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密碼學及其應用之研究 (A Study on Cryptography and Its Applications ) Min-Shiang Hwang ( 黃明祥 )

密碼學及其應用之研究 (A Study on Cryptography and Its Applications ) Min-Shiang Hwang ( 黃明祥 ) Department of Management Information Systems National Chung Hsing University Email: mshwang@nchu.edu.tw http://isrc.nchu.edu.tw/. 理論基礎 - 基本密碼 技術. 基本密碼 技術.  對稱式加解密技術  非對稱式加解密技術

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密碼學及其應用之研究 (A Study on Cryptography and Its Applications ) Min-Shiang Hwang ( 黃明祥 )

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Presentation Transcript

  1. 密碼學及其應用之研究 (A Study on Cryptography and Its Applications) Min-Shiang Hwang (黃明祥) Department of Management Information Systems National Chung Hsing University Email: mshwang@nchu.edu.tw http://isrc.nchu.edu.tw/

  2. 理論基礎 - 基本密碼技術

  3. 基本密碼技術 •  對稱式加解密技術  非對稱式加解密技術 • One-Way Hash Function (單向雜湊函數) • 數位簽章技術(Digital Signature)

  4. 私密金鑰密碼系統 (對稱式密碼系統) “安全“金鑰分配管道 金鑰 Send 加密 解密 密文 密文 明文 明文 Send 解密 加密 密文 密文 明文 明文 不安全通訊管道 張三 李四

  5. 祕密金鑰密碼系統(Secret-Key Cryptosystems) 又稱單金鑰密碼系統(One-Key Cryptosystems) 也稱對稱密碼系統(Symmetric Cryptosystems) 優點：加解密速度快 缺點：有金鑰管理的問題 每位使用者需儲存n-1把Keys U2 U3 U1 U4 U5 著名系統如：Triple-DES及AES

  6. 公開金鑰密碼系統 (非對稱式密碼系統) CA 金鑰 李四的密鑰 李四的公鑰 Send 加密 解密 密文 密文 明文 明文 Send 解密 加密 密文 密文 明文 明文 張三 李四 張三的密鑰 張三的公鑰

  7. 公開金鑰密碼系統(Public-Key Cryptosystems) 又稱雙金鑰密碼系統(Two-Key Cryptosystems) 也稱非對稱密碼系統(Asymmetric Cryptosystems) 優點：沒有金鑰管理的問題 高安全性 具有數位簽章功能 缺點：加解密速度慢 • 著名之公開密碼系統： • RSA密碼系統 • ElGamal密碼系統 • 橢圓曲線密碼系統

  8. RSA 加密法  非對稱式密碼系統的一種。 1978年美國麻省理工學院三位教授Rivest、Shamir、 Adleman (RSA)所發展出來的。  利用公開金鑰密碼系統作為資料加密的方式，可達到資料加密及數位簽章的功能。

  9. RSA 演算法 1. 張三選 2 個大質數 p 和 q (至少100位數)，令 N = p • q 2. 再計算Ø(N)=(p-1)(q-1)，並選 1 個與Ø(N)互質數 e Ø(N)為Euler‘s Totient函數，其意為與N互質之個數 (e,N) 即為張三的公開金鑰 3. 張三選 1 個數 d，滿足 e • d mod Ø(N) = 1 d 即為張三的解密金鑰(亦稱私有金鑰或祕密金鑰) 4. 加密法為 C = Me mod N 解密法為 M = Cd mod N RSA之安全性取決於質因數分解之困難度  要將很大的N因數分解成p跟q之相乘，是很困難的

  10. RSA 演算法- 例子 • 1. 張三選 p=3 ， q=11 ; 此時 N = p • q = 3 x 11 = 33 • 2. 張三選出 1 個與 ( p-1 ) x ( q-1 ) = ( 3-1 )( 11-1 ) • = 2 x 10 = 20 • 互質數 e=3 • ( e, N) = (3,33) 即為張三的公開金鑰 • 3. 張三選 1 個數 d=7 當作解密金鑰， • 滿足 e • d  1 mod 20 ( 7 x 3  1 mod 20 ) • 令明文 M = 19 • 加密 : C = Me mod N = 193 mod 33 = 28 • 解密 : M = Cd mod N = 287 mod 33 = 19

  11. 定理: Ø(P) = P-1 若P為質數 Ø(N) = Ø(PQ) = Ø(P)Ø(Q) Ø(A) = i=1..t Piei-1 (Pi-1) 設A=P1e1P2e2…Ptet Pi為所有質因數 RSA 演算法 Cd mod N = Med mod N = MaØ(N)+1 mod N = M Euler通用定理: 若A，P互質，則 AØ(P) mod P = 1 費瑪(Fermat)定理: 若P為質數且(A,P)互質，則 AP-1 mod P = 1

  12. 數位簽章(Digital Signature) 簽章者 驗證者 M M H || 比較是否相等 D DPKa[ESKa[H(M)]] =H(M) H(M) ESKa[H(M)] 為M之數位簽章 PKa H E 512 位元 SKa H: Hash Function (SHA-1 or MD5)

  13. One-Way Hash Function  一雜湊函數H(.)，任意輸入一訊息x，很容易計算出其輸出值H(x)。  若得知一訊息彙記H(x)，我們很難去推導出訊息x。  我們很難去找出一訊息y，使的H(y)=H(x)， 其中y不等於x。

  14. ElGamal Cryptosystem  非對稱式密碼系統的一種。 1985年由ElGamal所發展出來的。  安全性導因於離散對數(Discrete Logarithm)之困難度。  相同明文可得到不相同的密文。 RSA密碼系統則是相同明文得到相同密文。 離散對數(Discrete Logarithm)的問題： 若p為很大之質數；g為p之原根 (primitive root) y = gx mod p 雖已知y, g, p ，但要導出x值是很困難的

  15. ElGamal Cryptosystem  若g為p之原根 (primitive root)： gi mod p  gj mod p 其中i  j且i,j介於1至(p-1)之間 例如：2為11之原根，因為 21mod 11=2 22 mod 11=4 23 mod 11=8 24 mod 11=5 25 mod 11=10 26 mod 11=9 27 mod 11=7 28 mod 11=3 29 mod 11=6 210 mod 11=1  若g為p之原根，且a與(p-1)互質，則ga mod p亦為p之原根。例如：2為11之原根，且3與10互質，則23mod 11=8亦為11之原根。

  16. ElGamal 加密法 李四之金鑰產生： y = gx mod P y為李四之公開金鑰 x為李四之秘密金鑰 P為很大之質數 g為與P互質之原根 張三將明文m以李四之公開 金鑰加密： 1. 張三選一個亂數r 2. 計算 b = gr mod P c = m • yr mod P 3. 張三送(b,c)給李四 4. 李四收到(b,c)後計算 c • (bx)-1 mod P = m

  17. ElGamal 數位簽章法 李四之金鑰產生： y = gx mod P y為李四之公開金鑰 x為李四之秘密金鑰 P為很大之質數 g為與P互質之原根 李四將明文m以李四之祕密 金鑰製作簽章： 1.李四選一個亂數k使得gcd(k,p-1)=1 2.計算r = gk mod p 3.李四計算s使得m = (xr+ks) mod (p-1) 4.李四送(m,r,s)給驗證者(張三) 5.張三收到(m,r,s)後驗證 gm = yrrs mod P 上式若相等表示m確定為李四所簽署

  18. 橢圓曲線密碼系統(Elliptic Curve Cryptosystem) 1. The elliptic curve cryptosystem with a 160-bit key size can be instead 1024-bit key size in RSA and ElGamal cryptosystem. 2. No modulo expansion exponentiations operation. 3. Good for smart card.

  19. x y The Law of Addition (different point) E: y2=x3+ax+b P1+P2=P3 1. Draw the line L through P1 and P2. 2. L intersects E in a third point Q. Q L 3. Reflect Q to get P3. (change y to -y) P2 P1 P3

  20. The Example of Addition E: y2=x3+73 P1=(2, 9), P2=(3, 10). L: y=x+7 1. Draw the line L through P1 and P2. (x+7)2=x3+73  x3 –x2-14x+24=0 2. L intersects E in a third point Q. (x-a)(x-b)(x-c)=x3-(a+b+c)x2+(ab+ac+bc)x-abc -(2+3+x)=-1 (2+3+x)=+1x=-4 The sum of the three roots is minus the coefficient of x2. y=-4+7=3, Q=(-4, 3) 3. Reflect Q to get P3. (change y to -y) P3=(-4, -3) (2, 9)+(3, 10)=(-4, -3)

  21. x y The Law of Addition (the same point) E: y2=x3+ax+b P3 + P3 = P4 1. Draw the tangent line L through P3. 2. L intersects E in a third point Q. 3. Reflect Q to get P4. (change y to -y) P3

  22. The Example of Addition E: y2=x3+73 P3=(-4, -3) 1. Compute the slope of the tangent line L to E at P3. 2. Compute the line L, Q. y=-8(x+4)-3 x3-(-8)2x2+...=0 The sum of the three roots is minus the coefficient of x2. (-4)+(-4)+x=64x=72, the corresponding y=-611, Q=(72, -611) 3. Obtain P3=(72, 611) (-4, -3)+(-4, -3)=(72, 611)

  23. x y Define ∞ sits at the top and at the bottom of the y-axis. P + ∞ = ? A line through ∞ and Pis vertical, it intersects E in P=(x, y) and also in (x, -y). 1. P + ∞ = P 2. (x, y) + (x, -y) = ∞ P=(x, y) P=(x, -y)

  24. The Law of Subtraction P  -P, (x, y)  (x, -y) P – Q  P + (-Q) The Law of Multiplication kP = P + P + ... + P Add the point P by k times.

  25. Formula Let E: y2=x3+ax+b, P1=(x1, y1), P2=(x2, y2) Then P1+P2=P3=(x3, y3) x3=m2-x1-x2 y3=m(x1-x3)-y1 , if P1 P2 , if P1 =P2

  26. Elliptic Curve Mod P E: y2=x3+2x+3 mod 5 The possibilities for x mod 5 are 0, 1, 2, 3, 4. x=0  y2=3 mod 5  no solutions x=1  y2=1 mod 5  y=1, 4 mod 5 x=2  y2=0 mod 5  y=0 mod 5 x=3  y2=1 mod 5  y=1, 4 mod 5 x=4  y2=0 mod 5  y=0 mod 5 x=∞  y=∞ Therefore, the points on E are (1, 1), (1, 4), (2, 0), (3, 1), (3, 4), (4, 0), (∞, ∞) Example: (1, 4)+(3, 1)=? m=(1-4)/(3-1)=1 mod 5 x3=m2-x1-x2=12-1-3=2 mod 5 y3=m(x1-x3)-y1=1(1-2)-4= 0 mod 5 (1, 4)+(3, 1)=(2, 0) You can try to compute the above points by addition, multiplication, subtraction, the result is always on the above points.

  27. Elliptic Curve Discrete Logarithm Problem (橢圓曲線離散對數問題) Q=kP Known Q and P, it is hard to obtain k. Known k and P, it is easy to obtain Q.

  28. Elliptic Curve ElGamal Cryptosystem message 1 (m1) message 2 (m2) Alice Bob E: elliptic curve over GF(q). P: A point on E. Q: A public key Q=dP. d: A private key. Step 1. Choose a random integer r and compute B=rP. Step 2. Compute c1=m1(rQ)x c2=m2(rQ)y B, c1, c2 m1=c1/(dB)x =m1(rQ)x/(dB)x =m1(rdP)x/(drP)x =m1 m1=c1/(dB)x m2=c2/(dB)y

  29. Elliptic Curve ElGamal Digital Signature Alice Bob E: elliptic curve over GF(q). GF: Galois Field P: A point on E. Q: A public key Q=dP. d: A private key. V1=xQ+sR =xdP+k-1(m-dx) kP =mp Step 1. Choose a random integer k and compute R=(x, y)=kP. Step 2. Compute s=k-1(m-dx) mod q Step 3. Send (m, R, s). V1=xQ+sR V2=mP V1=V2 (m, R, s) ?

  30. 應用研究

  31. 問題一 張三任職於臺灣銀行，李四為某企業(有十萬員工)之會計人員，李四每月底必須把所有員工薪資資料簽章後，將此十萬員工薪資資料及其簽章，送交臺灣銀行，以便張三將薪資轉帳給所有員工，問題是張三要一一驗證李四送來之每位員工薪資資料及其簽章，需要做十萬次驗證，顯然沒有辦法即時轉帳給員工，影響其銀行之服務品質，請替張三想辦法解決此煩惱問題。 整批驗證多重簽章 (Batch Verifying Multiple Digital Signatures)

  32. 整批驗證多重簽章 • 假設Alice送訊息M1, M2, .., Mt及簽章S1, S2, .., St給Bob • Alice以Private Key d簽章，Si=h(Mi)d mod n • Bob使用Alice的Public Key e驗證訊息M1, M2, .., Mt的簽章是否正確 • 驗證方式

  33. 整批驗證多重簽章弱點 • 兩項弱點 • 訊息與簽章易位無法偵測出錯誤 • 偽造簽章使簽章係數乘積為1的問題

  34. 訊息與簽章易位 • 假設Alice送三個簽章訊息(M1,S1), (M2,S2), (M3 ,S3)給Bob • Alice送出偽造訊息(M2,S1), (M3,S2), (M1 ,S3) • Bob以下列的式子驗證簽章

  35. 訊息與簽章易位 • 簽章值正確，但訊息位置對調 • 乘法具有交換律 M1 x M2 x M3 = M2 x M3 x M1 S1 x S2 x S3 = S2 x S3 x S1 M2 S1 M3 S2 M1 S3

  36. 偽造簽章使簽章係數乘積為1 • 假設Alice送三個簽章S1, S2 ,S3給Bob • Alice送出偽造的三個簽章 • Bob以下列的式子驗證簽章

  37. 偽造簽章使簽章係數乘積為1 • 簽章係數的值為1 M1 ½ x S1 M2 ¼ x S2 M3 8 x S3 (½ x S1) x (¼ x S2) x (8 x S3) = S1 x S2 x S3

  38. 整批驗證多重簽章 - 研究方向 • 提出一更安全的方法 • 整批驗證其他多重數位簽章方法 • 整批驗證若發現錯誤時，需逐筆驗證簽章才能找出錯誤的地方，相當缺乏效率，有沒有更有效率方法？

  39. 問題二 張三將其所有財產鎖在保險櫃，並立下遺囑，將其財產遺留給其五子女。張三很困擾保險櫃的鑰匙如何保管？若自已保管，萬一張三發生意外來不及告知子女鑰匙，將沒有人可以開鎖。但若交給其中一位子女保管，又擔心該子女會私自挪用，也擔心他死後，該保管鑰匙的子女會獨佔所有財產，對其他子女不公平。請替張三想辦法解決此煩惱問題。 秘密分享技術 (Secret Sharing)

  40. (t, n)秘密分享(Secret Sharing)技術 集t個次密鑰 回復演算法 ………… 主要密鑰 主要密鑰 分成n個次密鑰(or shadow)

  41. Lagrange Interpolation Formula Polynomial: n pairs Point: At least t pairs can use Lagrange interpolation formula to reconstruct unique polynomial as follows:

  42. There are n users in the system. At least t or more users • may easily reconstruct the secret s. But any t-1 or fewer • users may not. secret t (users) n • Two Phases: • (1) initial phase • (2) secret reconstruct phase

  43. (1) initial phase Secret holder: 1. Randomly choose a polynomial f(x) of t-1 degree: 2. Let f(0)= s be the secret. 3. Randomly choose distinct integer xi as ui’s public value. 4. Compute yi=f(xi) as ui’s shadow.

  44. (2) secret reconstruct phase At least t users (ui, i=1,...,t) pools their shadows yi (for i=1,...,t), the secret s can be reconstructed as follows: 黃明祥

  45. 秘密分享 - 研究方向 • 防制欺騙者之機制 • 多組別(t1, n1), (t2, n2), …(tm, nm)秘密分享機制 • 解決秘密值只用一次之缺點

  46. 問題三 張三要跟網路上李四秘密通訊，但他們並沒有一把共同秘密金鑰，也沒有使用公開金鑰密碼系統。請問張三如何與李四做秘密通訊。 金鑰交換技術 (Key Exchange)

  47. Diffie-Hellman Key Exchange Bob Alice 1.選擇很大的亂數a 2.計算 X = ga mod p 4.計算秘密金鑰 K=Ya mod p 3.傳送X 1‘.選擇很大的亂數b 2‘.計算 Y = gb mod p 4‘.計算秘密金鑰 K=Xb mod p 3‘.傳送Y K=gab mod p 註: p為很大之質數 g為與p互質之原根(primitive)

  48. Man-in-the-Middle Attack Hacker Bob Alice X=ga mod p X Z=gh mod p Z Y=gb mod p Z Y Kah=Za mod p =gah mod p Kbh=Zb mod p =gbh mod p Kah=gah mod p Kbh=gbh mod p

  49. Elliptic Curve Diffie-Hellman Key Agreement E: y2=x3+ax+b P: a point on E (We call the point P is a base point). QB=dBP QB as his public key. dB as his private key. QA=dAP QA as her public key. dA as her private key. Alice Bob QA QAB=dBQA QB QAB=dAQB QAB=dAdBP

  50. 金鑰交換技術 - 研究方向 • 防制Man-in-the-Middle攻擊之機制 • 金鑰交換過程中如何確認彼此身份？ • 三方或多人如何做金鑰交換？(Conference Key Scheme)

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