1 / 20

SVOJSTVA KONVERGENCIJE I REGULARNOSTI WAVELET FILTARSKIH SLOGOVA

SVOJSTVA KONVERGENCIJE I REGULARNOSTI WAVELET FILTARSKIH SLOGOVA. Kristian Hengster Movrić 27.1.2009. FUNKCIJSKI PROSTORI. Funkcije možemo predstaviti kao vektore Vektorski prostori funkcija su beskonačnodimenzionalni (Pr. Fourierov red)

wyatt-stone
Download Presentation

SVOJSTVA KONVERGENCIJE I REGULARNOSTI WAVELET FILTARSKIH SLOGOVA

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. SVOJSTVA KONVERGENCIJE I REGULARNOSTI WAVELET FILTARSKIH SLOGOVA Kristian Hengster Movrić 27.1.2009.

  2. FUNKCIJSKI PROSTORI • Funkcije možemo predstaviti kao vektore • Vektorski prostori funkcija su beskonačnodimenzionalni (Pr. Fourierov red) • Grana matematike koja izučava takve prostore je funkcionalna analiza • Posebno bitni - Hilbertovi prostoridefiniran skalarni produkt vektora • Primjena: razalaganje funkcija po skupovima funkcijakompresija informacije • Radimo sa prostorom -Hilbertov prostor

  3. MULTIREZOLUCIJSKA ANALIZA • Niz prostora Vj u sukcesivne aproksimacije neke funkcije f; • Najbolja aproksimacija f u Vj je ortogonalna projekcija na Vj (Riesz). • Ideja: razviti razliku između dviju sukcesivnih aproksimacija po wavelet bazi:

  4. Waveleti u sumi razapinju ortogonalni komplement od Vj: indukcijom • Također mora postojati ortonormalna baza od V0: i takva da vrijedi: • Uz neke uvjete na niz prostora Vjstvarno postoji ortonormalna baza:

  5. Ako je tome tako zbog ortonormalnosti baze i svojstava ortogonalnog komplementa W0 imamo: Što daje: , i • U vremenskoj i frekvencijskoj domeni: uz • Iz toga slijedi nužni uvjet na filtar:

  6. Također za f iz W0 nalazimo : , uz • relaciju u frekvencijskoj domeni: uz .

  7. Može se pokazati da je sljedeća funkcija tražena ortonormalna baza za W0: • U vremenskoj domeni: • Uz dodatan stupaj slobode može se pisati: • Funkcije skale zadovoljava uz i postoji ortonormalna wavelet baza.

  8. REGULARNOST WAVELETA • Regularnost poništavanje polinoma, frekvencijska lokalizacija, konvergencija algoritma. • Definiramo klasu funkcija : tada za • Imamo sljedeće implikacije: • Prema tome vrijedi faktorizacija:

  9. REALIZACIJA FILTARSKIM SLOGOM • Multirezolucijska analizafiltarski slog • Ako ponovimo već spomenute relacije imamo: Koeficijent razlaganja: • No imamo i: Te koeficijent:

  10. Uvođenjem jednostavnije notacije pišemo: aproksimacija i greška reda j • Vrijede rekurzivne relacije: • A rekonstrukcija se postiže obrnutom rekurzijom: (FS s PR)

  11. WAVELETI S KONAČNOM DOMENOM • Prethodne sume- beskonačno pribrojnika sukladno s IIR filtrima, poželjno FIR filtri. • odabir konačne domenefunkcije skale: • Samo konačno mnogo koeficijenata različito od 0. • Spektar filtra je trigonometrijski polinom.

  12. NUŽNI I DOVOLJNI UVJETI NA NP FILTAR • Većina uvjeta (nužnih)-preuzeta od prije. • Novost: sada radimo s polinomom: • Gdje je polinom po ortonormalnost određena regularnost

  13. Moguće je dobiti egzistenciju i uvjete na sam taj polinom, a ne samo na njegov modul. • To su još uvijek nužni uvjeti moguće je da takav filtar u filtarskom slogu ne daje ortonormalnu bazu funkcija s konačnom domenom. • Dovoljni uvjeti (relacija u frekvencijskom području): • Uz Eksponencijalno ograničeno, kvg u i ima konačnu domenu Indukcijom: i

  14. NUŽNI I DOVOLJNI UVJETI (JOŠ JEDNOM)-Cohenovi uvjeti- • Koncizan izražaj dovoljnih uvjeta (Cohen 1990.) • Spektri filtara su 2π periodični promatramo interval: . • Dovoljni uvjeti da realizirana funkcija skale bude u , konačne domene te da tvori ortonormalnu bazu su: na podintervalima: • Zabranjeno područje za nultočke, osnovni podinterval:

  15. OCJENE REGULARNOSTI • Sve metode polaze od : odnosno: uz Što daje: • donekle ograničeno za -regularnost osigurana prvim faktorom. • Vrijedi:

  16. Prva procjena promatra jedan faktor: • Ipak nešto točniju ocjenu daje procjena konačnog produkta faktora: • Tada uz: dobivamo: i

  17. ZAKLJUČAK • Ortogonalne projekcijemultirezolucijska analiza • Imamo multirezolucijsku analizubeskonačni slog filtara • Konačna domena funkcije skale beskonačni slog FIR filtara • FIR filtarmultirezolucijska analiza?? (obrat problema) • Nužni i dovoljni uvjeti konvergencijeCohenovi uvjeti • Ocjena regularnosti

  18. LITERATURA [1] I. Daubechies, Ten Lectures on Wavelets, Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, Pennsylvania, 1992. [2] M. Pollicott, H. Weiss, How Smooth Is Your Wavelet? Wavelet Regularity Via Thermodynamic Formalism. (internet)

  19. ZAHVALJUJEM NA VAŠOJ PAŽNJI!

  20. PITANJA?

More Related