ALAN HESAPLAMALARI

1. ALAN HESAPLAMALARI Aşağıdaki şekillerde alanların kaçar birim kare olduklarını bulalım. 28 br2 25 br2

2. Birim Karelerin Hangisi? *Aşağıda verilen aynı büyüklükteki masaların yüzeyleri, farklı boyutlardaki karelerle kaplanmıştır. 12 br2 6 br2 24 br2 * 3 işlemde de aynı bölgenin alanını doğru olarak ölçmemize rağmen, farklı sonuçlarla karşılaştık. Neden? * Çünkü herkes için geçerli olan, standart bir ölçme birimi kullanılmadı.

3. *Standart bir ölçme birimi ile ölçme yapılırsa, herkes için daha anlaşılır olur. * Standart alan ölçme birimi olarak cm2 ve m2kullanılır. Bir diğer ifade ile; • Kenar uzunluğu 1 cm olan karenin alanı 1 cm2 dir. “ Bir santimetre kare” biçiminde okunur. • Kenar uzunluğu 1 m olan karenin alanına ise 1 m2 denir. “ Bir metre kare” biçiminde okunur. ***Eğer masamızın alanını bulurken, standart ölçme birimleri olan cm yada m kullansaydık, bulduğumuz sonuçlar aynı çıkardı.

4. 6 cm 5 cm 10 cm 9 cm 3 cm Karenin Alanını Hesaplayalım • Şekillerde karelerin birer kenar uzunlukları verilmiştir. • Alanlarını bulmaya çalışalım.

5. Ölçümlerimizi tablo halinde gösterelim. Kareler Kenarı (cm) Alanı ( cm2) • Her karenin bir kenarının uzunluğu ile alanı arasında nasıl bir ilişki vardır? 1.Kare 3 9 • Karenin alanı bir kenarının kendisi ile çarpımıdır. Örnek : Karenin bir kenarı 3 cm ise, Karenin Alanı ; ( A ) = 3x3 = 32 = 9 cm2dir. 2.Kare 5 25 3.Kare 6 36 4.Kare 9 81 5.kare 10 100 • Karenin bir kenar uzunluğuna a dersek , alanını nasıl gösteririz? • Karenin bir kenar uzunluğuna aolursa ; Alan ( A )= a x a = a2şeklinde formülleşir.

6. 5 cm 3 cm 4 cm 5 cm 9 cm 6 cm 9 cm 11 cm 7 cm 8 cm Dikdörgenin Alanını Hesaplayalım • Şekillerde dikdörtgenlerin uzunlukları ve genişlikleri belirtilmiştir. • Alanlarını bulmaya çalışalım.

7. Ölçümlerimizi yine tablo halinde görelim. • Her dikdörtgenin uzunluğu ve genişliği ile alanı arasında nasıl bir ilişki vardır? Dikdörtgenler Genişliği ( cm ) Uzunluğu ( cm ) Alanı ( cm2 ) 1.Dikdörtgen 3 5 15 • Dikdörtgenin alanı, uzunluğu ile genişliği çarpılarak bulunur. Örnek : Dikdörtgenin uzunluğu 11 cm, genişliği 5 cm ise; Dikdörtgenin Alanı; ( A ) = 11x5 = 55 cm2dir. 2.Dikdörtgen 4 9 36 3.Dikdörtgen 5 11 55 4.Dikdörtgen 6 8 48 5.Dikdörtgen 7 9 63 • Bir dikdörtgenin genişliğine a , uzunluğuna b dersek ; alanını nasıl gösteririz? • Dikdörtgenin genişliği a , uzunluğuna b olursa ; Alanı ( A ) = a x b şeklinde formülleşir.

8. N M c a a c L K Dikdörtgensel Bölgenin Alanı • Dikdörtgensel bölgenin alanı, uzunluğu ile genişliğinin çarpımına eşittir. • A(KLMN) = a x c • Bir kenarı yükseklik olarak düşünürsek; • Dikdörtgenin alanı, “bir kenarının uzunluğu ile yüksekliğinin çarpımına eşittir”, diyebiliriz.

9. F S a a a a E C Karesel Bölgenin Alanı • Karesel bölgenin alanı; iki kenar uzunluğunun çarpımına eşittir. • A(FSEC) =a x a = a2 • Bir kenarı yükseklik olarak düşünürsek; • Karesel bölgenin alanı; “bir kenarının uzunluğu ile yüksekliğinin çarpımına eşittir” , diyebiliriz.

10. Şekil üzerinde, alanı 12 cm2 olan dikdörtgenler çizmeye çalışalım. • Alanı 12 cm2 olan kaç dikdörtgen çizebiliriz? * Alıştırmalar 2 cm 3 cm 6 cm 4 cm A = 3x4 = 12 cm2 A = 2x6 = 12 cm2 12 cm 1 cm A = 1x12 = 12 cm2 • Bunun gibi başka dikdörtgenler çizebilir miyiz?

11. * Şekilde iki nokta arası 2 cm’dir. Buna göre şeklin çevresi kaç santimetredir? Kaç tane nokta aralığı olduğunu bulur ve 2 ile çarparız. Çözüm 1: Toplam : 20 tane Çevre = 20 x 2 = 40 cm Şeklimizin kenarlarını kes-yapıştır yöntemiyle dikdörtgene tamamlar ve çevresini hesaplarız. Çözüm 2: Oluşan dikdörtgenin; Kısa kenarı = Uzun Kenarı = Çevresi = 6 cm Ç = 40 cm 6 cm 14 cm 14 cm ( 6 + 14 ) x 2

12. * Aynı şeklin bu kez de alanını hesaplayalım.( iki nokta arası yine 2 cm) Çözüm : • Şekil üzerinde çizimler yaparak, şeklimizi dikdörtgensel ve karesel bölgelere ayırmaya çalışalım. • 1 dikdörtgensel ve 2 karesel bölge oluşturduk.Şimdi bu bölgelerin kenar uzunluklarını bulalım.( iki nokta arası 2 cm idi.) 8 cm 4 cm 6 cm 2 cm 4 cm 2 cm

13. 68 cm 2 • Ayrı ayrı alanları hesaplayıp ve daha sonra hepsini toplayarak , tüm şeklin alanını bulalım. * 8 cm 4 cm 48 cm2 6 cm 16 cm2 2 cm 4 cm 4 cm2 2 cm A = 2x2 = 4 cm2 A = 6x8 = 48 cm2 A = 4x4 = 16 cm2 Şeklimizin toplam alanı; + + = olur

14. 6 cm 7 cm 12 cm 11 cm * • Aşağıdaki dikdörtgenlerin önce çevre uzunluklarını, daha sonra alanlarını hesaplayınız. Çözüm = = 36 cm = 36 cm Ç = ( 12 + 6 ) x 2 ( 11 + 7 ) x 2 Ç = Dikdörtgenin çevresini ; bir uzun ve bir kısa kenarını toplayıp, sonra 2 ile çarparak bulduğumuzu hatırlayın. İki dikdörtgende de çevre uzunlukları eşit ve 36 cm çıktı.Şimdi alanlarını bulalım.Bakalım alanları da eşit çıkacak mı? Bu dikdörtgenler için,“çevreleri eşitse; alanları da eşittir.”diyebilir miyiz?

15. 6 cm 7 cm 12 cm 11 cm = 72 cm 2 = 77 cm 2 • Dikdörtgenlerimizin alanlarını ayrı ayrı hesaplayalım. A = A = 11 x 7 12 x 6 • Görüldüğü gibi dikdörtgenlerin alanları birbirinden farklı çıktı. • Bu ve buna benzer dikdörtgenler için;“çevreleri eşitse, alanları da eşittir” yada “alanları eşitse, çevreleri de eşittir”şeklinde bir kural koyamayız. • Verilen şeklin kenar uzunluklarına göre , çevre ve alanları hesaplamamız gerekir.

16. Bazen öyle sorularla karşılaşırız ki, bize alanın bir kısmı verilir, bizden alanın tamamı istenir. • Bunun tersi de olabilir tabi ki : Alanın tamamı verilir, taralı alanı bulmamız istenir. • Yada “taralı alan şu kadarsa, şeklin çevresi ne kadardır?” gibi çevre soruları da olabilir. • Şimdi , örnekler üzerinde bununla ilgili çalışmalar yapalım.

17. * a) 36 cm 2 b) 32 cm 2 c) 24 cm 2 d) 20 cm 2 Ç = 24 cm 36 cm 2 6 cm 6 cm x = Çevresinin uzunluğu 24 cm olan karesel bölgenin alanı kaç cm2 dir? • Çevre ve alan hesaplamaları yaparken, şeklin kenar uzunluklarının bilinmesi gerekmektedir. Çözüm : 6 cm • Karede dört eşit kenar bulunduğundan çevre uzunluğunu dörde bölerek, bir kenarını hesaplarız • Karenin alanını, bir kenar uzunluğunu kendisi ile çarparak buluyorduk. 6 cm 6 cm 6 cm 24:4 = 6 cm Karenin bir kenarı Karenin alanı

18. * a) 600 m 2 b) 60 m 2 c) 800 m 2 d) 80 m 2 800 m 2 40 m 20 m x = Bir uzun kenarı 40 m olan dikdörtgenin çevresi 120 m’dir. Bu dikdörtgenin alanı kaç m2 dir? Çözüm : • Çevresi ve bir uzun kenarı verilen dikdörtgenin, kısa kenarını da bulmamız gerekmektedir. • Dikdörtgenin uzun kenarları toplamı 40 + 40 = 80 m olur. • Çevresinden uzun kenarlar toplamını çıkararak , kısa kenarların toplamını buluruz. 120 – 80 = 40 m (kısa kenarlar toplamı) • Bir kısa kenar uzunluğu ise; 40 : 2 = 20 m olur 40 m Ç = 120 m 20 m 20 m 40 m İki kenar da belli olduğuna göre; şimdi alanını bulabiliriz. Dikdörtgenin alanı

19. * Uzun kenarı 160 m, kısa kenarı 40 m olan dikdörtgensel bir bahçenin alanı; karesel bir bahçenin alanına eşittir. Bu karesel bahçenin çevresi kaç m’dir? Çözüm : • Öncelikle problemi anlamaya çalışalım. Şekillerini çizelim. • Verilenleri ve isteneni listeleyelim. İstenen Verilenler • Dikdörtgen biçimindeki bahçenin; • Uzun kenarı :160 m • Kısa Kenarı : 40 m • Dikdörtgenin alanı, karenin alanına eşit. Kare şeklindeki bahçenin çevresi

20. Dikdörtgensel bahçenin kısa kenarı 40 m, uzun kenarı 160 m. • Dikdörtgenin alanını hesaplayıp, karenin alanı ile eşleyelim. 6400 m 6400 m 2 2 A = A = 160 x 40 = 40 m 160 m • Dikdörtgensel bahçenin alanı 6400 m2 olursa, karesel bahçenin alanı da 6400 m2 olacak. • Ancak soruda bizden karesel bahçenin çevresi isteniyor.

21. 6400 m 2 8 x 8 = 64 ise 80 x 80 = 6400 olur. Kısa yolu : A = 80 m 4 = x • Bizden istenen karenin çevresi olduğu için, karenin alanı olan 6400 m2 den yola çıkarak , karenin bir kenarını bulmamız gerekir. • Bir sayıyı kendisi ile çarparak 6400 sayısını bulacağız.Bu sayı kaç olabilir? 80 m • Öyle ise karesel bahçenin bir kenarı 80 m’dir. Şimdi çevresini hesaplayabiliriz. 320 m Karesel bahçenin çevresi

22. * D C a) 72 cm 2 b) 144 cm 2 c) 36 cm 2 d) 124 cm 2 A B 72 cm2 2 144 cm ABCD karesinde taralı bölge 72 cm2 ise, şeklin tüm alanı kaç cm2’dir? 72 cm2 • Karede komşu olmayan iki köşeyi birleştiren, iki doğru parçası vardır.Bunlaraköşegendiyoruz. • ACveBDköşegenleri Çözüm : • Köşegenler kareyi eş parçalara ayırır. Şimdi AC köşegenini çizelim. • Kare iki eş parçaya ayrıldı. • Taralı bölge 72 cm2 ise, diğer bölgede 72 cm2’dir. • Şeklin toplam alanı ise; 72 x 2 = olur

23. D C A B Karenin Özelliklerini Hatırlayalım • Karenin 2 köşegeni vardır. • Bir köşegen kareyi iki eş parçaya; • İki köşegen ise dört eş parçaya (üçgene) ayırır. o • Karenin köşegenleri birbirini ortalar. • Yani birbirlerini eş parçalara ayırırlar. • I AO I = I OC I = I BO I = I OD I

24. * N M O K L a) 90 cm 2 b) 135 cm 2 c) 180 cm 2 d) 225 cm 2 Şekilde KLMN karesel bir bölgedir. I LO I ve I NO Iuzunlukları birbirine eşit ve KLO üçgeninin alanı 45 cm2 ise, tüm şeklin alanı kaç cm2’dir?

25. N M O K L 180 cm 2 ** ILNI doğru parçası karenin bir köşegenidir. ** I NO I = I LO I olduğu için I LN I köşegeni ortalanmış durumdadır. *** Bu nedenle MO noktalarını birleştirdiğimizde, karenin diğer köşegeni olan I KM I köşegenini elde ederiz. *** Böylelikle karemiz 4 eş parçaya ayrılmış oldu. Çözüm : Taralı alan 45 cm2 ise; Diğer parçalar da 45 cm2’dir. 45 cm2 Karenin toplam alanı ; 45 cm2 45 cm2 45 x 4 = 45 cm2 olur.

26. * 25 m G H 75 m2 O E F Şekilde verilenlere göre EFGH dikdörtgeninin çevresi kaç metredir? a) 74 m b) 75 m c) 150 m d) 300 m Çözüm : • Dikdörtgenin bir kenarı ile alanının bir kısmı verilmiş, bizden çevresini bulmamız isteniyor. • Çevresini bulmak için dikdörtgenin diğer kenarını da bulmamız gerekir. • Bunu nasıl yapabiliriz? Biraz düşünün bakalım. • Dikdörtgenin alanı , kısa kenar ile uzun kenarın çarpımı ile bulunuyordu. • Alanının tamamını bulabilirsek , verilmeyen kenarı da bulabiliriz.

27. 25 m G H 75 m2 O E F 2 300 m 75 m2 75 m2 75 m2 • Karede olduğu gibi dikdörtgende de köşegenler , alanı birbirine eşit parçalara ayırırlar. • Verilen şekilde köşegenler , dikdörtgeni 4 eş parçaya ayırmıştır. • Taralı kısım 75 m2 ise ,diğer parçalarda 75 m2’dir. Dikdörtgenin Tüm Alanı : 75 x 4 = olur

28. Bulduğumuz alanı yerine yazalım. 25 m G A = H E F 2 300 m Ç = 74 m 12 m • Ancak bizden istenen alan değil, dikdörtgenin çevresiydi. • Bunun için de alan formülü kullanarak, kısa kenarı bulmamız gerekir. Dikdörtgenin Alanı = Kısa Kenar x Uzun kenar 300 = Kısa Kenar x 25 300 : 25 = 12 m Diktörtgenin kısa kenarı • Son işlem ; kısa ve uzun kenarları belli olan dikdörtgenimizin çevresini bulalım. 74 m Ç = ( 12 + 25 ) x 2 = olur.

29. * S Ş P R Şekildeki PRSŞ dikdörtgeninde IPRIkenarı dört eşit parçaya ayrılmıştır. Dikdörtgenin tüm alanı 200 cm2 ise, taralı alan kaç cm2’dir?

30. S Ş P R ** *Dikdörtgen üzerinde köşegenleri çizerek, dikdörtgeni eş parçalara ayıralım. *** ŞR köşegeni çizildiğinde taralı alanın kesildiği görülmektedir. **** Bu yüzden ŞR köşegenini kullanmamız doğru olmaz. *** Sadece SP köşegenini çizerek dikdörtgenimizi 2 eş parçaya ayırırız. *** Toplam alan 200 cm2 olduğundan, iki eş parçadan her biri 100 cm2olur. Çözüm : 100 cm2 100 cm2

31. S P R 100 cm2 2 2 25 cm 25 cm 100 cm2 • Sadece taralı alanın yer aldığı parçayı, dikdörtgenden ayıralım. • Bu şeklin tüm alanı 100 cm2 olmuştu. • IPRI doğru parçasının 4 eş parçaya ayrıldığı, soruda belirtilmişti. • Birleştirilmeyen diğer noktayı da, S köşesi ile birleştirelim. • Alanları birbirine eşit olan 4 tane üçgen elde ederiz. • Bu şeklin tamamı 100 cm2 ise ; 100 : 4 = olur. Taralı Bölge =

32. * D C 12 m A B Şekildeki ABCD dikdörtgeni içerisinde, birbirine eş 10 kare bulunmaktadır. BC kenarı 12 m ise, taralı alan kaç m2 olur? Çözüm : • Taralı alanı bulmak için, ABCD dikdörtgeninin alanından , birbirine eş 10 karenin alanını çıkarmamız gerekiyor. • Bunun için öncelikle dikdörtgenin ve karelerin kenar uzunluklarını hesaplamalıyız.

33. D C 12 m A B • BC kenarının ölçüsü olan 12 m yi kullanarak , karenin bir kenarını bulalım. • BC kenarını 4 kare ile oluşturduk. Öyleyse karelerin bir kenarı; • Böylelikle bütün karelerin alanlarını hesaplayabiliriz. 12 : 4 = 3 m olur. 3 3 3 3

34. Kısa kenarı 12 cm olan ABCD dikdörtgenin uzun kenarını bulalım. • Dikdörtgenin uzun kenarı 6 kareden oluştu. Karenin bir kenarı 3 cm olduğu için, dikdörtgenin uzun kenarı; • Şimdi kısa ve uzun kenarı belli olan ABCD dikdörtgenin alanını bulabiliriz. 6 x 3 = 18 m olur. D C 12 m A B 18 m

35. D C 12 m 3 A B 18 m = 216 m 2 9 m 2 = 9 m 2 2 126 m 90 m 2 216 m 2 90 m 2 ABCD dikdörtgeninin alanı = 18 x 12 Bir karenin alanı = 3 x 3 Tüm Karelerin Alanı = 10 x = Taralı Alan = - = olur.