Souřadnice

1. Název projektu: Moderní škola Souřadnice Mgr. Martin Krajíc 2.2.2014 matematika 3.ročník analytická geometrie Gymnázium Ivana Olbrachta Semily, Nad Špejcharem 574, příspěvková organizace Nad Špejcharem 574, 513 01 Semily, Česká republika Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0047

2. Souřadnice - úvod • souřadnice používáme k určení polohy • několik příkladů z praktického života, ve kterých využíváme souřadnice: • šachovnice - souřadnice nám udávají postavení figur (např. král na c3, střelec na g8, …) • moře – k určení polohy používáme zeměpisnou délku a šířku (např. poloha lodě je 32º severní šířky a 18º východní délky) • matematika – určujeme souřadnice bodů v rovině a prostoru (např. A[3, -2], B[-1, 0, -2])

3. Souřadnice – v rovině Číselná osa: • na přímce zvolíme dva různé body O a I • bodu O přiřadíme číslo 0, bodu I přiřadíme číslo 1 (tzn. vzdálenost OI = 1) • bodu M na polopřímce OI přiřadíme reálné číslo m = OM • bodu N na opačné polopřímce k OI přiřadíme číslo n = - ON • body na polopřímce OI tvoří kladnou poloosu, body na opačné polopřímce k OI tvoří zápornou poloosu O I -2 -1 0 1 2 3

4. Souřadnice – v rovině Kartézská soustava souřadnic v rovině: • dvě přímky (osy) x, y v rovině, které jsou navzájem kolmé • jejich průsečíku O odpovídá na obou osách reálné číslo 0 • označujeme Oxy • bod O je počátek kartézské soustavy souřadnic • přímky x, y jsou souřadnicové osy • osu x rýsujeme vodorovně, osu y rýsujeme svisle • osa x je kladná vpravo od počátku, záporná vlevo od počátku • osa y je kladná nahoru od počátku, záporná dolu od počátku

5. Souřadnice – v rovině • při rýsování kartézské soustavy souřadnic děláme na konci kladných částí os šipku a připisujeme příslušné označení osy • místo kartézská soustava souřadnic můžeme používat označení osový kříž y 1 -2 -1 0 1 2 3 x -1

6. Souřadnice – v rovině Souřadnice bodu: • sestrojíme kartézskou soustavu souřadnic Oxy • vyznačíme libovolný bod M • z bodu M vedeme rovnoběžky s osami x, y (čárkovaně) • průsečík osy x a rovnoběžky s osou y vedené bodem M označíme m1, průsečík osy y a rovnoběžky s osou x vedené bodem M označíme m2 • čísla m1, m2 nazýváme souřadnice bodu M, píšeme M[m1, m2] iksová souřadnice ypsilonová souřadnice

7. Souřadnice – v rovině y m2 M 0 m1 x

8. Souřadnice – v rovině Př: V kartézské soustavě souřadnic vyznačte body: A[3, 1], B[-2, -1], C[1, 0] y A 1 C -2 -1 0 1 2 3 x -1 B

9. Souřadnice – v prostoru Kartézská soustava souřadnic v prostoru • tři přímky (osy) x, y, z v prostoru, pro které platí, že každé dvě z nich jsou navzájem kolmé • průsečíkem všech tří přímek je bod O, který odpovídá na všech osách reálnému číslu 0 • označujeme Oxyz • bod O je počátek kartézské soustavy souřadnic • přímky x, y, z jsou souřadnicové osy • roviny určené vždy dvojicí souřadnicových os se nazývají souřadnicové roviny

10. Souřadnice – v prostoru • osu y rýsujeme vodorovně • osu z rýsujeme svisle • osa x představuje v prostoru předozadní rovinu, ale při nákresu ji rýsujeme pod úhlem 45º od osy y • osa y je kladná vpravo od počátku, záporná vlevo od počátku • osa z je kladná nahoru od počátku, záporná dolu od počátku • osa x je kladná vpředu od počátku, záporná vzadu od počátku • vzdálenosti mezi jednotlivými body na ose x znázorňujeme poloviční

11. Souřadnice – v prostoru z 1 -2 -1 -2 -1 0 1 2 3 y 1 2 -1 x

12. Souřadnice – v prostoru Př: V kartézské soustavě souřadnic vyznačte bod: A[1, 3, -1] z 1 -2 -1 -2 -1 0 1 2 3 y 1 2 -1 A x

13. Souřadnice – samostatná práce Př: V kartézské soustavě souřadnic vyznačte body: • A[1, 3], B[0, -4], C[3, -0] • D[2, 4, -2], E[0, 3, 2], F[1, -1, -1] Př: V kartézské soustavě souřadnic zakresli krychli ABCDEFGH, pro kterou platí: A[1, 0, 0], B[1, 1, 0]

14. Souřadnice – použitá literatura Použitá literatura: KOČANDRLE, Milan a Leo BOČEK. Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 2009