1 / 20

KARAKTERISTIK BILANGAN BULAT MODULO m YANG MEMILIKI AKAR PRIMITIF

KARAKTERISTIK BILANGAN BULAT MODULO m YANG MEMILIKI AKAR PRIMITIF. Oleh Isty Yulianti 0700781. JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010. LATAR BELAKANG. TEORI BILANGAN. TEOREMA EULER. ORDER

waldo
Download Presentation

KARAKTERISTIK BILANGAN BULAT MODULO m YANG MEMILIKI AKAR PRIMITIF

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. KARAKTERISTIK BILANGAN BULAT MODULO m YANG MEMILIKI AKAR PRIMITIF Oleh Isty Yulianti 0700781 JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKAFAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIABANDUNG2010

  2. LATAR BELAKANG TEORI BILANGAN TEOREMA EULER ORDER BILANGAN BULAT AKAR PRIMITIF

  3. RUMUSAN MASALAH Bilanganbulatmodulo myang bagaimanakah yang memilikiakarprimitif? 1 Berapabanyakakarprimitif yang adapadasuatubilanganbulatmodulo m? 2

  4. ORDER BILANGAN BULAT MODULO m Misalkana, mdenganm > 0 dan ppb(a,m) = 1. Order daria modulo m, dinotasikandenganordmaadalahbilanganbulatpositifterkecilnsehinggaan≡1mod m.

  5. Contoh Order dari 2 modulo 7 dapatdiperolehdenganmencaripangkatpositifdari 2 yang menghasilkanresidu 1 (modulo 7). Maka, 21≡ 2 mod 7, 22 ≡4 mod 7, dan 23 ≡1 mod 7. Jadi order dari 2 modulo 7 adalah 3, yang dinotasikandengan ord72 = 3.

  6. TEOREMA EULER Jika ppb(a, m) = 1, makaa(m) mod m = 1 atau a(m) 1 (mod m). DEFINISI ORDER Jika a, mdenganm > 0 dan ppb(a,m) = 1. Order daria modulo m, dinotasikandenganordmaadalahbilanganbulatpositifterkecilnsehingga an 1 (mod m). Bagaimanakahhubungandari n dan𝜱(m)?

  7. AKAR PRIMITIF Jikaadasuatubilanganbulatr dan order dari r modulo m adalah𝜱(m), makardisebutakarprimitif modulo m Ordmr = 𝜱(m)

  8. Apakahakarprimitif modulo 7? PerhatikanBilanganBulat Modulo 7! Banyaknyabilanganbulat yang relatif prim dengan 7 adalah 6 1bukanakarprimitif modulo 7 karena ord71 = 1 ≠ 𝜙(7). 2 bukanakarprimitif modulo 7 karena ord72 = 3 ≠ 𝜙(7). 3 adalahakarprimitif modulo 7 karena ord73 = 6 = 𝜙 (7). Apakahsemuabilanganbulatmodulo m memilikiakarprimitif?

  9. Tidaksemuabilanganbulatmodulo mmemilikiakarprimitif Perhatikan Modulo 8! Banyaknyabilanganbulat yang relatif prim dengan 8 adalah 4 yaitu 1, 3, 5, dan 7 sehingga𝜙 (8) = 4. Berdasarkandefinisi, makaujiuntukbilanganbulat yang relatif prim dengan 8. ord81 = 1 ord83 = 2 ord85 = 2 danord87 = 2 Jadi, modulo 8 tidakmemilikiakarprimitif.

  10. Apakahakarprimitif modulo m ituunik? Perhatikan Modulo 14! Banyaknyabilanganbulat yang relatif prim dengan 14 adalah 6 yaitu 1, 3, 5, 9, 11, dan 13. Berdasarkandefinisi, ujibilanganbulat yang relatif prim dengan 14 tersebut! ord141 = 1 karena11 1 (mod 14) ord143 = 6 karena36 1 (mod 14) ord145 = 6 karena56 1 (mod 14) ord149 = 3 karena93 1 (mod 14) ord1411 = 3 karena113 1 (mod 14) ord1413 = 2 karena132 1 (mod 14) Jadi, 3 dan 5 adalahakarprimitif modulo 14.

  11. Bagaimanacaramengatahuiberapabanyakakarprimitifpadabilanganbulat modulo m? TEOREMA Jikaakarprimitif modulo m ada, makaterdapattepatsebanyak𝜙 (𝜙(m)) akarprimitif yang tidaksalingkongruen _______

  12. Bagaimanakahakarprimitifpadabilangan prima? Misalpsebuahbilangan prima dand∊ 𝜡dengand > 0 dand‌‌∣ p -1.Makaterdapattepatsebanyak𝜙(d) bilanganbulat yang tidaksalingkongruen yang mempunyai order d modulo p.

  13. akarprimitifdarisuatubilangan prima selaluada Misalpbilangan prima, makaterdapattepatsebanyak𝜙(p – 1) akarprimitif yang tidaksalingkongruen modulo p.

  14. Dari contohsebelumnya, Modulo 7 memilikiakarprimitif Modulo 8 tidakmemilikiakarprimitif Semuabilangan prima memilikiakarprimitif Adakahbilangan lain yang memilikiakarprimitif?

  15. Modulo 2 Modulo 4 Modulo 2n Modulo 8 Modulo 16

  16. Tidakadaakarprimitif modulo 2ndimanan ∊ 𝜡dan n ≥ 3. _________

  17. Bagaimanaakarprimitifpadabilangan yang berbentukmn dengan m dan n yang relatif prim? Contoh 1. Diketahui 1 dan 2 salingrelatif prim. Makaakarprimitif modulo (1.2) atau modulo 2 adalah 1. 11 1 (mod 2) ⇒ ord21 = 1 = 𝜙(2) Contoh 2. Diketahui 3 dan 4 salingrelatif prim. Makaakandicariakarprimitif modulo (3.4) atau modulo 12. 𝜙(12)= 4 yaitu 1, 5, 7 dan 11. 11 1 (mod 12) ⇒ ord121 = 1 ≠𝜙(12) 52 1 (mod 12) ⇒ ord125 = 2 ≠𝜙(12) 72 1 (mod 12) ⇒ ord127 = 2 ≠ 𝜙(12) 112 1 (mod 12) ⇒ ord1211 = 2 ≠𝜙(12) Jadi, modulo 12 tidakmemilikiakarprimitif

  18. Tidakadaakarprimitif modulo mn dimanam, n ∊ 𝜡 , m, n > 2 dan ppb(m, n)=1. _______

  19. TEOREMA AKIBAT Misalkanmdenganm> 0. Jikamdapatdibagiolehduabilangan prima ganjil yang berbedaataumdapatdibagiolehbilangan prima ganjildan 4, makatidakakanadaakarprimitif modulo m. ------------

  20. KARAKTERISTIK BILANGAN BULAT MODULO mYANG MEMILIKI AKAR PRIMITIF Jikaakarprimitif modulo mada, makamharussamadengan 1, 2, 4, pn, atau2pndimanapadalahbilangan prima ganjildannadalahbilanganbulatpositif.

More Related