GOL503 - TP Évaluation de la performance (C) Forme duale et les « Écarts » DEA Version 2011

1. GOL503 - TP Évaluation de la performance (C) Forme duale et les « Écarts » DEA Version 2011

2. Forme duale du modèle CCR • Rappel • Le contexte d’analyse prend en compte: • nunités à analyser (entreprises, filiales, succursales, etc.); • Les nunitésoeuvrentdans le mêmesecteurd’activités; • Chaqueunitépossèdem entrées et s sorties. • Note: Danscetteprésentation et dans les notes de cours, la variable représentel’unité sous étudeou sous analyse. Ainsi, xisignifie la i-ièmeentrée de l’unité sous étude et quepeutprendre la valeur de 1 à n. 2

3. Forme duale du modèle CCR • Rappel • Le modèle CCR de la méthode DEA • Le modèle déjà rencontréest • hest la fonctiond’objectif de la maximisation pour l’unité sous étude (1  n); • Ur et vrsont des pondérations à trouverafin de maximiserh; • yrest la r-ième sortie de l’unité, xiest la i-ième entrée de l’unité ; • Note: Il s’agit en fait de la formeprimale du modèle CCR. 3

4. Forme duale du modèle CCR • Formeduale et les ensembles de référence • La forme duale conduit à la même solution que la primale • Voici la formeduale du modèle CCR • est la fonctiond’objectif à minimiser; • jest le facteur de pondération pour l’unitéj; • Unedifférence majeure entre la formeduale et la formeprimaleestl’utilisation de facteurs de pondération. • Note: Il y a nfacteurspondération au lieu de m + s facteurscommec’était le casdans la formeprimale.. 4

5. Forme duale du modèle CCR • Formeduale et les ensembles de référence • Avantage de la forme duale du modèle CCR • On peutdétermineraisémentl’appartenance des unités à des ensembles de référence. En effet les contraintesstipulentque, • la sommepondérée des entrées des autresunitésdoitêtreinférieureouégale à celle de l’unité  sous étude; • De plus, la sommepondérée des sorties des autresunitésdoitêtresupérieureouégale à celle de l’unité  sous étude; • Donc, uneunitéj fait partie de l’ensemble de référence de l’unité sous étudesi et seulementsij   et quej 0 . • Note: Mon ensemble de référencecontient les unités qui sont plus efficacesquemoi. 5

6. Forme duale du modèle CCR • Formeduale et les ensembles de référence • Exemple numérique – 2 entrées, 1 sortie 6

7. Forme duale du modèle CCR • Formeduale et les ensembles de référence • Forme duale de l’exemple • À l’aide des valeurs du tableau précédent, l’efficacité de la succursale B1 estalorsdonnée par la solution du systèmed’équationssuivant: 7

8. Forme duale du modèle CCR • Formeduale et les ensembles de référence • Obtenir l’efficicaté de l’unité B1 • Or, la solution de la formedualeimplique la minimisation de la fonctiond’objectif; • Malheureusement n’est pas explicitéedirectement; • Par contre, apparaîtimplicitementdans les contraintes du problème: • Il estdonc possible de minimiser x1oux2 car x1 et x2sont des constantes. Note: Mêmesi la fonctiond’objectifestunefonctionimplicite, on peuttoujoursl’optimiser. 8

9. Forme duale du modèle CCR • Formeduale et les ensembles de référence • Obtenir l’efficicaté de l’unité B1 • Utilisons Excel pour faire les calculs… Note: Danscetexemple, nous allonschoisir “theta * entrée 1” commecible. 9

10. Forme duale du modèle CCR • Formeduale et les ensembles de référence • Obtenir l’efficicaté de l’unité B1 • Les paramètres du solveursont: 10

11. Forme duale du modèle CCR • Formeduale et les ensembles de référence • Obtenir l’efficicaté de l’unité B1 • Voici le résultat Note: B1 a comme ensemble de référence B4 et B11. 11

12. Forme duale du modèle CCR • Formeduale et les ensembles de référence • Obtenir l’efficicaté de l’unité B1 12

13. Forme duale du modèle CCR • Formeduale et les ensembles de référence • Conclusion • B3, B4, B8, B9, B10 et B11 sont des unités efficaces; • Ensemble de références pour : • B1 B4, B11 • B2 B3, B10 • B5 B4, B11 • B6 B4, B11 • B7 B4, B10 • B12 B4, B10 13

14. Forme duale du modèle CCR • Formeduale et les ensembles de référence • En terminant… 14

15. Prochaine section – les écarts DEA

16. Les « écarts » du DEA • Comment placer une unité inefficace sur la frontière d’efficacité • Reformuler la forme duale du modèle CCR en y ajoutant des variables d’écart • Encore unefoisutilisons la méthoded’optimisation LP • e- et e+sont des variables d’écart des entrées et des sorties; • * estl’efficacité relative des unités sous études; • jsont les pondérations des unités sous études; • xijestl’entréei de l’unitéj; • yrjest la sortie r de l’unitéj. 16

17. Les « écarts » du DEA • Comment placer une unité inefficace sur la frontière d’efficacité • Reformuler la forme duale du modèle CCR en y ajoutant des variables d’écart • La solution du systèmed’équation (l’obtention des e- et e+ ― les écarts des entrées et des sorties) donne pour l’unité sous étude... • La diminution (ou le maintien) des entrées pour atteindrel’efficacité • ET/OU • La diminution (ou le maintien) des sorties pour atteindrel’efficacité. • PAR RAPPORT À SON ENSEMBLE DE RÉFÉRENCE L’effort « en trop » donné aux entrées L’effort « en trop » produit aux sorties • Note: Dans le système, seules les unitésdans un ensemble de référencepossèdent un   0. 17

18. Les « écarts » du DEA • Comment placer une unité inefficace sur la frontière d’efficacité • Reformuler la forme duale du modèle CCR en y ajoutant des variables d’écart • Reprenonsl’exemplenumériquesur les succursales de location vidéo. • Trouvons les écarts pour l’unité B5 • Son ensemble de référenceest B4 (4 = 0,0244), B11 (11 = 0,4878) alors • Maximiser • Sujet à des contraintes: • 20 1+ 30 2 + … + 45 12 + e-heure = 0,927  10 • 300 1+ 200 2 + … + 410 12 + e-surface = 0,927  400 • 1000 1+ 1000 2 + … + 2000 12 + e+location = 1000 • 1, 3 , … 12 ≥ 0 18 Source: Sherman, Zhu, Service productivity management, 2006.

19. Les « écarts » du DEA • Comment placer une unité inefficace sur la frontière d’efficacité • Reformuler la forme duale du modèle CCR en y ajoutant des variables d’écart • Reprenonsl’exemplenumériquesur les succursales de location vidéo. • Solution pour l’unitéB5 • Pour l’unité B5, seules B4 et B11 ont des valeurs de   0 • Donc, • 20 4+ 18 11 + e-heure = 9,27 • 200 4+ 750 11 + e-surface = 370,8 • 1000 4+ 2000 11 + e+location = 1000 19 Source: Sherman, Zhu, Service productivity management, 2006.

20. Les « écarts » du DEA • Comment placer une unité inefficace sur la frontière d’efficacité • Reformuler la forme duale du modèle CCR en y ajoutant des variables d’écart • Reprenonsl’exemplenumériquesur les succursales de location vidéo. • Solution pour l’unité B5 • Remplacer la valeur  des unités B4, B5 et B11 donne • 20 (0,0244) + 18 (0,4878) + e-heure = 9,27 • 200 (0,0244) + 750 (0,4878) + e-surface = 370,8 • 1000 (0,0244) + 2000 (0,4878) + e+location = 1000 Système à 3 équations et 3 inconnus e-heure= 0,0016 e-surface = 0,07 e+location = 0 20 Source: Sherman, Zhu, Service productivity management, 2006.

21. Les « écarts » du DEA • Comment placer une unité inefficace sur la frontière d’efficacité • Reformuler la forme duale du modèle CCR en y ajoutant des variables d’écart • Reprenonsl’exemplenumériquesur les succursales de location vidéo. • Interprétation des écarts • e-heure= 0,0016 • L’unité B5 a dépensé 0,0016 heures (moins 0,1 minutes) de plus que les unités se trouvantdans son ensemble de référence; • Diminuer de 0,0016 heures pour atteindrel’efficacité de B4 et/ou B11. • e-surface = 0,07 • L’unité B5 a utilisé 0,07 m2 de plus que les unités se trouvantdans son ensemble de référence. e+location = 0 donc maintenir le niveau de la sortie (location des fils/vidéos) 21 Source: Sherman, Zhu, Service productivity management, 2006.

22. DEA • Retour vers le concept d’efficacité • Deux types possibles • Efficacité DEA Pleine • Uneunitéestqualifiéed’efficacitépleinesielle • Possède  = 1 et toutesses variables d’écarte-, e+ à zéro • Efficacité DEA faible • Uneunitéestqualifiéed’efficacitéfaiblesielle • Possède  = 1 et un sous-ensemble de ses variables d’écarte-, e+ zéro 22 Source: Sherman, Zhu, Service productivity management, 2006.

23. DEA • Retour vers le concept d’efficacité • Remarques sur les unités avec efficacité faible • Cesunités, lorsqueéliminées de l’analyse, n’aurons pas d’influencesur les autresunités • Ellesn’influencent pas l’efficacité des autresunités. • Éviter, dans la mesure du possible, de mettre les unités avec efficacitéfaibledans un ensemble de référence • Raison: voir la première remarque. • Cesunitéssiellessontprésentes exigent une analyse approfondie à l’aided’autresméthodesquecelle du DEA. • Pourquoi? 23 Source: Sherman, Zhu, Service productivity management, 2006.

24. DEA • La technique • Deux grandes étapes • Calculerl’efficacité relative des unités et identifier les ensembles de références; • Calculer les écartsafind’identifier le cheminversl’efficacité des unitésinefficace. C’est simple n’est-ce pas? 24