RTBP (Restricted Three-Body Problem):

1. Orbitas periódicas de transferencia rápida en el Problema de Tres Cuerpos Restringido: dependencia del cociente de masas y relación con las Familias GeneratricesA. H. Martínez (Fa.M.A.F., U.N.C.)C. B. Briozzo (Fa.M.A.F., U.N.C.)A. M. Leiva (O.A.C., U.N.C.)

2. y  1 x RTBP (Restricted Three-Body Problem): Coordenadas sinódicas Masa total 1 Periodo 2 Origen en el CM m = 0,0121505 (Tierra-Luna)

3. Única integral de movimiento: Jacobi  caos (Hamiltoniano)     Órbitas Periódicas Inestables (OPIs) • Controlables • En cierto sentido, predecibles

4. Utilidad: Órbitas de Transferencia de Baja Energía h > hL1 = 1.59407 h < hL2 = 1.58617 Las OPIs son rápidas (t 18) y simples (un arco, periódico)... ...y pueden estabilizarse.

5. Búsqueda metódica + continuación analítica dieron:

6. Otra forma de ver lo mismo:

7. Catálogo de familias: • Número: el de la OPI prolongada analíticamente • Rango: (hmin , hmax) y (Tmin , Tmax) • Curvas características: T-h, y-h, vy-h, vx-h en  • Curva sgn(u) logu vs. h en  • Curva característica h-xien ´ (y0 , vy0) (Szebehely) • Órbitas típicas y detalle circumlunar • Bifurcaciones: según diagrama y-h • - rama principal (órbitas simétricas): A • - ramas secundarias (órbitas asimétricas): B, C, D, etc • - puntos de bifurcación: P1 , P2 , etc

8. M. Hénon,Generating Families in the Restricted Three-Body Problem (Springer-Verlag, Berlin, 1997), trata  = 0. Halla métodos para construir todas las (infinitas) familias generadoras de 1ª, 2ª y 3ª especie. Nuestras familias deberían reducirse a un subconjunto de las de 2ª especie para   0 (?). ¿Qué obtendríamos tomando   0? • Familias para diferentes RTBP (p.ej. Sol-Júpiter) • Completitud (comparando con Hénon para   0) • Algunas familias pueden desaparecer para  menores • Algunas familias pueden aparecer sólo a  menores

9. Elegimos la familia 37 Del catálogo: curvas características

10. Seleccionamos algunos miembros de la familia 037 en 1 para 0.01215054825645.

11. Los valores son:

12. Curvas características de las –familias en la sección2 Hacemos continuación analítica en  decrecientes No llegamos a  muy bajos. Ya veremos porqué...

13. Curvas características de la – familia 3 y sus ramas:

14. Parámetro de estabilidad Puntos elípticos e hiperbólicos Punto de bifurcación (PB_3) Vemos que una rama retorna a TL a una OP diferente y hay otra rama central que también retorna a otra OP

15. Lo mismo pasa con las otras –familias que continuamos, por ejemplo la 24:

16. ¿A cuáles OPs están retornando? Buscamos los puntos de retorno en el Catálogo, y los encontramos! Corresponden a las familias 43 y 56.

17. Curvas características de la familia 43: Notemos que T(h) es idéntica a la de la familia 37

18. Curvas características de la familia 56:

19. Puntos de Retorno de las –familias 3 y 24 en la familia 43:

20. Puntos de Retorno de las –familias 3 y 24 en la familia 56:

21. Cómo son las órbitas de las familias 37, 43 y 56 a  = TL:

22. Cómo son las órbitas de las familias 37, 43 y 56 a  = TL:

23. Cómo son las órbitas de las familias 37, 43 y 56 a  = TL:

24. Cómo son las órbitas de las familias 37, 43 y 56 a  = TL:

25. Cómo varían las órbitas de la –familia 3 con :

26. Conclusiones: • Comportamiento genérico para distintas –familias. • Bifurcación ( creciente): de una rama simple de órbitas simétricas a una rama doble de órbitas asimétricas. • Puntos de bifurcación son órbitas simétricas. • Puntos de bifurcación son elípticos. Esto generaliza resultados de Hénon para  > 0. Además: • Puede haber más bifurcaciones a  menores, o una terminación natural de las –familias (?). • Conexión por continuación en  entre familias “semejantes” a  = TL; hay más (77 y 84, 146a y 146b). • Completar familias altamente inestables a  = TL por continuación en  . • Descubrir nuevas familias a  = TL por continuación en .