A Distribuição Normal Prof. Helcio Rocha

1. Estatística A DistribuiçãoNormal Prof. Helcio Rocha Adaptado de Levine

2. A Distribuição Normal • Formato de sino • Simétrica • Média, mediana e modasãoiguais A localização é determinadapelamédia, μ A amplitude é determinadapelodesviopadrão, σ Os dados podemassumirvalores de + a   f(X) σ X μ

3. A Distribuição NormalMédia e Desvio-padrão

4. ProbabilidadesnaDistribuição Normal Probabilidade se traduznaárea sob a curva, ondeárea total = 1,00 = 100% f(X) ) ≤ ≤ P ( a X b ) < < = P ( a X b X a b

5. A Distribuição Normal Padronizada Podemos converter qualquerdistribuição normal com médiaμ e desvio-padrãoσemumadistribuiçãoZ (μ = 0 e σ = 1) f(Z) 1 Z 0 Benefício ► facilidade de cálculo de probabilidadesmediantetabela Z

6. ConvertendoparaDistribuição Z Exemplo: Se X tem distribuição normal, com μ = 100 e σ = 50, o valor de Z paraX = 200é Istosignificaque X = 200 estádoisdesvios-padrãoacima da média.

7. Probabilidade e distribuição Z 0.9772 Exemplo: P(Z < 2.00) = 0.9772 Z 0 2.00

8. X representa o tempo (seg) parabaixarumaimagemna internet. Suponhaque X é normal com média 18.0 seg e desvio-padrão 5.0 seg. Encontre P(X < 18.6) Probabilidade e distribuição Z μ = 18 σ = 5 μ= 0 σ = 1 X Z 18 18.6 0 0.12 P(X < 18.6) P(Z < 0.12)

9. Probabilidade e distribuição Z P(X < 18.6) = P(Z < 0.12) .02 Z .00 .01 0.5478 .5000 0.0 .5040 .5080 .5398 .5438 .5478 0.1 0.2 .5793 .5832 .5871 Z 0.00 0.3 .6179 .6217 .6255 0.12

10. Probabilidadenacauda superior • Suponha X normal com μ =18.0 e σ =5.0. • Encontre P(X > 18.6) X 18.0 18.6

11. Probabilidadenacauda superior (cont) P(X > 18.6) = P(Z > 0.12) = 1.0 - P(Z ≤ 0.12) = 1.0 - 0.5478 = 0.4522 0.5478 1.000 1.0 - 0.5478 = 0.4522 Z Z 0 0 0.12 0.12

12. Probabilidade entre doisvalores Encontre P(18 < X < 18.6) Calculandovalores de Z: 18 18.6 X 0 0.12 Z P(18 < X < 18.6) = P(0 < Z < 0.12)

13. Probabilidade entre doisvalores P(18 < X < 18.6) = P(0 < Z < 0.12) = P(Z < 0.12) – P(Z ≤ 0) .02 Z .00 .01 = 0.5478 - 0.5000 = 0.0478 .5000 0.0 .5040 .5080 0.0478 0.5000 .5398 .5438 .5478 0.1 0.2 .5793 .5832 .5871 0.3 .6179 .6217 .6255 Z 0.00 0.12

14. Probabilidadenacauda inferior Encontre P(17.4 < X < 18) P(17.4 < X < 18) = P(-0.12 < Z < 0) = P(Z < 0) – P(Z ≤ -0.12) = 0.5000 - 0.4522 = 0.0478 0.0478 0.4522 A distribuição normal é simétrica, porisso… P(-0.12 < Z < 0) = P(0 < Z < 0.12) X 17.4 18.0 Z -0.12 0

15. Regraempírica μ ± 1σcobre 68.26% da área Para qualquerdistribuição normal: f(X) σ σ X μ-1σ μ μ+1σ 68.26%

16. Regraempírica (cont) • μ ± 2σcobreaprox.95%da área • μ ± 3σcobreaprox.99.7%da área 3σ 3σ 2σ 2σ μ x μ x 95.44% 99.73%

17. Calculando X a partir da probabilidade Exemplo: • X representa o tempo (seg) parabaixarumaimagemna internet. • X tem distribuiçãonormal com μ = 18 e σ = 5.0 • Encontre X talque 20% dos tempos de download sãoinferiores a X. 0.2000 X ? 18.0 Z ? 0

18. Calculando X a partir da probabilidade 1. EncontreZ para a probabilidade • 20% de áreanacauda inferior corresponde a Z igual a -0.84 Dica: natabela procure Z para 80% e inverta o sinal 0.2005 X ? 18.0 Z -0.84 0

19. Calculando X a partir da probabilidade 2. Convertapara X com a fórmula: Então,20% dos valores com distribuição normal de μ= 18 e σ = 5.0sãoinferiores a 13.80.