EDUCACIÓN CONTINUA

1. EDUCACIÓN CONTINUA 2009

2. EMCASA Y LA SECUENCIA ENACTIVA-ICÓNICA-SIMBÓLICA (E-I-S)

3. Objetivos de aprendizaje El participante será capaz de: Obtener una definición de aprendizaje significativo según su experiencia y su conocimiento teórico. Entender la dinámica que existe entre campos axiomáticos y teoremáticos en el aprendizaje significativo de conceptos matemáticos. Explicar en sus propias palabras las consecuencias personales y sociales de un aprendizaje algorítmico de las matemáticas. Comprender la esencia teórica de las etapas enactiva, icónica y simbólica (EIS).

4. Objetivos de aprendizaje El participante será capaz de: Comprender que una gran cantidad de problemas en el aprendizaje matemático están relacionados con el hecho de haber llevado a los alumnos a la etapa simbólica del pensamiento matemático demasiado rápido. Entender las dificultades prácticas que el método EIS lleva consigo cuando se quiere aplicar en el ámbito escolar tradicional. Desarrollar un diseño instruccional basado en la secuencia EIS para la enseñanza de un concepto matemático que sea de su interés y presentarlo a sus compañeros.

5. Para dar respuesta a la pregunta “¿Qué es un aprendizaje significativo de las matemáticas?” iniciemos preguntándonos “¿Qué produce un aprendizaje significativo en cualquier contexto?” En pares elaboren una lista de características (3 minutos). Aprendizaje significativo

6. 1. Construye el conocimiento lógicamente en todas sus partes integrantes. 2. Es capaz de desarrollar a través del conocimiento una narrativa que favorezca la comunicación efectiva con otros. 3. Aplica el conocimiento activamente a problemas significativos en su campo de experiencia. 4. Desarrolla intencionalmente a través del conocimiento un sentimiento de autoeficacia y autoestima.5. Logra una distinción social a través de su dominio del conocimiento. 6. Satisface con el conocimiento adquirido una curiosidad auténtica. Un aprendizaje se vuelve significativo para el aprendiz cuando :

7. La comprensión lógica es un punto clave dentro de todas estas formas de significatividad y es particularmente importante en el aprendizaje matemático

8. Aprendizaje matemático significativo El punto de vista que tomamos en esta búsqueda de significatividad es lo que se llama “estructuralista.” Un concepto se ata a otro para formar una estructura o red semántica en tal forma que lo evidente (lo axiomático) encuentra camino para explicar lo no evidente (lo teoremático).

9. Cuando no hay significado hay comprensión fragmentada Por ejemplo un alumno puede resolver una fracción digamos 2/3 + 3/5 impecablemente y en el momento que se le pida que explique por que multiplicó 3X5 para obtener el denominador, porque luego dividió 15 entre 3 para obtener un número y luego multiplicó por 2 etc... se queda mudo y lo más que podría decir es “así se hace” o “así me enseñaron” ..

10. ¿Qué elementos conceptuales hacen que esta suma de fracciones se comprenda? Reconocer que se necesita un elemento común de suma. Reconocer que existen fracciones equivalentes. Reconocer que la forma notacional de fracción lleva implícito el significado de multiplicación: a/b = a x 1/b Reconocer que la forma procedimental es solo el algoritmo de cálculo más eficiente (rápido y libre de errores) para llevar a cabo los pasos anteriores.

11. Cuando no hay significado hay comprensión fragmentada El aprendizaje significativo de las matemáticas está basado en la idea de que el alumno sea capaz de explicar lógicamente cual es el camino a seguir para que algo evidente por si mismo se combine para formar algo que no es evidente. Cuando tal cosa sucede entonces el aprendizaje adquiere características muy importantes de significatividad ya que el alumno: Logra una construcción coherente del conocimiento uniendo lógicamente todas sus partes integrantes. Esta coherencia favorece una narrativa que promueve la comunicación efectiva con otros. Eleva el nivel de activación del conocimiento y es mas probable que se aplique a la solución de problemas. Desarrolla un sentimiento de autoeficacia y autoestima. Esta en mejor posición de lograr una distinción social a través de su dominio del conocimiento. Satisface con el conocimiento adquirido una curiosidad auténtica.

12. Axiomas y teoremas En resumen: El comprender como ideas evidentes en si mismas (ideas axiomáticas) se transforman para comprender ideas no evidentes por si mismas (ideas teoremáticas) es uno de los factores esenciales de un aprendizaje significativo.

13. Axiomas y teoremas El trabajo teórico de Bruner nos da un mecanismo para lograr que los conceptos matemáticos se vuelvan axiomáticos y que los conceptos teoremáticos se expliquen a partir de estos.

14. Las ideas de Bruner y su impacto en el aprendizaje significativo de las matemáticas Bruner desde hace ya muchos años ha sido uno de los promotores de la reforma del currículo en las escuelas sin mucho éxito más allá del mundo académico. Sus esfuerzos teóricos todavía no han convencido al mundo de la práctica educativa que:

15. Las ideas de Bruner y su impacto en el aprendizaje significativo de las matemáticas 1) Algunos conceptos matemáticos son tan importantes que absolutamente no debemos sacrificar comprensión significativa por un manejo puramente procedimental.

16. Las ideas de Bruner y su impacto en el aprendizaje significativo de las matemáticas 2) Los libros de texto en la mayoría de los casos no podrán llevar en ellos mismos un aprendizaje significativo de las matemáticas a menos que el maestro se proponga a realizar experiencias de aprendizaje que estén atadas a una secuencia E-I-S.

17. Las ideas de Bruner y su impacto en el aprendizaje significativo de las matemáticas 3) El aprendizaje significativo de un concepto matemático no ocurre de la noche a la mañana ya que se debe respetar un proceso de “abstracción” que varía para cada alumno según su potencial matemático y según su conocimiento previo.

18. Las ideas de Bruner y su impacto en el aprendizaje significativo de las matemáticas S E I S E I 4) Este proceso de abstracción mental es una secuencia de representaciones mentales del mismo concepto pero a diferentes niveles de comprensión. S E I

19. Las ideas de Bruner y su impacto en el aprendizaje significativo de las matemáticas 5) Este proceso de representación mental debe seguirse rigurosamente en ese orden pero no son mutuamente exclusivos. Siempre es bueno para el alumno poder trabajar el mismo concepto en diferentes modos de representación mental.

20. Las ideas de Bruner y su impacto en el aprendizaje significativo de las matemáticas 6) El proceso enactivo-icónico-simbólico es lineal y cíclico. Por ello de tiempo en tiempo hay que regresar al alumno a la etapa enactiva para que los conceptos matemáticos refuercen su “obviedad” en la mente del aprendiz y con ello se integren armoniosamente a una estructura de conocimiento que finalmente ha de llegar a ser simbólica.

21. Moderno y antiguo a la vez En estos tiempos donde el constructivismo parece ser una postura moderna es importante notar que Bruner ya había pensado casi medio siglo antes sobre como crear situaciones que permitieran construir el conocimiento Bruner J. S. The process of education. Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1960. Bruner J. S. The course of cognitive growth. American Psychologist, 1964, 19, 1-15. (a) Bruner J. S. Some theorems on instruction illustrated with reference to mathematics. The Sixtythird Yearbook of the National Society for the Study of Education (Pt. 1), 1964, 63, 306-335. (b) Bruner J. S. Toward a theory of instruction. Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1966. Bruner J. S., Goodnow J. J., & Austin G. A. A study of thinking. New York: Wiley, 1956. Bruner J. S., Olver R. R., Greenfield P. M., et al. Studies in cognitive growth. New York: Wiley, 1966.

22. La representación mental enactiva La primera forma de representación mental llamada “enactiva” es una manera de capturar mentalmente una idea a través de acciones motoras. Según la teoría de Piaget esta es la única forma en la cual los bebés pueden aprender en la etapa sensorio-motora. Por ejemplo un bebé mueve el puño como lo hace cuando tiene la sonaja en la mano indicando que recuerda un acto motor complejo aun cuando no tiene el objeto en la mano. Niños mayores suman moviendo sus dedos representando en forma más compleja lo que hicieron en algún tiempo contando bloques, y al hacerlo suman enactivamente. Un joven puede manipular bloques de acrílico para convencerse de la verdad del teorema de Pitágoras.

23. La representación mental enactiva Esta etapa es la manipulación concreta de la realidad. Si se quiere por ejemplo que el alumno construya el conocimiento del binomio al cuadrado. El alumno tendrá que recortar cuadrados y ver como cuatro áreas: a2, b2, ab y ab forman el área (a+b)2. Mientras mayor es el alumno mas fácil es “brincar” esta etapa y realizar el proceso icónicamente.

24. La representación mental icónica La segunda forma de la secuencia de representación mental, icónica, mueve al aprendiz fuera del mundo puramente sensorial y motor al campo de la imagineria mental. En ella el estudiante recuerda no solo el acto de hacer alguna cosa sino también crea una imagen mental que puede recrear cuando sea necesario sin necesidad de acciones motoras cuyo fin tengan manipular una realidad. Su cuerpo como instrumento de aprendizaje se vuelve más sutil y el aprendiz ahora simplemente “dibuja” en el papel las cosas que “ve” en su mente.

25. La representación mental simbólica La representación mental simbólica es la tercera forma en la cual la experiencia matemática del aprendiz puede capturarse en la memoria. La representación mental simbólica depende exclusivamente del lenguaje matemático . Al simplemente decir que (a+b)2 = a2+2ab+b2 la ruptura con la realidad es completa pues la expresión por si sola no tiene conexión en lo absoluto con la realidad que describe excepto a través de un proceso de “traducción” mental que lo explique.

26. La integración pedagógica de la secuencia E-I-S en actividades de aprendizaje relevantes Una demostración como la que se verá a continuación del teorema de Pitágoras demanda una automatización e integración compleja de operaciones mentales que se manejan finalmente en forma simbólica en la cabeza del aprendiz y que se traducen en acciones motoras concretas tal vez pasando por una buena cantidad de imagineria mental.

27. La integración pedagógica de la secuencia E-I-S en actividades de aprendizaje relevantes La secuencia EIS es lineal y tiene que aparecer en ese orden y no por ello implica que no se apoyen la una con la otra . Es más adecuado entender el proceso de aprendizaje significativo de las matemáticas como periodos de “predominio” de una de estas etapas. Niños muy pequeños son predominantemente enactivos en sus formas de representación mental, niños mayores son icónicos y jóvenes de secundaria son predominantemente simbólicos. Si la representación mental simbólica no se manifiesta en un joven de 13 años es por que no ha sido expuesto a las formas previas de representación mental.

28. La integración pedagógica de la secuencia E-I-S en actividades de aprendizaje relevantes Podemos generalizar sin cometer graves omisiones y decir que el fracaso del aprendizaje significativo de los conceptos matemáticos se debe en gran medida a que la enseñanza de estas ideas no permitió permanecer el suficiente tiempo a los estudiantes en las etapas enactivas e icónicas y llevó apuradamente a los alumnos a las formas simbólicas.

29. La integración pedagógica de la secuencia E-I-S en actividades de aprendizaje relevantes Bruner decía: “Cualquier idea o problema o cuerpo de conocimientos puede ser representado en una forma lo suficientemente simple para que cada aprendiz en particular pueda entenderlo en alguna forma reconocible” [Bruner, 1966, p.44] Para Bruner siempre había formas de presentar conceptos complicados en cualquier edad a un nivel que fuera comprensible para el aprendiz si se analizaban sabiamente las posibilidades enactivas, icónicas y simbólicas disponibles en cada etapa de desarrollo.

30. La integración pedagógica de la secuencia E-I-S en actividades de aprendizaje relevantes No hay realmente razón de peso por la cual los jóvenes no aprendan sus matemáticas en forma significativa. Desde el momento en que los jóvenes inician su aprendizaje siguiendo rutinas verbales del tipo “a más b al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo” y no pueden explicar porque hacen tal cosa, eso significa que sus experiencias matemáticas los han llevado demasiado rápido a un estadio simbólico y que aun cuando hagan sus transformaciones algebraicas con sorprendente velocidad y precisión su aprendizaje no ha sido significativo.

31. La integración de la secuencia E-I-S y su valor educativo Cuando los jóvenes exitosamente han entendido el simbolismo de operadores matemáticos y sus conceptos asociados en la secuencia E-I-S, pueden entonces explicar que significan estos conceptos y porque funciona el simbolismo matemático. Esto lo logran no solo como instrucciones para hacer algo sino que tal bagaje matemático sirve para que ellos puedan expresar sus pensamientos y resolver problemas que no podrían hacer simplemente pensando acerca de ellos. Difícilmente un problema verbal de mediana dificultad podría resolverse simplemente pensando en él. Pero con la aplicación de conceptos algebraicos el problema revela su solución. Tal capacidad le da al joven autoconfianza en sus capacidades intelectuales.

32. La integración de la secuencia E-I-S y su valor educativo Cuando las operaciones matemáticas se hacen complejas y por lo tanto difíciles de manejar mentalmente, la manipulación simbólica de los conceptos y operadores matemáticos da una capacidad sin límites al procesamiento mental. Si esto no se ha logrado a través de una conexión muy fuerte con una realidad empírica el estudiante tenderá a sentirse inseguro pues sus habilidades procedimentales serán un misterio que él mismo no puede explicar y ello implicará tarde o temprano el abandono del pensamiento matemático en aras de un pragmatismo aritmético que no puede ir más allá de las operaciones monetarias de la vida cotidiana.

33. La integración de la secuencia E-I-S y su valor educativo Siempre esperamos que los estudiantes adquieran precisión, velocidad y facilidad en el uso de los conceptos matemáticos pero si eso se logra con el costo de no entender porque las cosas suceden, entonces el aprendiz ha perdido una oportunidad maravillosa de desarrollar su intelecto y entender un proceso de razonamiento fundamental al ser humano... el método axiomático... Lo simple se puede acomodar lógicamente para producir lo complejo... Saber hacer sin entender es precisamente lo que hace una máquina y el estudiante está en peligro de aprender a ser como ella. La aplicación del método de Bruner puede apoyarnos en una educación en valores donde la razón y la capacidad de explicar las cosas por uno mismo prevalezcan sobre la credulidad y la ejecución mecánica desprovista de razón cuya única motivación es en el fondo satisfacer un requisito externo (como pasar un examen) ignorando la motivación intrínseca dada por la curiosidad natural del ser humano.

34. Oportunidades para la secuencia E-I-S Productos notables Concepto de pendiente Áreas de paralelogramos Propiedades de los triángulos Pendiente Cónicas Teorema de Pitágoras Propiedades de los números reales. Fracciones Circunferencia y valores de p Ecuaciones Área de un círculo y muchas más… 

35. Educación Continua Centro de Desarrollo Empresarial Universidad de Monterrey Paola Y. Meza Garza pmezagar@udem.edu.mx Tel. 82 15 10 00 Ext. 2023 Osiris L. Banda Tovar obandato@udem.edu.mx Tel. 82 15 10 86 Gracias…