Controllo GMV (Generalized Minimun Variance)

1. POLITECNICO DI MILANO_____________________ Controllo GMV(Generalized Minimun Variance) Identificazione dei Modelli e Analisi dei Dati Prof. S. Bittanti

2. Controllo GMV(Generalized Minimun Variance) J = E[(P(z)y(t + k) + Q(z)u(t) - yº(t))²] Esempi e teoria: Progetto a modello di riferimento (Q(z) = 0) Progetto a controllo penalizzato (P(z) = 1) Prof. S. Bittanti

3. POLITECNICO DI MILANO_____________________ Controllo GMV(Generalized Minimun Variance) Identificazione dei Modelli e Analisi dei Dati Prof. S. Bittanti ESEMPI

4. Contenuti • Esempio 1 (sistema a sfasamento minimo) • Analisi del sistema da controllare • Progetto a modello di riferimento • Progetto a controllo penalizzato Controllo GMV

5. Contenuti • Esempio 2 (sistema a sfasamento non minimo) • Analisi del sistema da controllare • Progetto a controllo penalizzato Controllo GMV

6. Contenuti • Esempio 3 (sistema complesso a sfasamento non minimo) • Analisi del sistema da controllare • Progetto a controllo penalizzato Controllo GMV

7. POLITECNICO DI MILANO_____________________ Controllo GMV(Generalized Minimun Variance) Identificazione dei Modelli e Analisi dei Dati Prof. S. Bittanti ESEMPIO 1

8. Esempio 1: • Sistema da controllareequazione nel dominio del tempo: • y(t) = 0,8y(t – 1) + + u(t – 2) + 1,28u(t – 3) + 0,81u(t – 4) + e(t) + 0,6e(t – 1) • e∼WN(0,s2) >>> Modello ARMAX (1,1,4) rappresentazione operatoriale: • A(z)y(t) = B(z)u(t-k) + C(z)e(t) con • A(z) = 1 – 0,8z⁻¹ • B(z) = 1 + 1,28z⁻¹ + 0,81z⁻² k = 2 • C(z) = 1 + 0,6z⁻¹ Controllo GMV

9. Caratteristiche del sistema • Guadagno: • B(1) / A(1) = 15,45 • Zeri di A(z): poli del sistema • z = 0,8 • Zeri di B(z): • z = -0,64 ± 0.63i • Zeri di C(z): • z = -0,6 Controllo GMV

10. Posizione delle singolarità nel piano complesso • A(z) x • B(z) • • C(z) ∎ Controllo GMV

11. Simulazione in a.a.:risposta a gradino • Andamento dell’uscita y(t) con s2 = 0 Controllo GMV

12. Progetto a modello di riferimento • Sistema da controllare: • A(z)y(t) = B(z)u(t-k) + C(z)e(t) • e∼WN(0,s2) • Caratteristiche del sistema di controllo • Q(z) = 0 • P(z) a scelta del progettista • Cifra di merito • J = E[ (P(z)y(t+k) - y°(t))²] Controllo GMV

13. Progetto a modello di riferimento • Polinomi del controllore • F(z) = F˜(z) • G(z) = PD(z)B(z)E(z) • H(z) = C(z)PD(z) • E(z) e F˜(z) dalla eq. Diofantea • PN(z)C(z) = PD(z)A(z)E(z) + z-kF˜(z) (lunga divisione di PNC per PDA per k passi) Controllo GMV

14. Scelta del modello di riferimento (1 - )ⁿ • M(z) = (Sistema con n poli in  e guadagno 1) • Risposta a gradino • Tempo di assestamento al 90% (la tabella indica il numero di passi necessari perché il sistema con fdt è M(z) raggiunga il 90% della risposta a scalino, in funzione di  e di n) (1 - z⁻¹)ⁿ Controllo GMV

15. Scelta del modello di riferimento Controllo GMV

16. Scelta del modello di riferimento • Modello di riferimento: sistema del secondo ordine, con guadagno unitario e con 2 poli coincidenti (n = 2) • M(z) = • Tempo di assestamento al 90% • Scelta:  = 0.4 • ⇒ sono necessari 4 passi per raggiungere la soglia del 90% (1 - )² (1 - z⁻¹)² Controllo GMV

17. Determinazione di P(z) • Il modello di riferimento è quindi: • M(z) = • P(z) = M(z)⁻¹ • P(z) = 2.78 – 2.22z⁻¹ + 0.44z⁻² (1 - 0.4)² (1 – 0.4z⁻¹)² Controllo GMV

18. Calcolo dei polinomi del controllore • Effettuare 2 passi della lunga divisione • E(z) = 1 + 2,68z⁻¹ + 2,60z⁻² +1,13z⁻³ • F˜(z) = 1,12 • Si ottengono così: • F(z) = 0,44 + 0,27z⁻¹ • G(z) = 2,77 + 5,22z⁻¹ + 4,38z⁻² + 1,35z⁻³ • H(z) = 1 + 0,6z⁻¹ Controllo GMV

19. Schema a blocchi del sistema di controllo e(t) S C(z) + y(t) yº(t) u(t) + H(z) 1 / G(z) z⁻ B(z) k 1 / A(z) + - F(z) C Polinomio caratteristico (z) = B(z)C(z)PN(z) Controllo GMV

20. Simulazione in a.c.:risposta a gradino • Andamento dell’uscita y(t) con s2 = 0 Controllo GMV

21. Simulazione in a.c.:risposta a gradino • Andamento dell’ingresso u(t) con s2 = 0 Funz. Trasfer. da yo a u: P(z)A(z)/B(z) Controllo GMV

22. Progetto a controllo penalizzato • Sistema da controllare: • A(z)y(t) = B(z)u(t-k) + C(z)e(t) • e∼WN(0,s2) s2 = 0 • Caratteristiche del sistema di controllo • P(z) = 1 • Q(z) a scelta del progettista • Cifra di merito • J = E[(y(t + k) + Q(z)u(t) - yº(t))²] Controllo GMV

23. Progetto a controllo penalizzato • Polinomi del controllore • F(z) = F˜(z)QD(z) • G(z) = B(z)QD(z)E(z) + C(z)QN(z) • H(z) = C(z)QD(z) • E(z) e F˜(z) dalla eq. Diofantea • C(z) = A(z)E(z) + z-kF˜(z) (lunga divisione di C per A per k passi) Controllo GMV

24. Progetto a controllo penalizzato • Funzione di trasferimento da y° a y • S(z) = • Polinomio caratteristico • (z) = C(z)(B(z)QD(z) + A(z)QN(z)) z⁻ k A(z) 1 + Q(z) B(z) Controllo GMV

25. Progetto a controllo penalizzato • Polinomio caratteristico • (z) = C(z)(B(z)QD(z) + A(z)QN(z)) • Poli del sistema di controllo • Poli fissi: zeri di C(z) • Poli mobili: zeri di B(z)QD(z) + A(z)QN(z) • La stabilità del sistema di controllo dipende dai poli mobili Controllo GMV

26. Scelta di Q(z) • Scelte tipiche di Q(z) sono: • Q(z) = l costante • Q(z) = l(1 - z⁻¹) • Q(z) = l 1 - z⁻¹ 1 – gz⁻¹ Controllo GMV

27. Scelta di Q(z) • Scelta: Q(z) = l • Poli mobili: B(z) + lA(z) = 0 • l = 0 : zeri di B(z) • l→ ∞ : zeri di A(z) Controllo GMV

28. Andamento dei poli mobili • Luogo delle radici di B(z) + lA(z) l≃ 8,57 l = 0 l→ ∞ Controllo GMV

29. Simulazione in a.c.:risposta a gradino (l = 1) • Andamento dell’uscita y(t) con s2 = 0 Controllo GMV

30. Simulazione in a.c.:risposta a gradino (l = 1) • Andamento dell’ingresso u(t) con s2 = 0 Controllo GMV

31. Simulazione in a.c.:risposta a gradino (l = 8,57) • Andamento dell’uscita y(t) con s2 = 0 Controllo GMV

32. Simulazione in a.c.:risposta a gradino (l = 8,57) • Andamento dell’ingresso u(t) con s2 = 0 Controllo GMV

33. Guadagno del sistema di controllo • S(1) = • l≠ 0 ⇒ errore a transitorio esaurito non nullo 1 A(1) 1 + l B(1) Controllo GMV

34. Scelta di Q(z) • Scelta: Q(z) = l(1 - z⁻¹) • Poli mobili: B(z) + l(1 - z⁻¹)A(z) = 0 • l = 0 : zeri di B(z) • l→ ∞ : zeri di (1 - z⁻¹)A(z) Controllo GMV

35. Andamento dei poli mobili • Luogo delle radici di B(z) + l(1 - z⁻¹)A(z) l→ ∞ l = 0 Controllo GMV

36. Guadagno del sistema di controllo • S(z) = valutato per z = 1 vale 1 • In questo caso è garantito un guadagno unitario per il sistema di controllo 1 A(z) 1 + l(1 - z⁻¹) B(z) Controllo GMV

37. Simulazione in a.c.:risposta a gradino (l = 1) • Andamento dell’uscita y(t) con s2 = 0 Controllo GMV

38. Simulazione in a.c.:risposta a gradino (l = 1) • Andamento dell’ingresso u(t) con s2 = 0 Controllo GMV

39. Simulazione in a.c.:risposta a gradino (l = 50) • Andamento dell’uscita y(t) con s2 = 0 Controllo GMV

40. Simulazione in a.c.:risposta a gradino (l = 50) • Andamento dell’ingresso u(t) con s2 = 0 Controllo GMV

41. Scelta di Q(z) • Scelta: Q(z) = l(1 - z⁻¹) / (1 – 0.9z⁻¹) • Poli mobili: • l = 0 : zeri di (1 – 0.9z⁻¹)B(z) • l→ ∞ : zeri di (1 - z⁻¹)A(z) Controllo GMV

42. Andamento dei poli mobili • Luogo delle radici di (1 – 0.9z⁻¹)B(z) + l(1 - z⁻¹)A(z) l = 0 l→ ∞ Controllo GMV

43. Simulazione in a.c.:risposta a gradino (l = 1) • Andamento dell’uscita y(t) con s2 = 0 Controllo GMV

44. Simulazione in a.c.:risposta a gradino (l = 1) • Andamento dell’ingresso u(t) con s2 = 0 Controllo GMV

45. Simulazione in a.c.:risposta a gradino (l = 7,3) • Andamento dell’uscita y(t) con s2 = 0 Controllo GMV

46. Simulazione in a.c.:risposta a gradino (l = 7,3) • Andamento dell’ingresso u(t) con s2 = 0 Controllo GMV

47. Scelta di Q(z) • Scelta: Q(z) = l(1 - z⁻¹) / (1 – 0.8z⁻¹) • Poli mobili: • l = 0 : zeri di (1 – 0.8z⁻¹)B(z) • l→ ∞ : zeri di (1 - z⁻¹)A(z) Controllo GMV

48. Andamento dei poli mobili • Luogo delle radici di (1 – 0.8z⁻¹)B(z) + l(1 - z⁻¹)A(z) l = 0 l→ ∞ Controllo GMV

49. Simulazione in a.c.:risposta a gradino (l = 6,1) • Andamento dell’uscita y(t) con s2 = 0 Controllo GMV

50. Simulazione in a.c.:risposta a gradino (l = 6,1) • Andamento dell’ingresso u(t) con s2 = 0 Controllo GMV