«Математик года 2012»

1. «Математик года 2012» Работа Дегтярёвой Ирины 10 класс МОУ « СОШ с.Клинцовка» «Велика наука! …И не заняться ей-нельзя…»

2. «Некоторые применения математики в экономике»

3. Цель проекта: Знакомство с математическими моделями задач экономического содержания.

4. Актуальность: Постоянное решение встающих перед нами задач.

5. Математические модели-необходимый аппарат измерения экономических объектов.

6. Задачи экономического содержания: • Задачи на вычисления процессов, сплавов и смесей; • Задачи на вычисления производительности, работы • Задачи на вычисления наибольшего и наименьшего значений.

7. 1.Задачи на смеси и сплавы. • Задачи на понижение концентрации. • Задачи на повышение концентрации. • Задачи на «высушивание» • Задачи на смешивание растворов разных концентраций. • Задачи на переливание.

8. 10%-ный раствора спирта. Из сосуда отлили 1/3 содержимого, а оставшуюся часть долили водой так, что сосуд оказался на 5/6 первоначальной массы. Какое процентное содержание спирта оказалось окончательно в сосуде?

9. Решение: • Пусть в сосуде 100 г раствора, тогда в сосуде 10 г спирта и 90 г воды. После того, как отлили 1/ 3 содержимого, масса стала 200/3 г, причём спирта 20/3 г. В раствор долили воды и его масса 100* 5/6= 250/3 г. • Процентное содержание • ( 20/3 : 250/3) * 100%=8%. • Ответ: 8%.

10. 2.Задачи на проценты. • Население города за два года увеличилось с 20000 до 22050 человек. Найти средний ежегодный процент роста населения этого города.

11. Решение: • Пусть х средний ежегодный процент роста населения. Тогда 20000х *0,01=200х – человек прибавившегося населения за 1-ый год.; (20000+200х)ч - стало через год.; 0,01(20000+200х)- человек населения, прибавившегося за 2-ой год. Зная, что население города составило 22050 человек, составим математическую модель: • 20000+200х+0,01х(20000+200х)=22050; • х²+200х-1025=0. • По теореме Виета, легко увидеть, что корни этого уравнения х1 = 5 и х2 = -205. • По смыслу задачи х- положительное число, поэтому ответ 5. • Ответ:5.

12. 3.Задачи на работу, производительность. • Опытный рабочий изготавливает 40 деталей на 2 часа быстрее, чем молодой рабочий изготавливает 30 деталей. За сколько часов оба этих рабочих изготовят вместе 120 деталей, если за 1 час опытный рабочий изготавливает на 5 деталей больше молодого рабочего?

13. Решение: • Пусть х деталей в час изготавливает молодой рабочий. (х +5) деталей изготавливает опытный рабочий. 30/х –время изготовления 30 деталей молодым рабочим, тогда 40/х +5 – время выполнения 40 деталей опытным рабочим. Зная, что 2 часа разность выполнения работы, составим математическую модель: • 30/х – 40/х+5=2; • 30(х+5)-40х=2х(х+5) • 30х+150-40х=2х²+10х • х²+10х-75=0 • По теореме Виета легко увидеть, что корнями этого уравнения являются числа 5 и -15, но – 15 не удовлетворяет условию задачи, так как кол-во деталей не может быть отрицательным.5 деталей изготавливает молодой рабочий. 10 деталей изготавливает опытный рабочий. • 120/(5+10)= 120/15= 8 (ч)- Время изготовления 120 деталей. Ответ: 8 часов.

14. 4. Задачи на нахождение наименьшего или наибольшего значений. • Фирма выпускает прогулочные и спортивные велосипеды. Ежемесячно сборочный цех способен собрать 600 прогулочных и 300 спортивных велосипедов. • Готовая продукция проверяется на двух стендах: А и В. Каждый прогулочный велосипед проверяется 0,3 ч на стенде А и 0,1 ч на стенде В, а каждый спортивный велосипед проверяется 0,4 ч на стенде А и 0,3 на стенде В. По технологическим причинам стенд А не может работать более 240 ч в месяц, а стенд В- не более 120 ч в месяц. Каждый прогулочный велосипед приносит фирме доход в 50000 рублей, а каждый спортивный- 90000 рублей. Сколько прогулочных велосипедов и сколько спортивных велосипедов должна ежемесячно выпускать фирма, чтобы её прибыль была наибольшей?

15. Решение: • Составим математическую модель этой задачи. • Обозначим через х ( десятков) количество прогулочных велосипедов, выпускаемых ежемесячно фирмой, а через y(десятков) количество спортивных велосипедов. • По условию, 0≤х≤60, 0≤y≤30. • Это кол-во велосипедов обрабатывается 3х + 4y часов на стенде А и х +3 часов на стенде В. Далее, по условию 3х+4у≤240, а х+3≤120. Прибыль фирмы составляет S=500000х+900000у. • Таким образом, мы пришли к следующей математической задаче: найти числа х и у, удовлетворяющие системе неравенств: 3х +4у≤240, х+3у≤120, х≥0, у≥0, х≤60, у≤30. И такие, чтобы прибыль S была наибольшей.

16. Решением данной задачи является выпуск 480 прогулочных и 240 спортивных велосипедов. При этом наибольшая прибыль фирмы составляет S= 45,6 * 107 руб. • Полученный результат показывает возможности фирмы при работе в «идеальных условиях» ,так как при составлении модели мы пренебрегли очень многими факторами-не учли возможный брак велосипедов, поломку станков и стендов, возможную нехватку электроэнергии.