Angles et parallèles

1. Angles et parallèles

2. ~ = Pris deux à deux, des angles ont entre eux différents noms et différentes propriétés. Angles opposés par le sommet Ces angles sont isométriques (congrus) : Angles adjacents Ils ont un côté commun. Angles adjacents complémentaires La somme de leur mesure = 900 . Angles adjacents supplémentaires La somme de leur mesure = 1800 . 1800

3. Il existe également d’autres paires d’angles importants créées par une sécante qui traverse des parallèles. Les angles alternes-internes Ils alternent de chaque côté de la sécante à l’intérieur des parallèles. soit soit Les angles alternes-externes Ils alternent de chaque côté de la sécante à l’extérieur des parallèles. soit soit Les angles correspondants Ils sont du même côté de la sécante un à l’intérieur des parallèles et l’autre, à l’extérieur. soit soit

4. G E H t D A C B Ces angles ont comme particularité d`être isométriques entre eux, deux à deux. Démonstration Traçons les droites AD et CG sécantes en C. F Traçons l’angle ACB. Faisons subir à cet ensemble une translation oblique. Nommons cette nouvelle droite : EH et nommons le point d’intersection de la droite avec la sécante : F.

5. F G E H B D A C EFC ACB 1) La droite EH est parallèle à la droite AD. 1) Une translation transforme une droite en une droite parallèle. 2) 2) Une translation conserve la mesure des angles. ~ = Affirmations Justifications Donc, les angles correspondants formés par une sécante et des parallèles sont isométriques.

6. F G E H B D A C EFC GFH GFH ACB 1) Ce sont des angles opposés par le sommet. 2) Mêmes mesures d’angles. 2) 1) ~ ~ = = Affirmations Justifications Donc, les angles alternes-externes formés par une sécante et des parallèles sont isométriques.

7. G E H D A C GCD ACB EFC GCD 1) Ce sont des angles opposés par le sommet. 2) Mêmes mesures d’angles. 2) 1) ~ ~ = = F B Affirmations Justifications Donc, les angles alternes-internes formés par une sécante et des parallèles sont isométriques.

8. G E H D A C Ces trois paires d’angles : F - angles alternes-internes, - angles alternes-externes, - angles correspondant, B ne sont isométriques entre eux que si les droites traversées par la sécante sont parallèles entre elles. Si les droites ne sont pas parallèles, les trois paires d’angles portent les mêmes noms, mais ils ne sont pas isométriques entre eux. Ces nouvelles propriétés nous aideront à démontrer de nouvelles situations.

9. B D E A C Exemple : La somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle = 1800 . Prenons le triangle ABC; traçons la droite DE parallèle à AC et passant pas le sommet B. On voit apparaître des angles alternes-internes isométriques. En traçant l’angle ABC, nous obtenons un angle plat (1800). Donc, la somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle = 1800 .

10. A • Dans la figure suivante : • - les segments DE et FG sont parallèles; • le segment AC est perpendiculaire au • segment DE; 320 - la sécante JI forme un angle de 320 avec la droite FG. m JBA = 580, m ABD = 900, m JBD = 320. C Quelle est la mesure de l’angle JBA ? JBD GHI, car ce sont des angles alternes-externes. ~ = Problème J ? B D 320 E F G H I 1) Si on ignore le segment AC, on observe que Donc, car les segments DE et AC sont perpendiculaires. 2) 3) car il est adjacent-complémentaire de l’angle JBD.

11. J I H A ? D E Quelle est la mesure de IAE ? Justifie chaque étape de ta démarche ? 1000 O G F 300 300 B C m AHO = 300 m HAO = 500 m IAE = 500 K M Affirmations Justifications 1) 1) Il est correspondant à GCK . La somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle = 1800 . 2) 2) 3) 3) Il est opposé par le sommet à HAO. Dans la figure ci-contre, la droite IM coupe la droite JK en formant un angle JOI de 1000 ; les droites DE et FG sont parallèles. De plus, m GCK = 300 .

12. m 1 + m 3 = m 3 = m 1 = m 1 = m 2 + m 4 m 3 , m 2 m 4 , m 4 . m 2 ? B) De plus, et ED AB CD AF. et Dans la figure ci-contre : E B D 4 A) Quelle conclusion peut-on tirer du fait que 1 2 Ce sont des angles alternes-internes isométriques donc les droites AB et CD sont parallèles. 3 A C F Quelle autre conclusion peut-on tirer ? Pourquoi ? Les droites ED et AF sont parallèles. donc = Ce sont des angles alternes-internes isométriques donc les droites ED et AF sont parallèles. C) Quel type de quadrilatère est alors ABCD ? Un parallélogramme, car

13. Dans la figure ci-contre, BC est parallèle à DE et perpendiculaire à AD . De plus, m AB = 5 cm, m BD = 3 cm et m AC = 10 cm. A) Quelle est la mesure de l’angle ACB ? m ACB = 300, car m ABC = 900 ; B) Quelle est la mesure de l’angle AED ? m AED = 300 ; 300 300 A 10 cm 5 cm B ? C 3 cm ? D E il est correspondant à l’angle ADE. Le triangle ABC est rectangle et comme un côté mesure la moitié de l’hypoténuse, alors l’angle qui lui fait face vaut 300. il est correspondant à l’angle ACB.

14. Dans la figure ci-contre, BC est parallèle à DE et perpendiculaire à AD . De plus, m AB = 5 cm, m BD = 3 cm et m AC = 10 cm. Quelle est la mesure du côté BC ? C) (m AC)2 - (m AB)2 m BC ≈ 8,66 cm, m BC = 10 2 - 52 m BC = 300 300 A 10 cm 5 cm B C 3 cm D E car ≈ 8,66 cm

15. A c b B C a c = c = a2 + b2 a2 + b2 Remarque La relation de Pythagore est : c2 = a2 + b2 ou Si on utilise des lettres minuscules pour identifier les côtés. Si on utilise les sommets du triangle, elle devient : (m BC)2 + (m AC)2 m AB =

16. Dans la figure ci-contre, BC est parallèle à DE et perpendiculaire à AD . De plus, m AB = 5 cm, m BD = 3 cm et m AC = 10 cm. D) Quelle est la mesure de chacun des côtés suivants ? AE : m AE = 16 cm, CE : m CE = 6 cm, par soustraction de la m AE et de la m AC . 300 300 DE : m DE ≈ 13,86 cm, A 10 cm 5 cm B C 3 cm D E car dans un triangle rectangle possédant un angle de 300, la mesure du côté qui fait face à l’angle de 300 vaut la moitié de la mesure de l’hypoténuse. (m AE)2 - (m AD)2 m DE = car

17. Sachant que AB CD, détermine les valeurs de x et y. m AGE = m DHF, (5x + 7)0 520 = 5x + 7 52 = il est adjacent - supplémentaire à DHF. m CHF = 1800 - 520 = E 520 A B G H D C (5x + 7)0 520 8y0 F Pour x : car ce sont des angles alternes-externes formés par des parallèles. 45 = 5x 90 = x Pour y : car 1280, 8 y0 = 1280 y = 160