400 likes | 563 Views
DOMINOWANIE W GRAFACH. Magdalena Lemańska. Problem pięciu królowych ( 1850 r ). Jaka jest najmniejsza liczba królowych jaka może być rozmieszczona na szachownicy 8 x 8 tak, by każde pole było w zasięgu jakiejś królowej?. Problem pięciu królowych-problem znalezienia „zbioru
E N D
DOMINOWANIE W GRAFACH Magdalena Lemańska
Problem pięciu królowych (1850 r). Jaka jest najmniejsza liczba królowych jaka może być rozmieszczona na szachownicy 8 x 8 tak, by każde pole było w zasięgu jakiejś królowej? Problem pięciu królowych-problem znalezienia „zbioru dominującego” o mocy 5.
G=(V,E); V=V(G)- zbiór wierzchołków, |V(G)|=n(G); E=E(G)- zbiór krawędzi. Dla danych wierzchołków x,y grafu G mówimy, że x dominujey, jeśli x=y albo jeśli xy E(G). W takim razie x dominuje siebie i wszystkie wierzchołki sąsiednie z wierzchołkiem x. Zbiór DV(G) jest zbiorem dominującym w grafie G, jeśli każdy wierzchołek ze zbioru V(G)-D w grafie G jest dominowany przez wierzchołek ze zbioru D.
Otwarte sąsiedztwo wierzchołka v: NG(v) – zbiór wszystkich wierzchołków połączonych krawędzią z v; Domknięte sąsiedztwo wierzchołka v:NG[v]= NG(v) {v} Otwarte sąsiedztwo zbioru X V: NG(X) =UvX NG(v); Domknięte sąsiedztwo zbioru:NG[X]=NG(X)X. dG(u,v) – odległość międzyu i v - długość najkrótszej (u-v)- ścieżki w G Jest kilka sposobów zdefiniowania zbioru dominującego, każdy z nich ilustruje różne aspekty pojęcia dominowania.
Zbiór DV(G) wierzchołków grafu G=(V,E) jest zbiorem dominującym wtedy i tylko wtedy, gdy: (i) dla każdego wierzchołka v V-D istnieje wierzchołek u D taki, że v jest sąsiedni do u; (ii) dla każdego wierzchołka v V-D, dG(v,D) 1; (iii) NG[D]=V; (iv) dla każdego wierzchołka v V-D, |NG(v)D| 1, czyli każdy wierzchołek v V-D jest sąsiedni do przynajmniej jednego wierzchołka z D; (v) dla każdego wierzchołka v V, |NG[v] D| 1.
Jeśli D jest dominujący w G, to każdy nadzbiór D’ D też jest dominujący. Z drugiej strony, nie każdy podzbiór D” D jest dominujący w G. Zbiór dominujący D jest minimalny dominujący, jeśli żaden podzbiór właściwy D” D nie jest dominujący.
Twierdzenie 1. Zbiór dominujący D jest minimalnym zbiorem dominującym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego wierzchołka u D zachodzi jeden z dwóch warunków: a)u jest izolowany w D; b) istnieje v V-D, dla którego NG(v) D = {u}. Niech D - zbiór dominujący i niech u D. Mówimy, że wierzchołek v jest prywatnym sąsiadem wierzchołka u (w odniesieniu do D), jeśli NG[v] D = {u}. Zbiór prywatnych sąsiadów wierzchołka u: PN[u,D]={v : NG[v] D = {u}}. u PN[u,D], jeśli jest izolowany w podgrafie indukowanym G[D], wtedy mówimy, że u jest swoim własnym prywatnym sąsiadem.
Zbiór dominujący D jest minimalny dominujący wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wierzchołek z D ma przynajmniej jednego prywatnego sąsiada. Twierdzenie 2. Każdy spójny graf G rzędu co najmniej dwa posiada zbiór dominujący D, którego dopełnienie V-D też jest zbiorem dominującym. Twierdzenie 3. Jeśli G jest grafem bez wierzchołków izolowanych, to dopełnienie V-D każdego minimalnego zbioru dominującego D jest zbiorem dominującym w G. Moc najmniejszego zbioru dominującego w grafie G nazywamy liczbą dominowania grafu Gi oznaczamy (G). Moc największego zbioru minimalnego dominującego w grafie G nazywamy górną liczbą dominowania grafu Gi oznaczamy (G).
(G)=3 (G)=5 Ograniczenia na liczbę dominowania. Twierdzenie 4 (Ore) Jeśli graf G nie ma wierzchołków izolowanych, to (G) n/2.
Twierdzenie 5. Dla grafu G bez wierzchołków izolowanych, rzędu n, gdzie n jest parzyste, (G) = n/2 wtedy i tylko wtedy, gdy składowymi grafu G są cykl C4albo korona HK1dla dowolnego grafu spójnego H. Korona dwóch grafów G1 i G2 jest to graf G = G1 G2 powstały z jednej kopii G1 oraz |V(G1)| kopii G2 gdzie i-ty wierzchołek G1 jest sąsiedni do każdego wierzchołka w i-tej kopii G2. W szczególności, G = HK1 jest grafem powstałym z kopii H gdzie do każdego wierzchołka v V(H) dodajemy nowy wierzchołek v’ i krawędź wiszącą vv’.
Twierdzenie 6. Dla każdego grafu G, (G) n - (G). Podział krawędzi uv w grafie G otrzymujemy przez usunięcie krawędzi uv, dodanie nowego wierzchołka w oraz dodanie krawędzi uw i vw. Ranny pająk jest to graf powstały przez podział co najwyżej t-1 krawędzi gwiazdy K1,tdla t 0. Twierdzenie 7. Dla każdego drzewa T, (T) = n - (T) wtedy i tylko wtedy, gdy T jest rannym pająkiem. Twierdzenie 8. Jeśli graf G nie ma wierzchołków izolowanych oraz diam(G) 3, to (Gd) = 2, gdzie Gd jest dopełnieniem grafu G. Twierdzenie 9. Jeśli (Gd) 3, to diam(G) 2.
Obwód grafu G, ozn. g(G) jest to długość najkrótszego cyklu w G (jeśli graf posiada cykl). • Twierdzenie 10. Dla każdego grafu G, • jeśli g(G) 5, to (G) (G), • jeśli g(G) 6, to (G) 2((G)-1). Zbiory niezależne. Niech i(G) oznacza moc najmniejszego maksymalnego zbioru niezależnego w grafie G; 0 – moc największego zbioru niezależnego w G.
Drzewo T ma zbiory maksymalne niezależne o trzech rozmiarach. 0(T)=5 i(T)=3
Twierdzenie 11. Niezależny zbiór S jest maksymalny niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy jest niezależny i dominujący. Wniosek: Każdy zbiór maksymalny niezależny jest zbiorem dominującym. Zbiory dominujące. Drzewo T ma zbiory minimalne dominujące o czterech rozmiarach. (T)=2 (T)=5
Twierdzenie 12. Każdy zbiór maksymalny niezależny w G jest minimalnym zbiorem dominującym w G. Wniosek: Dla każdego grafu G, (G) i(G) 0(G) (G). Zbiory nienadmierne. Możemy powiedzieć, że zbiór D jest zbiorem minimalnym dominującym w G wtedy i tylko wtedy, gdy: (*) dla każdego wierzchołka v D, istnieje wierzchołek w V-(D-{v}), który nie jest dominowany przez D-{v}. Warunek (*) można wyrazić w języku „prywatnych sąsiadów”.
PN[4,D]={1,2,3,4} PN[6,D]={6} PN[7,D]={7} PN[v,D]=NG[v]-NG[D-{v}] W warunku (*) wierzchołek w musi być prywatnym sąsiadem wierzchołka v w odniesieniu do D (możliwe jest w=v). (**) zbiór D jest zbiorem minimalnym dominującym w G wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego wierzchołka v D, PN[v,D] , czyli każdy wierzchołek v D ma przynajmniej jednego prywatnego sąsiada.
Jeśli jest spełniony warunek (**), to mówimy, że zbiór D jest zbiorem nienadmiernym. Twierdzenie 13. Zbiór dominujący D jest minimalny dominujący wtedy i tylko wtedy, gdy jest dominujący i nienadmierny. Rozważmy maksymalne zbiory nienadmierne w grafie G. Zbiór nienadmierny S jest maksymalny nienadmierny, jeśli dla każdego wierzchołka u V-S, zbiór S {u} nie jest nienadmierny, czyli istnieje przynajmniej jeden wierzchołek w S {u}, który nie ma prywatnego sąsiada. W takim razie, nienadmierny zbiór S jest maksymalny nienadmierny, jeśli zachodzi następujący warunek: (***) dla każdego wierzchołka w V-S istnieje wierzchołek v S {w}, dla którego PN[v,S {w}] = .
Moc najmniejszego zbioru maksymalnego nienadmiernego w G oznaczamy ir(G) i nazywamy liczbą nienadmierności. Moc największego zbioru nienadmiernego w G oznaczamy IR(G) i nazywamy górną liczbą nienadmierności. Na czerwono zaznaczone są zbiory maksymalne nienadmierne. ir(G)=2 IR(G)=3
Twierdzenie 14. Każdy zbiór minimalny dominujący w G jest zbiorem maksymalnym nienadmiernym w G. Twierdzenie 15. Dla każdego grafu G, ir(G) (G) i(G) 0(G) (G) IR(G) . (G)=5 ir(G)=4
Twierdzenie 16. Dla każdego grafu G, (G)/2 < ir(G) (G) 2ir(G)-1. Twierdzenie 17. Dla każdego grafu G, IR(G) n - (G). Inne rodzaje dominowania. Oprócz dominowania, rozważa się dodatkowe własności zbiorów wierzchołków, rozważając własności podgrafów indukowanych przez te zbiory.
Dominowanie spójne (Sampathkumar, Walikar, 1979) Zbiór dominujący D nazywamy zbiorem spójnie dominującym, jeśli D jest dominujący i G[D] jest spójny. Moc najmniejszego zbioru spójnie dominującego w G nazywamy liczbą dominowania spójnego grafu G i oznaczamy c (G). Każdy zbiór spójnie dominujący jest dominujący, więc dla każdego grafu spójnego G mamy (G) c (G). Twierdzenie 18. W każdym grafie spójnym G istnieje zbiór spójnie dominujący S taki, że |S| 20(G) – 1. Wniosek: Dla każdego grafu spójnego G, c (G) 20(G) – 1.
Twierdzenie 19.(Duchet, Meyniel) Dla każdego grafu spójnego G, c (G) 3 (G)-2. Lemat 20. Jeśli w grafie spójnym G istnieje najmniejszy maksymalny zbiór nienadmierny, który jest zbiorem niezależnym, to ir(G) = (G) = i(G). Twierdzenie 21. Jeśli G jest spójny, to ir(G) c (G) 3ir (G)- 2. Wniosek: Jeśli G jest spójny, to c (G) 3i (G)- 2. Nierówności są najlepsze z możliwych. Przedstawimy przykłady, dla których zachodzą równości. Twierdzenie 22. Jeśli G jest grafem, który nie zawiera K1,3 ani A-L-grafu jako podgrafów indukowanych, to ir(G) = (G) = i(G).
A-L- graf Przykład 1. Dla dowolnej liczby naturalnej p rozważmy graf G=C3p. W takim grafie c (C3p) = 3p-2. Zbiór D, do którego należy co trzeci wierzchołek cyklu jest niezależnym zbiorem nienadmiernym i dominującym, |D|=p. Widać, że taki grafnie zawiera K1,3 ani A-L-grafu jako podgrafu indukowanego, więc ir(C3p) = (C3p) = i(C3p)= p.
Przykład 2. Dla dowolnych liczb naturalnych s i t rozważmy graf H otrzymany przez utożsamienie ze sobą jednego z wierzchołków każdego z cykli C3s,C3t . W takim grafie jest 3(s+t)-1 wierzchołków oraz c(H) = 3(s+t)-5. W grafie tym znajdziemy najmniejszy maksymalny zbiór nienadmierny, który jest również zbiorem niezależnym (do zbioru tego musi należeć wierzchołek powstały przez utożsamienie), wiec zgodnie z lematem 20 mamy ir(H) = (H) = i(H) = s + t – 1. Na rysunku jest przedstawiony graf G, dla którego s = t = 2, a wierzchołek v z jednego cyklu jest utożsamiony z wierzchołkiem u z drugiego. Widać, ze ilość wierzchołków w tym grafie n = 11; c (G) =3(2 + 2) - 5 = 7; ir(G) = (G) = i(G) = 2 + 2 - 1 = 3.
Z łańcucha dominowania oraz z tego, żec (G) 20(G) – 1wynika również, żec (G) 2 (G) – 1orazc (G) 2IR(G) – 1Ograniczenia te sa najlepsze z możliwych.Na przykład w cyklu C5mamy 0 (C5) = (C5) = IR(C5) = 2; c (C5) = 3. (Sampathkumar, Walikar) Dla każdego spójnego podgrafu spinającego H grafu G mamy c (H) c (G). Dla każdego grafu spójnego G istnieje drzewo spinające T grafu G takie, żec (G) = c (T) = n(G) – n1(T), gdzie n1 oznacza ilość wierzchołków końcowych w T. Drzewo to ma największą z możliwych ilość wierzchołków końcowych.
Twierdzenie 23.Dla każdego grafu spójnegoGznwierzchołkami zachodzi równośćc (G)+ (G)= n, gdzie (G)oznacza największą ilość wierzchołków końcowych w drzewie spinającym grafuG. Twierdzenie 24.Dla każdego grafu spójnegoGz nwierzchołkami i największym stopniem wierzchołka(G) zachodzi nierówność c (G) n - (G). W roku 1956 E.A. Nordhaus oraz J.W. Gaddum znaleźli ograniczenia dla sumy i iloczynu liczb chromatycznych grafu G i jego dopełnienia Gd: (G)+ (Gd) n+1, n (G)(Gd) (n+1)(n+1)/4
Podobnych ograniczeń szuka się również dla różnych liczb dominowania. Ogólnie zagadnienia typu Nordhausa-Gadduma polegają na znalezieniu podobnych ograniczeń dla sumy i iloczynu pewnego niezmiennika grafu G i tego samego niezmiennika dopełnienia Gd grafu G. Hedetniemi i Laskar znaleźli górne ograniczenie dla sumy liczb spójnego dominowania dla grafu G i jego dopełnienia. Twierdzenie 25.JeśliGi jego dopełnienieGdsą spójne, to c (G)+ c (Gd) n+1. Twierdzenie 26.Dla każdego drzewaTz co najmniej dwoma wierzchołkami, różnego od gwiazdy, mamy c (T)+ c (Td) n.
Dominowanie wypukłe i słabo wypukłe. (prof. Topp) Zbiór XV jest wypukły w G, jeśli wszystkie wierzchołki każdej najkrótszej (x-y)-ścieżki należą do X dla każdych x,y należących do zbioru X. Zbiór XV nazywamy słabo wypukłym w G, jeśli dla każdych dwóch wierzchołków x,y należących do zbioru X istnieje najkrótsza (x-y)-ścieżka, której wierzchołki należą do X. Liczba dominowania słabo wypukłego w G, oznaczana wcon(G), jest to moc najmniejszego zbioru słabo wypukłego dominującego w G, natomiast liczba dominowania wypukłego w G, oznaczana con(G), jest to moc najmniejszego zbioru wypukłego w G.
Dominowanie spójne: dla każdych dwóch wierzchołków u,v należących do zbioru dominującego D, istnieje (u-v)- ścieżka, której wierzchołki należą do D; Dominowanie słabo wypukłe: dla każdych dwóch wierzchołków u,v należących do zbioru dominującego D, istnieje najkrótsza(u-v)- ścieżka, której wierzchołki należą do D; Dominowanie wypukłe: dla każdych dwóch wierzchołków u,v należących do zbioru dominującego D, wierzchołki ze wszystkich najkrótszych (u-v)- ścieżek należą do D.
Lemat 27 Dla każdej liczby naturalnej n 7 i dla każdej liczby naturalnej k, 7k n, istnieje graf G rzędu n taki, że con(G)= wcon(G) = k. Obserwacja 28: Dla każdego grafu spójnego G jest (G) c(G) wcon(G) con(G). Twierdzenie29 Dla dowolnych k,r N, r 3, istnieje graf G taki, że c(G) - wcon(G) = r oraz con(G) - c(G) = con(G) - wcon(G) =k. Twierdzenie 30 Każda z różnic con(G) - 0 oraz con(G) - może być dowolnie duża. Twierdzenie 31 Jeśli G jest spójny, nie posiada wierzchołków końcowychoraz nie istnieje w G cykl indukowany długości mniejszej niż 6, to con(G) = n.
Niech G H będzie iloczynem kartezjańskim grafów spójnych G i H. Dla zbioru D V(G H ) oznaczmy: DG = {u V(G): (u,v) D dla pewnego v V(H)}; DH = {u V(H): (u,v) D dla pewnego v V(G)}. Hipoteza Vizinga:Dla każdych dwóch grafów G, H jest (G) (H) (G H ) Twierdzenie 32(Canoy, Garces) Zbiór D V(G H ) jest wypukły w G H wtedy i tylko wtedy, gdy D=DG DH, gdzie DG jest wypukły w G i DHjest wypukły w H. Twierdzenie 33 Jeśli D jest dominujący w G H, to DG jest dominujący w G i DH jest dominujący w H. Twierdzenie 34 Dla dowolnych grafów spójnych G i H jest con(G) con(H) con(G H).
Dominowanie słabo spójne (Dunbar, Grossman, Hedetniemi, Hatting, 1997) Podgraf słabo indukowany przez D V(G)- graf G[D]w=(NG[D],Ew);e Ewjeśli e ma przynajmniej jeden koniec w D; D V(G) – zbiór słabo spójny dominujący, jeśli D jest dominujący oraz G[D]w (<D>w) jest spójny; Liczba dominowania słabo spójnego grafu G, ozn. w(G)- moc najmniejszego zbioru słabo spójnego dominującego w G.