1 / 21

Klasse 9

Klasse 9. Wh. „Ereignis“, „Gegenereignis“ . Vereinigung, Schnitt – Beispiel: gezinkter Würfel – 1 und 6 mit 1/4, die anderen mit 1/8 A: Primzahl, B: ungerade.

warner
Download Presentation

Klasse 9

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Klasse 9 Wh. „Ereignis“, „Gegenereignis“ Vereinigung, Schnitt – Beispiel: gezinkter Würfel – 1 und 6 mit 1/4, die anderen mit 1/8 A: Primzahl, B: ungerade

  2. Klasse 9 Was ist also „unvereinbar“ ?

  3. Klasse 9 bedingte Wahrscheinlichkeit : Hintergrund

  4. Klasse 9 bedingte Wahrscheinlichkeit – Umsetzung Test zum räumlichen Vorstellungsvermögen: Vierfelder-tafel

  5. Klasse 9 Dasselbe mit Baumdiagrammen

  6. Klasse 9 E: im ersten Zug Rot, F: im zweiten Zug Rot Benutze zur Definition der Unabhängigkeit zweier Ereignisse

  7. Klasse 9 In der Zuverlässigkeitstheorie kann Unabhängigkeit – z.B. bei einer Reihenschaltung von Pumpen – vorausgesetzt werden. P(untere Pumpe funktioniert) = 0,95 P(obere Pumpe funktioniert) = 0,95 Also: P(obere UND unter Pumpe funktionieren) = 0.950,95 Aufgabensorten: solche, bei denen Unabhängigkeit vorausgesetzt ist und solche, bei denen Unabhängigkeit nachgewiesen werden soll. Beachte Aufgabenvariationen, z.B. Wahrscheinlichkeiten für eine der beiden Pumpen verkleinern u.Ä.

  8. Klasse10 Zufallsvariable und Erwartungswert Eine »Zufallsvariable« ist eine Zuordnung, die jedem Ergebnis eines Zufallsversuchs eine (reelle) Zahl zuordnet. Beispiel: 4-mal Ziehen ohne Zurücklegen aus einer Urne: S = {ggrr, grgr, rggr, grrg,rgrg,rrgg} Zuordnung, genannt X, mit der Anweisung: »Zähle, wie oft man zieht, bis 2-mal r (also: rot) gezogen ist? Werte xi von X : 4 3 2 P(X = 4) = 1/2, P(X = 3) = 1/3, P(X = 2) = 1/6

  9. Klasse10 Beispiel »Dreimaliger Münzwurf« (Ergebnisse: W,Z) X: Anzahl des Auftretens von W oder X: Anzahl der W mal Anzahl der B oder X: Geldgewinn (z.B. 2€, falls WWW oder ZZZ, sonst 0€) Beispiel: »Urne mit 4 Zetteln« (eins,sieben,hundert,tausend) X: Anzahl der Buchstaben auf einem Zettel x1 = 4, x2 = 6, x3 = 7 mit P(X = x1) = 1/4, P(X = x2) = 1/4, P(X = x3) = 1/2 oder X: Anzahl der vorkommenden »e« x1 = 1, x2 = 2 mit P(X = x1) = 3/4 , P(X = x2) = 1/4

  10. Klasse10 Erwartungswert – Einführungsbeispiel »2-mal würfeln« Bei 3600 Spielen etwa 8€ 200 + 4€400 = 3200€ bei 1800 Spielen etwa 8€100 + 4€200 = 1600€, die Hälfte! bei 1 Spiel etwa (8€200 + 4€400):3600 = 8/9 € (zu erwarten)

  11. Klasse10 Einschub: die Kunst des Zählens 1.) Wie viele Möglichkeiten gibt es, 5 Hemden, 4 Krawatten und und 3 Hosen zu kombinieren? 543 (Produktregel) 2.) geordnete Stichprobe mit Zurücklegen ein Tipp beim Toto: aus der »Urne« {0,1,2} Stichprobe vom Umfang 13, z.B. (1,1,1,0,1,1,1,2,1,1,1,0,1) 1.Stelle 3 Mögl., 2.Stelle 3 Mögl. .... also 313 mögliche Tippreihen Oder: wie viele 4-stellige Nummern mit den Ziffern aus der »Ziffern-Urne« {1,...,9} gibt es?  94 allg.: n in der Urne, Stichprobenumfang k  nk

  12. Klasse10 3.) geordnete Stichprobe ohne Zurücklegen Wie viele 4-stellige Nummern mit den Ziffern aus der »Ziffern-Urne« {1,...,9} gibt es, wenn die Ziffern sich nicht wiederholen dürfen?  9876 allg.: n in der Urne, Stichprobenumfang k  n(n-1)(n-2)   (n-(k-1)) = Spezialfall n in der Urne, Stichprobenumfang auch n  n(n-1)(n-2)   1 = n! Permutationen der Ziffern

  13. Klasse10 4.) ungeordnete Stichprobe ohne Zurücklegen n in der Urne, Stichprobenumfang k - ziehe »mit einem Griff« Auf wie viele Arten kann man k Kugeln aus der Urne entnehmen, wenn es nicht auf die Reihenfolge der gezogenen Kugeln ankommt? ---- Lottoziehung! Berechnung: Ziehe zuerst wie bei 3.) – dann muss man aber noch durch die Permutationenanzahl k! dividieren. Binomialkoeffizient, siehe (a+b)n Pascalsches Dreieck GTR: Math – PRB – 3 (=nCR) 5 nCr 3 = 10 Ende des Einschubs

  14. Klasse10 Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen  Binomialverteilung Bernoulli-Versuch: Zufallsexperiment mit »Treffer» oder »Niete« »Erfolg« oder »Misserfolg« P(Treffer) = p und folglich P(Niete) = 1-p »Bernoulli-Kette der Länge n« - n unabhängige Bernoulli-Versuche nacheinander

  15. Klasse10 Beispiel: 3-mal (Laplace-)Würfeln – und es geht nur um »6« oder »Nicht-6« !!! (Treffer und Niete) Die Zufallsvariable X soll nun »zählen«, wie oft bei 3-mal Würfeln »Treffer« vorkommt und die Wahrscheinlichkeit dafür angeben. X kann die Werte 0, 1, 2 und 3 haben. (X=3) = {(T,T,T)}  P(X=3) = 1ppp = p3 (X=2) = {(T,T,N),(T,N,T),(N,T,T)}  P(X=2) = 3p2(1-p)(X=1) = {(T,N,N),(N,T,N),(N,N,T)}  P(X=1) = 3p(1-p)2 (X=0) = {(N,N,N)}  P(X=0) = 1(1-p)3 Die (grünen) Anzahlen: z.B. »auf wie viele Arten kann ich 2 T‘s auf 3 Plätze verteilen?« - das ist ungeordnet ohne Zurücklegen, also »n über k«

  16. Klasse10 Ergebnis: die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomial verteilten Zufallsvariablen X

  17. Klasse10 Eine Münze wird 20 mal geworfen. Zu bestimmen sind die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse: a) Genau 10 mal Wappen. b) Höchstens 15 mal Wappen. c) Mindestens 7 mal Wappen. d) Mindestens 6 mal und höchstens 16 mal Wappen. Histogramm der Binomialverteilung und der kumulativen Verteilung

  18. Klasse10 Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsvariablen: betrachte die Diagramme z.B. der Verteilungen für n = 50, p = 0,5 und n = 50, p= 0,7. Der Erwartungswert wird unmittelbar ersichtlich als 500,5 = 25 bzw. 500,7 = 35 Also: E(X) = np

  19. Klasse10 Rechnerische Herleitung für n = 1 bzw. n = 2 und n = 3

  20. Klasse10 Praxis der Berechnungen bei der Binomialverteilung: n = 25 und p= 0,3 P(X = 10) = 0,0916 2nd DISTR 0 P(X ≤ 6) = 0,34065 2nd DISTR A P(X ≥ 6) = 1 – P(X ≤ 5) = ........ P(5 ≤ X ≤ 20) = P(X ≤ 20) – P(X ≤ 4)

  21. Klasse10 Wie oft muss man einen L-Würfel mindestens werfen, wenn man mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99% mindestens eine 6 erhalten will? Es geht um eine Bernoullikette der Länge n = ?, aber p = 1/6. X zählt die vorkommenden 6er und es muss gelten P(X ≥ 1) ≥ 0,99 also 1 – P(X = 0) ≥ 0,99 P(X = 0) ≤ 0,01 Im Register Y= dann 2nd TABLE Ergebnis: 26

More Related