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Dedução Natural

Dedução Natural. Universidade Tecnológica Federal do Paraná Curso de Engenharia de Computação. Método da dedução natural. Deduzir uma conclusão a partir de premissas. Regras de inferência. Método prático. Regras de inferência. Quantas regras se pode ter num sistema?

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Presentation Transcript

  1. Dedução Natural Universidade Tecnológica Federal do Paraná Curso de Engenharia de Computação

  2. Método da dedução natural • Deduzir uma conclusão a partir de premissas. • Regras de inferência. • Método prático.

  3. Regras de inferência Quantas regras se pode ter num sistema? Mínimo: duas regras para cada operador – introdutora e eliminadora. • Regras de inferência diretas. • Regras de inferência hipotéticas. • Regras de inferência derivadas.

  4. Dupla Negação (DN): ¬¬  Modus Ponens (MP):    Conjunção (C):    Separação (S):    Expansão (E):     Regras de inferência diretas

  5. Regras de inferência diretas Silogismo Disjuntivo (SD):   ¬ ¬   Condicionais para Bicondicional (CB):    Bicondicional para Condicionais (BC):   

  6. Exemplo de dedução Pa  (Qab  Cq), (Qab  Cq)  Dc, Dc  (E  (¬E  Fba)), Pa, ¬E ╞ Fba. 1. Pa  (Qab  Cq) P 2. (Qab  Cq)  Dc P 3. Dc  (E  (¬E  Fba)) P 4. Pa P 5. ¬E P ?Fba

  7. 1. Pa  (Qab  Cq) P 2. (Qab  Cq)  Dc P 3. Dc  (E  (¬E  Fba)) P 4. Pa P 5. ¬E P ?Fba 6. Qab  Cq 1, 4 MP 7. Dc 2, 6 MP 8. E  (¬E  Fba) 3, 7 MP 9. ¬E  Fba 5, 8 SD 10. Fba 5, 9 MP

  8. Definições “Definição 1: Sejam  um conjunto qualquer de fórmulas e  uma fórmula. Uma dedução de  a partir de  é uma sequência finita 1,...,n de fórmulas, tal que n =  e cada i, 1 i  n, é uma fórmula que pertence a  ou foi obtida a partir de fórmulas que aparecem antes na sequência, por meio da aplicação de alguma regra de inferência.” (MORTARI, 2001:242)

  9. Definições “Definição 2: Sejam  um conjunto qualquer de fórmulas e  uma fórmula. Dizemos que  é consequência lógica (sintática) de , o que denotamos por ├  , se há uma dedução de  a partir de .” (MORTARI, 2001:243)

  10. Exemplos {Pa  (Qab  Cq), (Qab  Cq)  Dc, Dc  (E  (¬E  Fba)), Pa, ¬E} ├ Fba. {1,...,n} ├  1,...,n├ 

  11. Regras de inferência hipotéticas Se Miau é um gato típico, ele não gosta de nadar. Se não gosta de nadar, então não pratica pesca submarina. Logo, se Miau é um gato típico, Miau não pratica pesca submarina. Gm  ¬Nm, ¬Nm  ¬Pm ├ Gm  ¬ Pm. 1. Gm  ¬Nm P 2. ¬Nm  ¬Pm P ?Gm  ¬ Pm 3. | Gm H ?¬Pm

  12. 1. Gm  ¬Nm P 2. ¬Nm  ¬Pm P ?Gm  ¬ Pm 3. Gm H ?¬Pm 4. ¬Nm 1, 3 MP 5. ¬Pm 2, 4 MP 6. Gm  ¬Pm 3-5 RPC

  13. Regra de prova condicional Formulação  :  

  14. Uso apropriado da RPC • Introduzir na derivação uma linha vertical toda vez que uma hipótese adicional for introduzida. • Não usar uma fórmula que ocorre à direita de uma linha vertical depois de terminada essa linha. • Descartar as hipóteses na ordem inversa em que foram introduzidas. • Uma dedução não termina enquanto não forem descartadas todas as hipóteses adicionais.

  15. Regras de inferência hipotéticas Cb  ¬Fnp ├ ¬(Cb  Fnp) 1. Cb  ¬Fnp P ?¬(Cb  Fnp) 2. Cb  Fnp H ?CTR 3. Cb 2 S 4. ¬Fnp 1, 3 MP 5. Fnp 2 S 6. Fnp  ¬Fnp 4, 5 C 7.¬(Cb  Fnp) 2-6 RAA

  16. Regra de redução ao absurdo Formulação:  ¬ ¬

  17. Regras de inferência derivadas São as regras que podem ser provadas a partir das regras mencionadas anteriormente. Podem ser consideradas como uma maneira de abreviar parte de uma dedução.

  18. Modus Tollens (MT):  ¬ ¬ Silogismo Hipotético(SH):    Contraposição  ¬¬ Dupla Negação (DN): ¬¬  Contradição (CTR):  ¬  Leis de De Morgan (DM): ¬(  ) ¬(  ) ¬  ¬ ¬  ¬ Regras de inferência derivadas

  19. Teoremas Definição 3: Uma fórmula  é um teorema (do CQC) se há uma dedução de  a partir do conjunto vazio de premissas. Assim,  é um teorema se e somente se ├ , o que abreviamos escrevendo simplesmente ├ .

  20. Teoremas Exemplo: ├ (Fa  Gb)  Fa. 1. Fa  Gb H 2. Fa 1 S 3. (Fa  Gb)  Fa. 1-2 RPC

  21. Consequência sintática e consequência semântica Teorema de Correção e Completude ├  se e somente se ╞   é uma consequência sintática de  se e somente se  é uma consequência semântica de .

  22. O método de dedução natural é um sistema de prova correto e completo. Correto porque se uma conclusão pode ser deduzida de um conjunto  de premissas, então ela de fato é consequência lógica (semântica) de . E completo porque, se uma fórmula é consequência lógica (sintática) de um conjunto de premissas, há uma dedução demonstrando isso.

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