Computabilidade e Linguagens Formais

Computabilidade e Linguagens Formais Problemas Notas baseadas em John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman. “Introduction to automata theory, languages and computation”. 2nd ed, Addison-Wesley, 2001. Gabriel David / Cristina Ribeiro

Problema 1 • Considere a linguagem S* em que S= {aa, b}. Quantas palavras de comprimento 4, 5e 6 contém esta linguagem? • O que pode concluir em geral? • Resposta • 4: aaaa, aabb, baab, bbaa, bbbb (5) • 5: aaaab, aabaa, baaaa, aabbb, baabb, bbaab, bbbaa, bbbbb (8) • 6: aaaaaa, aaaabb, aabaab, aabbaa, aabbbb, baabaa, baaaab, baabbb, bbaaaa, bbaabb, bbbaab, bbbbaa, bbbbbb (13)

Problema 2 • (i) Seja S={ab, bb} e T={ab, bb, bbbb}. Mostre que S*=T*. • (ii) Seja S={ab, bb} e T={ab, bb, bbb}. Mostre que S*T*, mas que S*  T*. • (iii) Que princípio ilustram estes resultados? • Resposta • (i) S*  T*. Se w  S* então é constituído por uma sequência de ocorrências de ab e de bb. Ora quer ab quer bb pertencem a T e portanto w  T*. • T* S*. Se w  T* então é constituído por uma sequência de ocorrências de ab, bb e bbbb. Ora quer ab quer bb pertencem a S e bbbb corresponde a repetir bb que está em S e portanto w  S*.

Problema 2 (cont.) • (ii) S*  T*. Se w  S* então é constituído por uma sequência de ocorrências de ab e de bb. Ora quer ab quer bb pertencem a T e portanto w  T*. • S*T*, porque, por exemplo bbb  T* mas não a S*, uma vez que as cadeias só com b’s em S* tem que ter comprimento par pois são construídas à custa de repetições de bb. • (iii) o princípio ilustrado é o de que S  T  S*  T*.

Problema 3 • Suponha que numa certa linguagem L se podem sempre concatenar duas palavras e obter uma palavra em L, desde que as duas sejam diferentes, isto é, dadas w1, w2 L, w1w2, então w1w2  L, embora w1w1 não pertença. Mostre que isto não pode acontecer. • Resposta • Se w1, w2 L então w1w2 L e w1w2w1 L e, fazendo x1= w1w2w1 e x2=w2, w1w2w1w2 L. Mas então, fazendo agora x1= w1w2, também x1x1  L, contrariando a hipótese.

Problema 4 • Apesar de alguma semelhanças, as expressões regulares não são polinómios algébricos. Quais das seguintes igualdades são verdadeiras? Justifique. • (i) (a+b)* = (a+b)* + (a+b)* • (ii) (a+b)* = (a+b)* b (a+b)* • (iii) (a+b)* = (a+b)* + a* • (iv) (a+b)* = (a+b)* (a+b)* • (v) (a+b)* = a(a+b)* + b(a+b)* • (vi) (a+b)* = (a+b)*ab(a+b)*+b*a* • Resposta • falsas são (ii), porque exige sempre um b, e (v) porque falta o caso vazio (acrescentar ); na (vi) trata-se primeiro os casos em que existe um ab e com b*a* todos os outros

Problema 5 • Considere a expressão regular e simplifique-a • E = (a+b)*a(a+b)*(a+)(a+b)*a(a+b)* • Resposta • Aplicar a propriedade distributiva • E = (a+b)*a(a+b)*(a)(a+b)*a(a+b)* + (a+b)*a(a+b)*()(a+b)*a(a+b)* • Reconhecer: 1ª operando exige 3 a’s, enquanto que o segundo exige apenas 2, o que inclui o caso dos 3. • Simplifica para: E= (a+b)*a(a+b)*a(a+b)*

Problema 6 • Considere o autómato da figura. Obtenha uma expressão regular que defina a mesma linguagem usando • (i) o método da construção de caminhos • (ii) o método da redução de nós 2 a,b a a Start 4 1 b a b b 3

Problema 6 (cont.) 2 • Rij(k) = Rij(k-1) + Rik(k-1) (Rkk(k-1))*Rkj(k-1) a,b a a Start R12(1)=a+()*a = a 4 1 b a b b 3

Problema 6 (cont.) 2 • Rij(k) = Rij(k-1) + Rik(k-1) (Rkk(k-1))*Rkj(k-1) a,b a a Start 4 1 b a b b 3 R12(2)=a+a()* = a R13(2)=b+a()*a = b+aa R32(2)=b+b()*a = b+ba R12(3)=a+(b+aa)(+ba)*(b+ba) = a+(b+aa)(ba)*(b+ba)

Problema 6 (cont) 2 • Rij(k) = Rij(k-1) + Rik(k-1) (Rkk(k-1))*Rkj(k-1) a,b a a Start 4 1 b a b b 3 R14(4)=aa+(b+aa)(ba)*(b+ba)+(aa+(b+aa)(ba)*(b+ba))(+a+b)*(+a+b)= aa+(b+aa)(ba)*(b+ba)+(aa+(b+aa)(ba)*(b+ba))(a+b)*

Problema 6 (cont) 2 • Eliminar 2 e depois 3 a,b a a Start 4 1 b a b b a,b 3 aa Start 4 1 a,b ba aa+(b+aa)(ba)*(b+ba) b+aa b+ba Start 4 1 3 R= [aa+(b+aa)(ba)*(b+ba)](a+b)* = = [aa+b(ba)*b+b(ba)*ba +aa(ba)*b + aa(ba)*ba](a+b)*= = (aa+bb)(a+b)*

Computabilidade e Linguagens Formais