TEMA 2 Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos

1. TEMA 2 • Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos • Balances envolventes de cantidad de movimiento • Película descendente • Flujo por el interior de un tubo circular • Flujo reptante alrededor de una esfera sólida • Nomenclatura • Ecuación de continuidad • La ecuación de continuidad en los distintos sistemas coordenados • Ecuación de movimiento • La ecuación de movimiento en los distintos sistemas coordenados • Software de modelado de procesos • Condiciones límite • Ecuación de energía mecánica • Forma adimensional de las ecuaciones de variación • Capa límite y flujo potencial • Capa límite • Flujo potencial

2. vz(x) z x = 0 x Δx L x = δ β Balance de materia Balances envolventes de cantidad de movimiento: condiciones límite 1. Película descendente • Régimen estacionario • Fluido incompresible

3. CUESTIÓN ¿Qué limitaciones se han hecho en la deducción de la fórmula que da el espesor de una película descendente? Cuestión 6, Cap. 2, Bird, Fenómenos de Transporte (1961) vz(x) z x = 0 x Δx L x = δ β CUESTIÓN Dibujar el perfil de velocidad en un fluido que circula por el espacio anular comprendido entre dos tubos concéntricos. Realizar el análisis de la velocidad: vr vz vθ r z θ Balance de c.d.m. Límite cuando Δx tiende a cero: Integrando: Ley de Newton: Integrando:

4. Magnitudes derivadas Velocidad máxima: Flujo volumétrico: Velocidad media: Fuerza sobre la superficie:

5. CUESTIÓN ¿Por qué en el balance de c.d.m. en el plano inclinado no se considerá la fuerza ejercida por la presión? Balance de materia r z Balance de c.d.m. vz(r) 2. Flujo por el interior de un tubo circular • Régimen estacionario • Fluido incompresible P0 En el límite (Δr→0): Integrando: PL

6. Magnitudes derivadas Velocidad máxima: Flujo volumétrico: Velocidad media: Fuerza sobre la superficie:

7. Flujo reptante Ft z Solución analítica (x,y,z) F Fn x y Magnitudes derivadas CUESTIÓN Realizar el análisis de velocidad en los ejercicios: 1995-Jun-No:10 1998-Sep-No:13 3. Flujo reptante alrededor de una esfera sólida Fuerza normal: Fuerza tangencial: Fuerza total: (Ley de Stokes)

8. Nomenclatura: Magnitudes Productos Producto diádico:

9. Operadores diferenciales Operador nabla: Gradiente de un campo escalar: Divergencia de un campo vectorial: Rotacional de un campo vectorial: Laplaciana de un campo escalar: Laplaciana de un campo vectorial:

10. Derivadas con respecto al tiempo Derivada parcial: Derivada total: Derivada substancial:

11. z x y Ecuación de continuidad

12. Forma vectorial: Transformación: Fluidos incompresibles (ρ=constante):

13. La ecuación de continuidad en los diferentes sistemas de coordenadas Coordenadas rectangulares (x, y, z): Coordenadas cilíndricas (r, θ, z): Coordenadas esféricas (r, θ, Φ):

14. Balance: z x y Ecuación de movimiento Balance a la componente x:

15. Balance de fuerzas: Término de acumulación: Substituyendo en el balance: Haciendo uso de la ecuación de continuidad:

16. La ecuación de movimiento, para un fluido newtoniano: Ley de Newton

17. Formas simplificadas de la ecuación de movimiento Fluido de densidad y viscosidad constantes. (Ec. Navier-Stokes) Sistemas de flujo sin efectos viscosos. (Ec. Euler) Fluido en reposo.

18. La ecuación de movimiento en coordenadas rectangulares (en función de τ) componente x: componente y: componente z:

19. La ecuación de movimiento en coordenadas rectangulares (para fluidos newtonianos de ρ y μ constantes) componente x: componente y: componente z:

20. La ecuación de movimiento en coordenadas cilíndricas (en función de τ) componente r: componente θ: componente z:

21. La ecuación de movimiento en coordenadas cilíndricas (para fluidos newtonianos de ρ y μ constantes) componente r: componente θ: componente z:

22. La ecuación de movimiento en coordenadas esféricas (en función de τ) componente r: componente θ: componente Φ:

23. La ecuación de movimiento en coordenadas esféricas (para fluidos newtonianos de ρ y μ constantes) componente r: componente θ: componente Φ: En estas ecuaciones:

24. Componentes del tensor esfuerzo cortante en coordenadas rectangulares

25. Componentes del tensor esfuerzo cortante en coordenadas cilíndricas

26. CUESTIÓN Realizar el análisis de velocidad en los ejercicios: 1995-Sep-No: 6 1994-Jun-No:13 En la próxima clase se utilizará este análisis para obtener las correspondientes ecuaciones de variación. Componentes del tensor esfuerzo cortante en coordenadas esféricas

27. Pressure Driven Flow in a Jet Pump Pump Efficiency Profiled contours of axial velocity Software de modelado de procesos http://www.fluent.com

28. Residence Time Distribution in CSTR’s Liquid-phase Reaction The transient behavior of the tracer dispersion through the multistage reactor is captured. Product plume forming as a result of reactant injection through the dip tube.

29. Blending Time Prediction Concentration of the tracer can be monitored at a number of locations in the vessel and plotted as uniformity of concentration, U, as a function of time.

30. Cerebral Aneurysm Risk Assessment Automotive industry: Aerodynamics Pressure contours on an aneurysm created from a Spiral CT scan Pathlines around the Opel Astra, Courtesy of Opel AG

31. Condiciones límite (interfase) VELOCIDAD: TRANSPORTE DE C.D.M.:

32. , multiplicándola escalarmente por Ecuación de energía mecánica Ecuación de movimiento:

33. SISTEMA Compresión/ Expansión Energía Interna Energía Mecánica Disipación viscosa Trabajo Calor (conducción) Convección Convección ALREDEDORES

34. Forma adimensional de las ecuaciones de variación Propiedades físicas constantes: r, m Magnitudes características: L, V, p0 Ecuación de continuidad: Ecuación de movimiento: Número de Reynolds: Grupos adimensionales característicos: Número de Froude:

35. Capa límite y flujo potencial Flujo potencial Fluido ideal: Velocidad originada por un campo potencial (F): Ecuación de continuidad (r = constante): Carácter irrotacional:

36. Función de corriente ():

37. Capa límite

38. “Despegue” de la capa límite