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Mini-video 1 de 3 Materia: Concepto. Teorema de Rouché

Sistemas de ecuaciones lineales. Mini-video 1 de 3 Materia: Concepto. Teorema de Rouché. Sistemas de ecuaciones lineales. Se definen:. Sistemas de ecuaciones lineales. Se definen: Ejemplos:. Sistemas de ecuaciones lineales. Forma vectorial de un sistema:.

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Presentation Transcript

  1. Sistemas de ecuaciones lineales Mini-video 1 de 3 Materia: Concepto. Teorema de Rouché

  2. Sistemas de ecuaciones lineales • Se definen:

  3. Sistemas de ecuaciones lineales • Se definen: • Ejemplos:

  4. Sistemas de ecuaciones lineales • Forma vectorial de un sistema:

  5. Sistemas de ecuaciones lineales • Forma vectorial de un sistema: • Forma matricial:

  6. Sistemas de ecuaciones lineales Concepto de solución.

  7. Sistemas de ecuaciones lineales Concepto de solución. Ejemplo:

  8. Sistemas de ecuaciones lineales Concepto de solución. Ejemplo:

  9. Sistemas de ecuaciones lineales Clasificación: - Compatibles (determinados/indeterminados)- Incompatibles

  10. Sistemas de ecuaciones lineales Clasificación: - Compatibles (determinados/indeterminados)- Incompatibles Ejemplos:

  11. Sistemas de ecuaciones lineales Clasificación: - Compatibles (determinados/indeterminados)- Incompatibles Ejemplos: Soluciones:

  12. Sistemas de ecuaciones lineales • Sistemas homogéneos

  13. Sistemas de ecuaciones lineales • Sistemas homogéneos • Ejemplo:

  14. Sistemas de ecuaciones lineales • Teorema de Rouché-Frobenius

  15. Sistemas de ecuaciones lineales • Teorema de Rouché-Frobenius Ejemplo 1:

  16. Sistemas de ecuaciones lineales • Teorema de Rouché-Frobenius Ejemplo 1:

  17. Sistemas de ecuaciones lineales Ejemplo 2:

  18. Sistemas de ecuaciones lineales Ejemplo 2:

  19. Sistemas de ecuaciones lineales Ejemplo 2: Ejemplo 3:

  20. Sistemas de ecuaciones lineales Ejemplo 2: Ejemplo 3:

  21. Sistemas de ecuaciones lineales Ejemplo 4:Determinar, para los distintos valores del parámetro «a» la existencia de solución del sistema: :

  22. Sistemas de ecuaciones lineales Ejemplo 4:Determinar, para los distintos valores del parámetro «a» la existencia de solución del sistema: Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes:

  23. Sistemas de ecuaciones lineales Ejemplo 4:Determinar, para los distintos valores del parámetro «a» la existencia de solución del sistema: Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes: Si este determinante es distinto de cero, el rango de A y el de la matriz ampliada, A*, serán iguales y el sistema será compatible y determinado.

  24. Sistemas de ecuaciones lineales Ejemplo 4:Determinar, para los distintos valores del parámetro «a» la existencia de solución del sistema: Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes: Si este determinante es distinto de cero, el rango de A y el de la matriz ampliada, A*, serán iguales y el sistema será compatible y determinado. Veamos los valores de «a» para los que se anula el determinante:

  25. Sistemas de ecuaciones lineales Luego ya podemos afirmar: Si a1,-2: R(A)=R(A*)=3  Compatible y determinado

  26. Sistemas de ecuaciones lineales Luego ya podemos afirmar: Si a1,-2: R(A)=R(A*)=3  Compatible y determinado Veamos que pasa si a=1:

  27. Sistemas de ecuaciones lineales Luego ya podemos afirmar: Si a1,-2: R(A)=R(A*)=3  Compatible y determinado Veamos que pasa si a=1: Luego si a=1: R(A)=R(A*)=1  Compatible e indeterminado

  28. Sistemas de ecuaciones lineales Veamos que pasa si a=-2:

  29. Sistemas de ecuaciones lineales Veamos que pasa si a=-2: Calculamos:

  30. Sistemas de ecuaciones lineales Veamos que pasa si a=-2: Calculamos: Luego si a=-2: R(A)=2, R(A*)=3  Incompatible

  31. Sistemas de ecuaciones lineales Mini-video 2 de 3 Materia: Resolución de Sistemas Lineales

  32. Sistemas de ecuaciones lineales Sistemas equivalentes

  33. Sistemas de ecuaciones lineales Sistemas equivalentes Ejemplos:

  34. Sistemas de ecuaciones lineales Sistemas equivalentes Ejemplos: Se obtienen:- Intercambiando entre sí dos ecuaciones- Multiplicando una ecuación por un número  0- Sumándole a una ecuación otra multiplicada por un número real cualquiera.

  35. Sistemas de ecuaciones lineales Antes de resolver un sistema por alguno de los métodos que veremos a continuación, hemos de aplicar el teorema de Rouché y, si tiene solución, obtener otro equivalente cuya matriz sea de rango completo.

  36. Sistemas de ecuaciones lineales Antes de resolver un sistema por alguno de los métodos que veremos a continuación, hemos de aplicar el teorema de Rouché y, si tiene solución, obtener otro equivalente cuya matriz sea de rango completo. Ejemplo:

  37. Sistemas de ecuaciones lineales Antes de resolver un sistema por alguno de los métodos que veremos a continuación, hemos de aplicar el teorema de Rouché y, si tiene solución, obtener otro equivalente cuya matriz sea de rango completo. Ejemplo: Resulta que: Rango(A) =rango(A*)=2

  38. Sistemas de ecuaciones lineales Antes de resolver un sistema por alguno de los métodos que veremos a continuación, hemos de aplicar el teorema de Rouché y, si tiene solución, obtener otro equivalente cuya matriz sea de rango completo. Ejemplo: Resulta que: Rango(A) =rango(A*)=2 Con lo que resulta que hemos de sustituir el sistema por otro equivalente que tenga solo 2 ecuaciones:

  39. Sistemas de ecuaciones lineales Tenemos que:

  40. Sistemas de ecuaciones lineales Cualquiera de ellas nos valdrá. Por ejemplo:

  41. Sistemas de ecuaciones lineales Cualquiera de ellas nos valdrá. Por ejemplo: A este sistema le aplicaremos ya cualquiera de los métodos de resolución que veremos a continuación.

  42. Sistemas de ecuaciones lineales Definición: El sistema Ax=b es Cramer si m=n y Det(A)≠0

  43. Sistemas de ecuaciones lineales Definición: El sistema Ax=b es Cramer si m=n y Det(A)≠0Teorema: Todo sistema Cramer es compatible determinado

  44. Sistemas de ecuaciones lineales Definición: El sistema Ax=b es Cramer si m=n y Det(A)≠0Teorema: Todo sistema Cramer es compatible determinadoResolución de sistemas Cramer:- reducción- sustitución- igualación

  45. Sistemas de ecuaciones lineales Definición: El sistema Ax=b es Cramer si m=n y Det(A)≠0Teorema: Todo sistema Cramer es compatible determinadoResolución de sistemas Cramer:- reducción- sustitución- igualación- matriz inversa Ax=b; x=A-1b

  46. Sistemas de ecuaciones lineales Definición: El sistema Ax=b es Cramer si m=n y Det(A)≠0Teorema: Todo sistema Cramer es compatible determinadoResolución de sistemas Cramer:- reducción- sustitución- igualación- matriz inversa Ax=b; x=A-1b- Regla de Cramer (Ejemplo) Resolver mediante la Regla de Cramerel sistema:

  47. Sistemas de ecuaciones lineales Tenemos:

  48. Sistemas de ecuaciones lineales Sistemas Indeterminados

  49. Sistemas de ecuaciones lineales Sistemas IndeterminadosIncógnitas principales y secundarias

  50. Sistemas de ecuaciones lineales Sistemas IndeterminadosIncógnitas principales y secundariasResolución: paso a sistema CramerEjemplo: Resolver

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