Filtr Kalmana (z ang. Kalman Filter w skrócie KF)

1. Sebastian Reimus Krzysztof Biszof Filtr Kalmana(z ang. Kalman Filter w skrócie KF)

2. Plan prezentacji: • Definicja • Własności KF • Równania Kalmana • Algorytm filtru • Rozszerzony KF • Przykłady zastosowań KF

3. Filtr Kalmana jest zbiorem matematycznych równań, które dostarczają wydajnego rekursywnego sposobu do wyestymowania stanu procesu, w sposób który minimalizuje błąd średniokwadratowy • Można go stosować do estymacji przeszłych, teraźniejszych i przyszłych stanów

4. Własności KF • KF jest optymalnym estymatorem, • Filtr korzysta ze wszystkich dostępnych pomiarów, na ich podstawie dokonuje najlepszej estymacji stanu, • FK jest algorytmem typu rekursywnego, • Jest to algorytm przetwarzania danych.

5. Równania Kalmana • Proces do estymacji • Równanie pomiaru • Rozkład błędów procesu i pomiaru p(w)~N(0,Q) p(v) ~N(0,R)

6. Objaśnienie • Wk, Vk – Zmienne losowe reprezentujące szum procesu i pomiaru • Q,R – Macierze kowariancji błędów procesu i pomiaru (const.) • A – Macierz wiążąca poprzedni stan procesu z aktualnym (const.) • B – Opcjonalna macierz wiążąca „option controll input”z aktualnym stanem (const.) • C – Macierz wiążąca stan procesu z jego pomiarem (const.)

8. Algorytm filtru KF jest dwufazowym rekursywnym algorytmem. Pierwsza faza algorytmu nazywana jest predykcją. Równania wykonywane w trakcie tej fazy nazywane są aktualizacją czasową. Drugą fazę nazywa się korekcją, a jej równania to aktualizacja pomiarowa.

9. Zdefiniujmy błędy szacowania: • - estymowany stan a priori uzyskany z procesu • - estymowany stan a posteriori uwzględniający pomiar zk • - błąd a priori • - błąd a posteriori

10. Macierze kowariancji (zależnościwariancjiskładowychwektorastanu) to: • - macierz kowariancji a priori • - macierz kowariancji a posteriori

11. Równaniapierwszejfazy: • - prognozowanewartościstanui kowariancji a priori • - optymalne szacowanewartości a posterioriwykonane • w poprzednimkroku

12. Równania drugiej fazy: • wzmocnienie Kalmana: • optymalne skorygowanie prognozy w czasie k: • macierz kowariancji:

14. RozszerzonyFiltr Kalmana

15. Pomiar stałego zaszumionego napięcia A = 1 - stan się nie zmienia, u = 0, H = 1 Otrzymujemy równania KF:

16. Pomiar napięcia dla wariancji R = 0, 01 i Q = 10e − 5.

17. Przykłady zastosowań • Inżynieria - robotyka, promy kosmiczne, samoloty, samochody • Komputery - namierzanie, grafika czasu rzeczywistego, computer vision • Ekonomia - przewidywanie mierników ekonomicznych • Inne - telefonia, elektryczność

18. Podsumowanie • rekurencyjna postać, • równania nie zmieniają swojej postaci w przypadku, gdy układ jest niestacjonarny • algorytm jest dosyć prosty i nie wymaga skomplikowanych, czasochłonnych obliczę.

19. Bibliografia • Greg Welch, Gary Bishop, An Introduction To The Kalman Filter, Department Of Computer Science, University Of North Carolina At Chapel Hill • Frida Lie, Robert Brooks And Robert Faff, Modelling The Equity Beta Risk Of Australian Financial Sector Companies, Blackwell Publishers Ltd, • Wikipedia: The Free Encyclopedia. 9 April 2005. Wikimedia Foundation. <http://en.wikipedia.org/wiki/Kalman_filter>

20. Dziękujęzauwagę