WEB TABANLI SAYISAL YARIGRUP HESAPLAMALARI

1. WEB TABANLI SAYISAL YARIGRUP HESAPLAMALARI Yrd.Doç.Dr.Abdullah BAYKALYrd.Doç.Dr.Sedat İLHANDicle Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü Akademik Bilişim’10 Konferansı, 10-13 Şubat 2010 ,Muğla Akademik Bilişim'10 Konferansı 10-12 Şubat 2010, Muğla Ünviversitesi

2. Sayısal Grup nedir ? Z ve N ve sırasıyla, tamsayılar ve negatif olmayan tam sayılar cümleleri olarak verilsin. S Ì N olmak üzere ; S, Ndeki toplama işlemine göre kapalı, birleşmeli ve 0ÎS oluyorsa S’ye bir sayısal yarı grup (numerical semigroup) denir. S sayısal yarıgrup ve A={n1,n2,…,nk} Ì S olsun. Eğer, S = { ∑nisi: s1,s1,…,sk }ÎN şeklinde yazılabiliyorsa A alt kümesine S nin bir üreteçsistemi denir Akademik Bilişim'10 Konferansı 10-12 Şubat 2010, Muğla Ünviversitesi

3. Sayısal Yarıgrup • Öte yandan, B Ì A olacak şekilde S nin hiçbir B üreteç kümesi yoksa A alt kümesine sayısal yarıgrubunun bir minimal üreteç sistemi denir. • Sayısal yarıgruplar, Cebirin önemli ve yeni konularından biri olup bunların temelde sıfırı kapsamayan ve pozitif tam sayıların sonlu lineer kombinasyonlarının birer alt kümesi olduğunu söyleyebiliriz. Akademik Bilişim'10 Konferansı 10-12 Şubat 2010, Muğla Ünviversitesi

4. Bu anlamda karşılaşılan ilk problem 1884’teki Slyvester problemidir. • Bu problem; (s1,s2)=1 olacak şekilde, s1,s2,n1,n2ÎNiçin en büyük g tam sayısının n1s1+n2s2 şeklinde bir lineer kombinasyon olarak yazılıp yazılamayacağı şeklindedir. Bununla birlikte, [0, g] aralığında olmamasına rağmen bir çok tam sayının s1 ve s2 pozitif sayılarının bir lineer kombinasyonu olarak yazılabildiği yine Slyvester tarafından gösterilmiştir. Akademik Bilişim'10 Konferansı 10-12 Şubat 2010, Muğla Ünviversitesi

5. Sayısal yarıgruplar aşağıdaki alanların her birinde de oldukça önemli bir rol oynamaktadır ; 1) Cebirsel Geometri, 2) Komutatif Cebir 3) Sayılar Teorisi 4) Hesaplanabilir Cebir Akademik Bilişim'10 Konferansı 10-12 Şubat 2010, Muğla Ünviversitesi

6. Temel Bilgiler: • S bir sayısal yarıgrup olmak üzere, max{xÎZ : xS} sayısına S sayısal yarıgrubunun Frobenius sayısı denir ve g(S) ile gösterilir. • S bir sayısal yarıgrup ve onun g(S) Frobenius sayısı olmak üzere, her xÎZ\S için g(S)- xS oluyorsa S’ye simetrik sayısal yarıgrup denir. • Eğer g(S) çift ve xÎZ\S için x=g(s)/2 ve g(S)- xS oluyorsa S’ye pseudo-simetrik sayısal yarıgrup denir. • S bir sayısal yarıgrup ve n>0, nÎS olmak üzere, S’nin n sayısına göre Apery kümesi , Ap(S,n)={sÎS: s-nS} olarak ifade edilir ve Ap(S,n)ÌS olduğu açıktır. • S bir sayısal yarıgrup ve I onun bir alt kümesi olsun. Eğer, I+SI oluyorsa I ya, S sayısal yarıgrubunun bir ideali denir. Özel olarak, x>0, xÎS için,I=[x]={ x+s: sÎS } kümesine S’nin bir esas ideali denir. • I ve J idealleri toplamı , I+J={i+j: iÎI , jÎJ } olarak tanımlanır. Akademik Bilişim'10 Konferansı 10-12 Şubat 2010, Muğla Ünviversitesi

7. Program Hazırlığı • Yarıgrup hesaplamaları için , biri html ve ikisi c programı olmak üzere 3 adet program hazırlandı.Bu program isimleri semi.html, car1.c ve proje-3.c dir. • semi.html sayfası : Bu web sayfasındaki form S Sayısal yarıgrubu , I ve J ideallerin üreteç sayılarını göndermek için kullanıldı. • İstenirse burada I ve J ideallerinin üreteç sayıları verilmeyebilir ya da herhangi birinin üreteç sayısı verilebilir fakat hesaplama için mutlaka S sayısal yarıgrubunun üreteç sayısı verilmelidir. • Okunan üreteç sayıları car1.c ye gönderilir. Akademik Bilişim'10 Konferansı 10-12 Şubat 2010, Muğla Ünviversitesi

8. Programlar : • car1.c programı : car1.c programı üreteç adetleri kadar değer girebilmek için S ,I ve J için form sayıları oluşturmak ve formlara girilen değerleri proje-3.exe programına göndermek için kullanıldı. • proje-3.c programı : Ana program olan proje-3.c ise kendisine gönderilen üreteç değerlerinden elde edilen sayısal yarıgrubunda aşağıdaki kavramların her birini bulma ve web ortamında yazdırma işlemlerini yerine getirmektedir ; Akademik Bilişim'10 Konferansı 10-12 Şubat 2010, Muğla Ünviversitesi

9. Programın Çıktıları; • S’ nin Kutup noktaları kümesi :H(S) • S’nin boşlukları kümesi : G(S) • S’nin temel boşlukları kümesi:F(S) • S’nin belirteç kümesi: N(S) • S’nin Apery altgrubu: Ap(S,n) • S’nin idealleri: I ve J • S’nin I ve J ideallerinin; toplamı I+J , arakesiti IJ ve birleşimi IJ. Akademik Bilişim'10 Konferansı 10-12 Şubat 2010, Muğla Ünviversitesi

10. Örnek:1 • Örnek- 1. S sayısal yarıgrubunun I ve J idealleri için şekil-1’de üreteç sayıları, şekil-2’de üreteç değerleri ve şekil-3’te ise yukarıda ifade edilen kavramlar hesaplanmıştır. Akademik Bilişim'10 Konferansı 10-12 Şubat 2010, Muğla Ünviversitesi

11. Örnek-1: semi.html Akademik Bilişim'10 Konferansı 10-12 Şubat 2010, Muğla Ünviversitesi

12. Örnek-1: car1.c Akademik Bilişim'10 Konferansı 10-12 Şubat 2010, Muğla Ünviversitesi

13. Örnek-1: proje-3.c Akademik Bilişim'10 Konferansı 10-12 Şubat 2010, Muğla Ünviversitesi

14. Örnek-2: • Örnek- 2. sayısal yarıgurubunun ve idealleri için, şekil-4’de üreteç değerleri ve şekil-5’te ise yukarıda ifade edilen kavramlar hesaplanmıştır. Akademik Bilişim'10 Konferansı 10-12 Şubat 2010, Muğla Ünviversitesi

15. Örnek-2: Akademik Bilişim'10 Konferansı 10-12 Şubat 2010, Muğla Ünviversitesi

16. Örnek-2: Akademik Bilişim'10 Konferansı 10-12 Şubat 2010, Muğla Ünviversitesi

17. Örnek-3: • Örnek- 3. sayısal yarıgurubunun ve idealleri için, şekil-6’de üreteç değerleri ve şekil-7’te ise yukarıda ifade edilen kavramlar hesaplanmıştır. Akademik Bilişim'10 Konferansı 10-12 Şubat 2010, Muğla Ünviversitesi

18. Örnek-3: Akademik Bilişim'10 Konferansı 10-12 Şubat 2010, Muğla Ünviversitesi

19. Örnek-3: Akademik Bilişim'10 Konferansı 10-12 Şubat 2010, Muğla Ünviversitesi

20. Sonuç : • Bu çalışma, Sayısal yarıgruplardaki araştırmalara oldukça kolaylık ve hız kazandıracağı ve bu alandaki çalışmalarda eksikliği hissedilen bilgisayarla hesaplama konusunda önemli bir boşluğu dolduracağı kanısındayız. Akademik Bilişim'10 Konferansı 10-12 Şubat 2010, Muğla Ünviversitesi

21. T E Ş E K K Ü R L E R Akademik Bilişim'10 Konferansı 10-12 Şubat 2010, Muğla Ünviversitesi