MÉTODOS NUMÉRICOS 2.2 Raíces de ecuaciones

1. MÉTODOS NUMÉRICOS2.2 Raíces de ecuaciones Gustavo Rocha 2005-2

2. MÉTODO GRÁFICO f(x) Visual x xr

3. - = - x f ( x ) e x MÉTODO GRÁFICO

4. MÉTODO DE BISECCIÓN f(x) x

5. MÉTODO DE BISECCIÓN • Consiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el que se garantice que la función tiene raíz.

6. < f ( x ). f ( x ) 0 i s MÉTODO DE BISECCIÓN f(x) f(xi) x xs xi f(xs)

7. MÉTODO DE BISECCIÓN • Consiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el que se garantice que la función tiene raíz. • El segmento se bisecta, tomando el punto de bisección xr como aproximación de la raíz buscada.

8. + x x = x i s r 2 MÉTODO DE BISECCIÓN f(x) f(xi) f(xr) x xs xi xr f(xs)

9. MÉTODO DE BISECCIÓN • La fórmula de recurrencia para el método de bisección es el promedio de los valores inferior y superior de los extremos del intervalo:

10. MÉTODO DE BISECCIÓN • Consiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el que se garantice que la función tiene raíz. • El segmento se bisecta, tomando el punto de bisección xr como aproximación de la raíz buscada. • Se identifica luego en cuál de los dos intervalos está la raíz.

11. = x x i r MÉTODO DE BISECCIÓN f(x) f(xi) f(xr) x xs xi xi f(xs)

12. MÉTODO DE BISECCIÓN • Consiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el que se garantice que la función tiene raíz. • El segmento se bisecta, tomando el punto de bisección xr como aproximación de la raíz buscada. • Se identifica luego en cuál de los dos intervalos está la raíz. • El proceso se repite n veces, hasta que el punto de bisección xr coincide prácticamente con el valor exacto de la raíz.

13. + x x = x i s r 2 MÉTODO DE BISECCIÓN f(x) f(xr) x xr xs xi f(xs)

14. - = - x f ( x ) e x MÉTODO DE BISECCIÓN Xr = 0.567143 Decisiones Función Recurrencia

15. - = - x f ( x ) e x MÉTODO DE BISECCIÓN  0.5  0.75  0.625  0.5625  0.59375  0.578125  0.5703125  0.56640625        0.567143… 1 0

16. MÉTODO DE LA REGLA FALSA f(x) x

17. MÉTODO DE LA REGLA FALSA • Consiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el que se garantice que la función tiene raíz.

18. < f ( x ). f ( x ) 0 i s MÉTODO DE LA REGLA FALSA f(x) f(xi) x xs xi f(xs)

19. MÉTODO DE LA REGLA FALSA • Consiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el que se garantice que la función tiene raíz. • Se traza una recta que une los puntos [xi, f(xi)], [xs, f(xs)].

20. MÉTODO DE LA REGLA FALSA f(x) f(xi) x xs xi f(xs)

21. MÉTODO DE LA REGLA FALSA • Consiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el que se garantice que la función tiene raíz. • Se traza una recta que une los puntos (xi, f(xi)), (xs, f(xs)). • Se obtiene el punto de intersección de esta recta con el eje de las abscisas: (xr, 0) y se toma xr como aproximación de la raíz buscada.

22. MÉTODO DE LA REGLA FALSA O método de interpolación lineal f(x) f(xi) x xs xi xr f(xr) f(xs)

23. MÉTODO DE LA REGLA FALSA • La fórmula de recurrencia para el método de la regla falsa se obtiene de comparar dos triángulos semejantes:

24. MÉTODO DE LA REGLA FALSA • Consiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el que se garantice que la función tiene raíz. • Se traza una recta que une los puntos (xi, f(xi)), (xs, f(xs)) • Se obtiene el punto de intersección de esta recta con el eje de las abscisas: (xr, 0); se toma xr como aproximación de la raíz buscada. • Se identifica luego en cuál de los dos intervalos está la raíz.

25. = x x s r MÉTODO DE LA REGLA FALSA f(x) f(xi) x xs xi xr xs f(xs) f(xs)

26. MÉTODO DE LA REGLA FALSA • Consiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el que se garantice que la función tiene raíz. • Se traza una recta que une los puntos (xi, f(xi)), (xs, f(xs)) • Se obtiene el punto de intersección de esta recta con el eje de las abscisas: (xr, 0); se toma xr como aproximación de la raíz buscada. • Se identifica luego en cuál de los dos intervalos está la raíz. • El proceso se repite n veces, hasta que el punto de intersección xr coincide prácticamente con el valor exacto de la raíz.

27. MÉTODO DE LA REGLA FALSA f(x) f(xi) x xi xs f(xs)

28. - = - x f ( x ) e x MÉTODO DE LA REGLA FALSA Xr = 0.567143 Decisiones Función Recurrencia

29. MÉTODO DE LA REGLA FALSA f(x) Caso de convergencia lenta x

30. MÉTODO DE LA REGLA FALSA MODIFICADO • Las funciones con curvatura significativa hacen que el método de la regla falsa converja muy lentamente. • Esto se debe a que con interpolación lineal, uno de los valores extremos se queda estancado. • Para tales casos, se ha encontrado un remedio: el método de la regla falsa modificado, que reduce a la mitad el valor de la función en el punto extremo que se repita dos veces, con lo que la convergencia se acelera significativamente.

31. MÉTODO DE LA REGLA FALSA MODIFICADO f(x) f(xi) f(xi)/2 f(xi)/4 x

32. < f ( x ). f ( x ) 0 i s PRECAUCIONES EN EL USODE MÉTODOS CERRADOS f(x) f(xi) hay una raíz (o 5, o 7 o …) 3 raíces hay un número impar de raíces x xs xi f(xs)

33. < f ( x ). f ( x ) 0 i s PRECAUCIONES EN EL USODE MÉTODOS CERRADOS f(x) f(xi) hay una raíz (1 simple y 1 doble) 3 raíces hay un número impar de raíces x xs xi f(xs)

34. > f ( x ). f ( x ) 0 i s PRECAUCIONES EN EL USODE MÉTODOS CERRADOS f(x) f(xi) no hay raíz (o 4, o 6 o …) 2 raíces hay un número par de raíces f(xs) x xs xi

35. > f ( x ). f ( x ) 0 i s PRECAUCIONES EN EL USODE MÉTODOS CERRADOS f(x) f(xi) no hay raíz 1 raíz doble hay un número par de raíces f(xs) x xs xi

36. PRECAUCIONES EN EL USODE MÉTODOS CERRADOS • Los métodos cerrados siempre convergen, aunque lentamente. • En la mayoría de los problemas el método de la regla falsa converge más rápido que el de bisección. • Conviene utilizar la calculadora graficadora o una computadora para graficar la función y realizar los acercamientos necesarios hasta tener claridad sobre su comportamiento.

37. MÉTODO DEL PUNTO FIJO f(x) x

38. MÉTODO DEL PUNTO FIJO • Considera la descomposición de la función f(x) en una diferencia de dos funciones: una primera g(x) y la segunda, siempre la función x: f(x) = g(x) - x.

39. = - f ( x ) g ( x ) x MÉTODO DEL PUNTO FIJO f(x) x

40. MÉTODO DEL PUNTO FIJO • Considera la descomposición de la función f(x) en una diferencia de dos funciones: una primera g(x) y la segunda, siempre la función x: f(x) = g(x) - x. • La raíz de la función f(x) se da cuando f(x) = 0, es decir, cuando g(x) – x = 0, cuando g(x) = x.

41. MÉTODO DEL PUNTO FIJO • La fórmula de recurrencia para el método del punto fijo se obtiene de considerar una función que el resultado de sumar la función f con la función identidad:

42. MÉTODO DEL PUNTO FIJO f(x) x g(x) x xr f(x)

43. MÉTODO DEL PUNTO FIJO • Considera la descomposición de la función f(x) en una diferencia de dos funciones: una primera g(x) y la segunda, siempre la función x: f(x) = g(x) - x. • La raíz de la función f(x) se da cuando f(x) = 0, es decir, cuando g(x) – x = 0, por lo que g(x) = x. • El punto de intersección de las dos funciones, da entonces el valor exacto de la raíz.

44. MÉTODO DEL PUNTO FIJO f(x) x g(x) Las funciones x y g(x) se cortan exactamente en la raíz xr x xr f(x)

45. MÉTODO DEL PUNTO FIJO • Considera la descomposición de la función f(x) en una diferencia de dos funciones: una primera g(x) y la segunda, siempre la función x: f(x) = g(x) - x. • La raíz de la función f(x) se da cuando f(x) = 0, es decir, cuando g(x) – x = 0, por lo que g(x) = x. • El punto de intersección de las dos funciones, da entonces el valor exacto de la raíz. • El método consiste en considerar un valor inicial x0, como aproximación a la raíz, evaluar el valor de esta función g(x0), considerando éste como segunda aproximación de la raíz, x1.

46. = g ( x ) x 0 1 MÉTODO DEL PUNTO FIJO f(x) g(x0) x x1 x0

47. MÉTODO DEL PUNTO FIJO • Considera la descomposición de la función f(x) en una diferencia de dos funciones: una primera g(x) y la segunda, siempre la función x: f(x) = g(x) - x. • La raíz de la función f(x) se da cuando f(x) = 0, es decir, cuando g(x) – x = 0, por lo que g(x) = x. • El punto de intersección de las dos funciones, da entonces el valor exacto de la raíz. • El método consiste en considerar un valor inicial x0, como aproximación a la raíz, evaluar el valor de esta función g(x0), considerando éste como segunda aproximación de la raíz. • El proceso se repite n veces hasta que g(x) coincide prácticamente con x.

48. < g ' ( x ) 1 MÉTODO DEL PUNTO FIJO f(x) Requisito para convergencia x x3 x2 x1 x0

49. MÉTODO DEL PUNTO FIJO • Sólo hay convergencia si la magnitud de la pendiente de g(x) es menor que la pendiente de la recta f(x) = x. • La ecuación de recurrencia es: • Si x* es el verdadero valor de la raíz: • Y por el teorema del valor medio: • Si , los errores disminuyen en cada iteración • Si , los errores crecen en cada iteración

50. g'(x) g'(x) < 1 > 1 solución monótona solución oscilante MÉTODO DEL PUNTO FIJO Convergencia Divergencia