur. Buradan • 4r = 45 = 1024 dolayısıyla x’in katsayısı 462x1024 =437088