Matrici

1. Capitolul: Algebra Superioară Tema: “Matrici”

2. CUPRINS Obiectivele lecţiei 1. Definiţia de noţiunii de matrice, matricea nulă, unitate, pătratică. 2. Egalitatea a două matrici. 3. Adunarea matricelor. • Proprietăţi ale adunării matricelor • Exerciţii de control • Tema pentru acasă. 4. Produsul unei matrici cu un scalar. • Proprietăţi ale înmulţirii matricei cu scalar 5. Înmulţirea matricelor. • Exemplu • Proprietăţi ale înmulţirii matricelor • Exerciţii de control • Tema pentru acasă. Închide

3. Obiectivele lecţiei: La sfîrşitul lecţiei elevul va fi capabil : Să explice conform definiţiei noţiunile de matrice, matrice pătratică, matrice-linie, matrice-coloană şi matrice unitate. Să adune 2 matrici utilizînd definiţia şi proprietăţile de adunare propriu-zise. Să înmulţească un scalar cu o matrice, precum şi 2 matrici între ele utiliţînd definiţiile şi proprietăţile de înmulţire. Precedenta CUPRINS Închide Următoarea

4. Definiţie:Se numeşte matrice de dimensiuni ( de tip )m×n (m, ) un tablou : format din m×n elemente aranjate în m linii şi n coloane. Se notează : Cazuri particulare • O matrice de tipul (deci cu o linie şi n coloane) se numeşte matrice linie şi are forma: 2) O matrice de tipul (cu m linii şi o coloană) se numeşte matrice coloană şi are forma: Precedenta CUPRINS Închide Următoarea

5. Definiţie:Se numeşte matrice de dimensiuni ( de tip )m×n (m, ) un tablou : format din m×n elemente aranjate în m linii şi n coloane. Se notează : Precedenta CUPRINS Închide Următoarea

6. Cazuri particulare • O matrice de tipul (deci cu o linie şi n coloane) se numeşte matrice linie şi are forma: 2) O matrice de tipul (cu m linii şi o coloană) se numeşte matrice coloană şi are forma: Precedenta CUPRINS Închide Următoarea

7. O matrice de tip se numeşte nulă (zero) dacă toate elementele ei sunt zero. Se notează cu O: Se numeşte matrice unitate matricea care pe diagonala principală are toate elementele egale cu 1, iar restul elementelor sunt egale cu 0. Se notează cu: Precedenta CUPRINS Închide Următoarea

8. O matrice de tip se numeşte nulă (zero) dacă toate elementele ei sunt zero. Se notează cu O: Se numeşte matrice unitate matricea care pe diagonala principală are toate elementele egale cu 1, iar restul elementelor sunt egale cu 0. Se notează cu: Precedenta CUPRINS Închide Următoarea

9. Definiţie:Dacă numărul de linii este egal cu numărul de coloane (m = n), atunci matricea se numeşte pătratică de ordinul n. Exemplu: Matrice pătratică de ordinul ... Precedenta CUPRINS Închide Următoarea

10. Definiţie:Dacă numărul de linii este egal cu numărul de coloane (m = n), atunci matricea se numeşte pătratică de ordinul n. Sistemul de elemente reprezintă diagonala principală a matricii A, iar suma acestor elemente se numeşte urma matriciiA notată Tr(A) Sistemul de elemente reprezintă diagonala secundară a matricii A. Precedenta CUPRINS Închide Următoarea

11. Operaţii cu matrici 1. Egalitatea a două matrici. Definiţie. Fie . Spunem că matricile A, Bsunt egale şi scriem A = B dacă : , Exemplu: Să se determine numerele reale x, y astfel încăt să avem egalitatea matricelor : Matricile sunt egale dacă elementele corespunzătoare sunt egale, adică: Rezolvând acest sistem găsim soluţia x = 1, y = -3. CUPRINS Închide Următoarea Precedenta

12. Suma matricelor Definiţie: Se numeşte suma matricelor de dimensiuni m×n matricea de aceleaşi dimensiuni unde Se notează: , Exemplu: şi este matricea : , Explicit adunarea matricilor A, B înseamnă: Precedenta CUPRINS Închide Următoarea

13. Proprietăţi ale adunării matricelor (Asociativitatea adunării). Adunarea matricilor este asociativă, adică: (Comutativitatea adunării).Adunarea matricilor este comutativă, adică: . (Element neutru). Adunarea matricilor admite matricea nulă ca elementneutru, adică astfel încît: (Elemente opuse). Orice matrice are un opus, notat , astfel încât: Precedenta CUPRINS Închide Următoarea

14. Exerciţii de control Să se calculeze A + B pentru: Precedenta CUPRINS Închide Următoarea

15. Produsul unei matrici cu un scalar Definiţie: Se numeşte produsul matricei matricea de aceleaşi dimensiuni cu numărul unde Se notează : Observaţie: A înmulţi o matrice cu un scalar înseamnă a înmulţi toate elementele matricii cu acest scalar. . Deci, Precedenta CUPRINS Închide Următoarea

16. Proprietăţi ale înmulţirii matricei cu scalar , Precedenta CUPRINS Închide Următoarea

17. Înmulţirea matricelor Definiţie. Fie Produsul dintre matricile A şi B (în aceasta ordine), notat AB este matriceadefinită prin: Observaţii 1.) Produsul AB a două matrici se poate efectua numai dacă adică numărul de coloane i ale lui B este egal cu numărul de linii ale lui A, obţinîndu-se o matrice C = AB 2) Dacă matricile sunt pătraticeatunci are sens întotdeauna atât AB cât şi BA, iar, în general, adică înmulţirea matricilor nu este comutativă. Precedenta CUPRINS Închide Următoarea

18. Exemplu: 1*1+2*2+0*2 1* +2* 1 +0* 4 1*3+2*4+0*7 0 AB = 5*0+3*1+2*4 5*1+3*2+2*2 5*3+3*4+2*7 = 3*0+4*1+5*4 3*1+4*2+5*2 3*3+4*4+5*7 Precedenta CUPRINS Închide Următoarea

19. Proprietăţi ale înmulţirii matricelor (Asociativitatea înmulţirii). Înmulţirea matricilor este asociativă, adică (Distributivitatea înmulţiriiîn raport cu adunarea).Înmulţireamatricilor este distributivă în raport cu adunarea matricilor, adică matrici pentru care au sens operaţiile de adunare şi înmulţire. Dacă este matricea unitate, atunci unde este elementul neutru. Precedenta CUPRINS Închide Următoarea

20. Exerciţii de control Să se calculeze produsul matricelor: Să se calculeze (în caz dacă există), unde Precedenta CUPRINS Închide Următoarea

21. Tema pentru acasă Să se calculeze suma(diferenţa) matricelor: Precedenta CUPRINS Închide Următoarea

22. Tema pentru acasă Să se calculeze AB, BA dacă: Ex 1. Ex 2. Să se calculeze: Închide Precedenta CUPRINS