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MATEMÁTICA FINANCEIRA

MATEMÁTICA FINANCEIRA. Reinaldo Cafeo www.economiaonline.com.br cafeo@economiaonline.com.br. Introdução.

zachariah
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MATEMÁTICA FINANCEIRA

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Presentation Transcript

  1. MATEMÁTICA FINANCEIRA Reinaldo Cafeo www.economiaonline.com.br cafeo@economiaonline.com.br

  2. Introdução • A Matemática Financeira teve seu início exatamente quando o homem criou os conceitos de Capital, Juros, Taxas e Montante. Daí para frente, os cálculos financeiros tornaram-se mais justos e exatos, mas é preciso conhecê-los, se possível muito bem.

  3. Tópicos • Regime de Juros Simples • Método Hamburguês • Desconto de Duplicatas • Juros Compostos • Fluxo de Caixa • Taxa Nominal x Taxa Efetiva • Série Uniforme de Pagamentos • Valor Presente Líquido • Taxa Interna de Retorno

  4. Conceitos • Capital (C ou PV) é o valor – normalmente dinheiro – que você pode aplicar ou emprestar. Também chamado de Capital Inicial ou Principal, representado pela letra “C” ou “PV” (Valor Presente – abreviação das palavras correspondentes em inglês a Present Value. Adotaremos “PV”).

  5. Conceitos • JURO é a remuneração do capital empregado. • Para o INVESTIDOR: é a remuneração do investimento • Para o TOMADOR: é o custo do capital obtido por empréstimo

  6. Conceitos • TAXA DE JUROS: é o índice que determina a remuneração de um capital num determinado período de tempo (dias, meses, anos, etc.) • Esse período é representado pela letra “n” ou “t”. • Taxa percentual: 34% ao mês • Taxa unitária: 0,34 ao mês

  7. Conceitos • MONTANTE (M) ou VALOR FUTURO (FV – abreviação das palavras correspondentes em inglês a Future Value) é o capital inicial acrescido do rendimento obtido durante o período de aplicação e representado pela letra “M” ou “FV”, ou seja: • M = C + J ou FV = PV + J

  8. Regime de Juros • Existem dois regimes de juros: • A) simples • B) compostos

  9. Juros Simples • No regime de juros simples, a taxa incide sobre o capital inicial aplicado, sendo proporcional ao seu valor e ao tempo de aplicação.

  10. Juros Simples • Exemplo 1: Para um capital de $ 100.000, aplicado à taxa de 10% ao mês, durante 3 meses, teríamos:

  11. Juros Simples • Dedução da fórmula: • J = PV x i 100 • Para os juros acumulados: • J = PV . i . n 100

  12. Juros Simples • Se: FV = PV + J, temos • FV = PV + PV . i . n 100 • Assim: • FV = PV (1 + i . n) 100

  13. Juros Simples • Os juros simples têm crescimento constante ao longo do período de aplicação. • Os juros simples podem ser: • Exatos: calendário civil (365 ou 366 dias) • Ordinários: calendário comercial (mês 30 dias, ano de 360 dias)

  14. Juros Simples • Exemplo 2: O Sr. Theobaldo aplicou $ 50.000, a juros simples de 5% ao mês, por 90 dias. Quanto rendeu sua aplicação? Quanto resgatou?

  15. Juros Simples • Observe que o período da aplicação está em dias e taxa ao mês. Nesse caso precisamos transformá-los para mesma periodicidade, ou seja, ou passamos a taxa ao dia (dividindo-a por 30) ou encontramos o número de meses que temos em 90 dias (dividindo por 30). Vamos transformar “n” em meses:

  16. Juros Simples • n = 90 / 30 = 3 meses • Aplicando na fórmula: • J = 50.000 x 5 x 3 100 • J = 7.500 • FV = 50.000 + 7.500 • FV = 57.500

  17. Juros Simples • Contas garantidas e o Método Hamburguês • Como calcular os juros sobre as contas garantidas de pessoas jurídicas, ou mesmo sobre contas de cheques especiais de pessoas físicas?

  18. Juros Simples • Essas contas são, na realidade, formas de crédito rotativo nas quais são definidos limites máximos para utilização de recursos. O cliente saca a descoberto e juros são calculados periodicamente sobre o saldo médio utilizado.

  19. Juros Simples • Na maioria dos bancos, os encargos financeiros sobre os saldos devedores são calculados por capitalização simples, através do denominado “Método Hamburguês”. • Por este método, os juros devidos são calculados da seguinte forma: multiplica-se a taxa de juros pelo produto do saldo devedor e da quantidade de dias que esses valores tenham permanecido devedores.

  20. Juros Simples • Exemplo 3: O Sr. João Oliveira mantém um cheque especial no Banco Millenium, com de limite de $ 25.000. Ao final do mês de abril/96, o Banco expede um extrato com a movimentação financeira naquele mês. Sabendo-se que os encargos eram de 12% ao mês, determinar o total a ser pago pelo Sr. João.

  21. Juros Simples

  22. Juros Simples

  23. Juros Simples • Juros = 70.250 x 0,12/30 • Juros = $ 281,00

  24. Descontos • Conceito: a chamada operação de desconto normalmente é realizada quando se conhece o valor futuro de um título (valor nominal, valor de face ou valor de resgate) e se quer determinar o seu valor atual.

  25. Descontos • Fórmula: D = FV – PV • Onde: • D = valor monetário do desconto • FV = Valor Futuro (Valor de Face) • PV = Valor Presente (Valor creditado ou pago ao seu titular)

  26. Descontos • O critério mais utilizado pelo mercado é o chamado desconto simples, que envolve cálculos lineares, com um detalhe: o taxa no período incide sobre o valor futuro e não sobre o valor presente (como são as demais operações)

  27. Descontos • Conhecido no mercado financeiro como desconto bancário ou comercial, o desconto simples é obtido multiplicando-se o valor de resgate do título pela taxa de desconto e pelo prazo a decorrer até o seu vencimento, ou seja:

  28. Descontos • D = FV x i x n • Onde: • D = Valor do Desconto ($) • FV = Valor Futuro ou de Face • i = taxa de desconto • n = o prazo

  29. Descontos • Para se obter o chamado valor descontado (ou valor presente), basta subtrair o valor do desconto do valor futuro do título, como segue: • PV = FV - D

  30. Descontos • Assim, temos as duas fórmulas básicas: • D = FV x i x n • PV = FV - D

  31. Descontos • Exemplos: • 1- Qual o valor do desconto simples de um título de $ 2.000,00, com vencimento para 90 dias, à taxa de 2,5% ao mês? • Dados: • FV = 2.000,00 • n = 90 dias = 3 meses • i = 2,5% ao mês

  32. Descontos • D = FV x i x n • D = 2.000 x 0,025 x 3 • D = 150,00

  33. Descontos Cálculo do valor do desconto simples para séries de títulos de mesmo valor: Fórmulas: PVt = FV x N- Dt Dt = FV x N x i x t1 + t2 2

  34. Descontos • Onde: • Dt = valor do desconto total • N = número de títulos • i = taxa de juros • t1 + t2 = prazo médio dos títulos 2

  35. Descontos • Exemplo: Calcular o valor líquido correspondente ao desconto bancário de 12 títulos, no valor de $ 1.680,00 cada um, vencíveis de 30 a 360 dias, respectivamente, sendo a taxa de desconto cobrada pelo banco de 2,5% ao mês.

  36. Descontos • Dados: • FV = 1.680,00 • N = 12 • t1= 1 • tn = 12 • Pt = ? • i = 2,5%

  37. Descontos • Solução: • Dt = 1.680,00 x 12 x 0,025 x 1 + 12 2 • Dt = 3.276,00 • Pt = (1.680,00 x 12) – 3.276,00 • Pt = 16.884,00

  38. Descontos • Taxa Efetiva de Desconto (ie) • É aquela que, como o próprio nome diz, remunera efetivamente uma operação de desconto. • Há uma mudança de enfoque, veja: • A loja de eletrodomésticos, ao permitir que seus clientes paguem 30 dias após a compra, está realidade, abdicando de receber $ 900,00, hoje, para receber $ 1.000,00 daqui a um mês. Quanto ganhará com isso?

  39. Descontos • O rendimento será de $ 100,00 sobre os $ 900,00 de hoje. A taxa de remuneração ou taxa efetiva será: • Ie = 100/900 x 100 = 11,11%.

  40. Descontos • Assim podemos dizer: • A taxa nominal de desconto (id) incide sobre o valor nominal do título. Já a taxa efetiva de desconto (ie) é aplicada sobre o valor líquido da operação.

  41. Descontos • ie = id x 100 100 – id Onde: ie = taxa efetiva de desconto id = taxa nominal de desconto

  42. Juros Simples: Exercícios • 01- Qual o montante (capital + juros) acumulado em 7 meses, a uma taxa de 10% a.m., no regime de juros simples, a partir de um principal de $ 200,00? • 02- Qual o capital necessário para obter um montante de $ 970,00, daqui a 3 semestres, a uma taxa de 42% ao semestre, no regime de juros simples? • 03- Qual a taxa mensal de juros simples que transforma um capital de $ 350,00 num montante de $ 570,50, daqui a 7 meses?

  43. Juros Simples: Exercícios • 04- Calcular os juros simples recebidos em uma aplicação de $ 100,00, a uma taxa de 10,00% a.m., num prazo de 15 dias. • 05- A que taxa devemos emprestar $ 97,00, a juros simples, para que em 10 meses ele duplique? • 06- Utilizar o Método Hamburguês para apurar os juros a serem pagos em uma conta de crédito rotativo de pessoa jurídica, que apresenta as seguintes características: taxa de juros: 10% ao mês; limite de crédito: $ 200.000,00

  44. Juros Simples: Exercícios

  45. Juros Simples: Exercícios • 07- Qual a taxa mensal de desconto utilizada numa operação a 120 dias cujo valor de resgate é de $ 1.000,00 e cujo valor atual é de $ 800,00? • 08- Uma duplicata no valor de $ 6.800,00 é descontada por um banco, gerando um crédito de $ 6.000,00 na conta do cliente. Sabendo-se que a taxa cobrada pelo banco é de 3,2% ao mês, determinar o prazo de vencimento da duplicata.

  46. Juros Simples: Exercícios • 09- Calcular o valor líquido creditado na conta de um cliente, correspondente ao desconto de uma duplicata no valor de $ 34.000,00, com prazo de 41 dias, sabendo-se que o Banco está cobrando nessa operação uma taxa de desconto de 4,7% ao mês. • 10- O desconto de uma duplicata gerou um crédito de $ 70.190,00 na conta de uma empresa. Sabendo-se que esse título tem um prazo a decorrer de 37 dias até o seu vencimento e que o Banco cobra uma taxa de desconto de 5,2% ao mês nessa operação, calcular o valor da duplicata.

  47. Juros Simples: Exercícios • 11- Quatro duplicatas, no valor de $ 32.500,00 cada uma, com vencimento para 90, 120, 150 e 180 dias, são apresentadas para desconto. Sabendo-se que a taxa de desconto cobrada pelo banco é de 3,45% ao mês, calcular o valor do desconto. • 12- Uma empresa apresenta 9 títulos de mesmo valor para serem descontados em um banco. Sabendo-se que a taxa de desconto é de 2,8% ao mês, que os títulos vencem de 30 em 30 dias, a partir da data de entrega do borderô, e que o valor líquido creditado a empresa foi de $ 25.000,00, calcular o valor de cada título.

  48. Juros Simples: Exercícios • 13-Um consumidor deseja liquidar antecipadamente 6 prestações restantes de um financiamento obtido para a compra de um bem. Sabendo-se que o valor de cada prestação é de $ 30.000,00; que a primeira prestação vence a 30 dias de hoje e a última a 180 dias; e que o desconto dado pelo credor é de 1% ao mês (desconto simples ou bancário), calcular o valor a ser pago pelo financiado para liquidar o contrato.

  49. Juros Simples: Exercícios • 14- Oito títulos, no valor de $ 1.000,00 cada um, são descontados por um banco, cujo líquido correspondente, no valor de $ 6.830,00, é creditado na conta do cliente. Sabendo-se que os vencimentos desses títulos são mensais e sucessivos a partir de 30 dias, calcular a taxa de desconto. • 15- Calcular a taxa efetiva de desconto, dada a taxa nominal de 3% ao mês. • 16- Calcular a taxa efetiva de desconto, para o prazo de 45 dias, para uma operação com taxa nominal de 3,3% ao mês.

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