Cursul 7 Conice

1. Cursul 7Conice Fie E2 spatiul punctual euclidian bidimensional si R ( O;i,j) un reper ortonormat (1) F(x,y) = 0 – curba plana (ex.,th. Apoloniu) Conice date prin conditii initiale: Elipsa :este locul geometric al punctelor din planul euclidian a căror sumă a distanţelor la două puncte fixe distincte F1 şi F2 este constantă. Daca aR şi punctele F1 (-c,0) , F2 (c,0) atunci, mulţimea punctelor M(x,y) E2 cu proprietatea MF1 + MF2 = 2a este caracterizată algebric de ecuaţia: (2) F1, F2 se numesc focarele elipsei,iar F1·F2 = 2 c – distanţa focală a -semiaxa mare, iar b- semiaxa mică A(a,0) , A’(-a,0) , B(b,0), B’(-b,0) – vârfurile elipsei Dreptele x = a2/c , drepte directoare ale elipsei e = c/a  1 - excentricitatea elipsei Caz particular: a = b = r, cercul

2. Hiperbola :este locul geometric al punctelor din planul euclidian E2 pentru care valoarea absolută a diferenţei distanţelor la două puncte fixe, distincte F1 şi F2 este constantă . Daca aR şi punctele F1 (-c,0) , F2 (c,0) atunci, mulţimea punctelor M(x,y) E2 cu proprietatea MF1 - MF2= 2a este caracterizată algebric de ecuaţia: • F1(-c,o), F2 (c,o) – focarele hiperbolei • A’(-a,0) , A(a,0) – vârfurile hiperbolei • a ,b - semiaxele hiperbolei • dreptele y = b/a x - asimptotele hiperbolei care reprezintă geometric diagonalele dreptunghiului cu laturile de lungimi 2a şi respectiv 2b, cu centrul în O şi laturile patralele cu axele de simetrie. • dreptele x = a2/c -directoarele hiperbolei • e = c/a  1 - excentricitatea hiperbolei

3. Parabola :este locul geometric al punctelor egal depărtate de un punct fix F (focar) şi o dreaptă fixă  (directoare) . Daca pR+punctul F (p/2,0) şi dreapta (): x = - p/2 atunci, mulţimea punctelor M(x,y) cu proprietatea δ (M,F) = δ (M,) este caracterizată algebric de ecuaţia: • y2 =2px, • F(p/2 ,0) – focarul parabolei, iar cantitatea p/2 - distanţa focală • O(0,0) - vârful parablei • Ox - axa transversală a parabolei,axa de simertie • Oy - axa tangentăla parabolă • dreapta  de ecuaţie x = - p/2 , este directoarea parabolei • Este clar că excentricitatea parabolei este e = 1.

4. Curbe algebrice de ordinul al doilea Definiţia1.Se numeşte conică sau curbă algebrică de ordinul doi , mulţimea punctelor planului E2 ale căror coordonate satisfac ecuaţia: (1) Coordonate omogene: Matricea A=(aij) – matricea conicei Notam cu Efecuam transformarea ortogonala T : V2V2 , definita de Teorema 1. Centrul conicei este un centru de simetrie al multimii () Efectuam translatia:

5. Impunem conditia f(-x,-y) = f(x,y) Daca 1, 2 sunt valorile proprii ale formei ptratice  (x,y) si e1 , e2 – v.p. , atunci