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MATEMÁTICAS A. CS II

MATEMÁTICAS A. CS II. Tema VII Derivadas. CÁLCULO DE DERIVADAS. Tema 7.5 * 2º BCS. DERIVADAS DE LA SUMA. Sea y = f(x)+g(x) y’ = f ’(x) + g ‘(x) Ejemplos: y = x 3 + x  y’ = 3.x 2 + 1 y = x 5 – x 3  y’ = 5.x 4 – 3.x 2

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  1. MATEMÁTICAS A. CS II Tema VII Derivadas Apuntes 2º Bachillerato C.S.

  2. CÁLCULO DE DERIVADAS Tema 7.5 * 2º BCS Apuntes 2º Bachillerato C.S.

  3. DERIVADAS DE LA SUMA • Sea y = f(x)+g(x) • y’ = f ’(x) + g ‘(x) • Ejemplos: • y = x3 + x  y’ = 3.x2 + 1 • y = x5 – x3  y’ = 5.x4 – 3.x2 • y = ex + x4  y’ = ex + 4.x3 • y = x3 + 1/x  y’ = 3.x2– 1/x2 • y = x + √x – 3  y’ = 1 + 1/(2.√x) • y = x2 + lnx  y’ = 2.x + 1/x Apuntes 2º Bachillerato C.S.

  4. DERIVADAS DE LA SUMA • Sea y = f(x)+g(x) • y’ = f ’(x) + g ‘(x) • Ejemplos: • y = x2 + lnx  y’ = 2.x + 1/x • y = ex – ln x + √e y’ = ex – 1/x • y = x + sen x  y’ = 1 + cos x • y = x3 – cos x  y’ = 3.x2 + sen x • y = arctg x + tg x  y’ = 1 / (1 + x2) + 1+tg2 x • y = √x – arc sen x  y’ = 1/(2√x) – 1/√(1 – x2 ) Apuntes 2º Bachillerato C.S.

  5. DERIVADAS DEL PRODUCTO • Sea y = f(x). g(x) • y ’ = f ‘(x) . g(x) + f(x) . g ’(x) • Ejemplos: • y = ex . x4  y’ = ex x4 + ex 4x3 • y = x3 . 1/x  y’ = 3.x2 . 1/x + x3 .(-1/x2 ) = 3x – x = 2x • y = x . √x  y’ = √x + x /(2.√x) • y = x2 .lnx  y’ = 2.x.lnx + x2 1/x = 2.x.lnx + x • y = sen x . √x  y’ = cos x. √x + sen x. 1/(2.√x) • y = cos x.lnx  y’ = - sen x. lnx + cos x. 1/x Apuntes 2º Bachillerato C.S.

  6. DERIVADAS DE CONSTANTE POR FUNCIÓN • Sea y = k.f(x) • y ' = k. f ‘(x) • Ejemplos: • y = 4x3 y’ = 12.x2 • y = – 5x7  y’ = – 35.x6 • y = 5.ex + 2.x4  y’ = 5.ex + 8.x3 • y = 7.x3 + 5/x  y’ = 21.x2– 5/x2 • y = 3x + 7√x – e  y’ = 3 + 7/(2.√x) • y = - 3.x2 + 5.lnx  y’ = - 6.x + 5/x Apuntes 2º Bachillerato C.S.

  7. DERIVADAS DE CONSTANTE POR FUNCIÓN • Sea y = k.f(x) • y ' = k. f ‘(x) • Ejemplos: • y = 9x2 + 4lnx  y’ = 18.x + 4/x • y = 3ex – a.ln x + √e y’ = 3ex – a/x • y = 7x – 2sen x  y’ = 7 – 2 cos x • y = 8.x3 – e.cos x  y’ = 24.x2 + e.sen x • y = 3.arctg x + 5.tg x  y’ = 3 / (1 + x2) + 5.(1+tg2 x) • y = 21.√x – 4.arc sen x  y’ = 21/(2√x) – 4/√(1 – x2 ) Apuntes 2º Bachillerato C.S.

  8. DERIVADAS DEL COCIENTE • Sea y = g(x) / f(x) • g ‘(x). f (x) – g (x). f ‘(x) • y ‘ = ----------------------------------- • f 2 (x) • Ejemplos: • y = 2ex / x4  y’ = (2ex x4 – 2ex 4x3 ) / x8 • y = x3 / (x – 1)  y’ = (3.x2 (x – 1) – x3 .1) / (x – 1)2 • y = (x + 3) / √x  y’ = (1. √x – (x + 3). 1/(2.√x)) / x • y = x2 / (ex + x)  y’ = (2.x.(ex + x) – x2 . (ex + 1)) / (ex + x)2 • y = (x + sen x) / cos x  y’ =((1+ cos x).cos x – (x + sen x).(- sen x)) / cos2 x Apuntes 2º Bachillerato C.S.

  9. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DE FUNCIÓN • REGLA DE LA CADENA • Ya hemos visto como dadas dos funciones f(x) y g(x) , no es lo mismo • y = f(g(x)) que y = g(f(x)) • Ambas funciones compuestas son diferentes, y diferentes serán por tanto sus funciones derivadas. • Sea y = f(g(x))  y’ = f ’ (g(x)) . g ‘ (x) • Sea y = g(f(x))  y’ = g ‘ (f(x)) . f ‘ (x) • Ejemplo 1 • Sea y = sen7 x  Función polinómica  y ‘ = 7. sen6 x . cos x • Ejemplo 2 • Sea y = sen x7 Función trigonométrica  y ‘ = cos x7 . 7. x6 Apuntes 2º Bachillerato C.S.

  10. REGLA DE LA CADENA • Ejemplo 3 Apuntes 2º Bachillerato C.S.

  11. REGLA DE LA CADENA • Ejemplo 4 Apuntes 2º Bachillerato C.S.

  12. REGLA DE LA CADENA • Ejemplo 5 • Ejemplo 6 Apuntes 2º Bachillerato C.S.

  13. REGLA DE LA CADENA • Ejemplo 7 • EJEMPLO 8 Apuntes 2º Bachillerato C.S.

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