FI-1 2 Kmity a vlnění I I I.

1. FI-12 Kmity a vlnění III.

2. Hlavní body • Harmonické vlny • Rychlost šíření • Přenos energie • Interference vln • Stojaté vlny • Dopplerův jev

3. Rychlost šíření vln I • Mějme vlnu, která se šíří například v napjaté struně. • Maximální amplitudu si lze představit jako kopec, jehož vrchol se šíří rychlostí c. • Elementy délky struny se na něm pohybují po dráze, kterou lze aproximovat částí kružnice. • Potom musí složení tahů sousedních elementů realizovat dostředivou sílu.

4. Rychlost šíření vln II • Předpokládáme malý úhel, který nahradíme parametry kružnice a hmotnost vyjádříme pomocí hustoty na jednotku délky  : Tedy :

5. Rychlost šíření vln III • v čitateli je síla, která souvisí s elastickými vlastnostmi prostředí a • ve jmenovateli lineární hustota, představující vlastnosti setrvačné. • Pro rychlost zvuku například platí : • Kde K je modul objemové pružnosti a součinitel objemové stlačitelnosti, zavedený dříve :

6. Energie vln I • Vlnění je postupné kmitání jednotlivých oscilátorů podél jeho šíření. • Lze tedy očekávat, že se bude prostřednictvím vlny šířit energie kinetická i potenciální. • Přitom střední kinetická i střední potenciální energie bude polovina energie celkové. • Vyšetříme střední kinetickou energii.

7. Energie vln II • Kinetická energie elementu délky dx závisí na jeho rychlosti kmitání : • Střední kinetickou energii na jednotkovoudélku struny obdržíme integrací :

8. Energie vln III • Tato energie se přenáší spolu s potenciální energií úsekem jednotkové délky, čili po derivaci podle času platí pro přenášenývýkon : • Výkon obsahuje • parametry prostředí  a c • vlastnosti vlny 2 a u02

9. Skládání vln I • Při skládání vln platí podobně jako při skládání kmitů principsuperpozice. • Ten je podle okolností realizován vektorovým nebo prostým součtem. • Jedná-li například o dvě příčná nebo podélná vlnění, šířící se v ose x, platí :

10. Skládání vln II • Pro charakter složené vlny platí obdoba téhož, jako při skládání kmitů. • Obecně má vlna kromě amplitudy tři další parametry např. úhlovou frekvenci, vlnové číslo a fázi. Může kmitat totiž různě v čase a může mít i různou rychlost šíření a počáteční výchylku. Fázi zatím nebudeme uvažovat.

11. Skládání vln III • V určitém prostředí předpokládáme, že rychlost šíření nezávisí na úhlové frekvenci. Tím se počet nezávislých parametrů vlny redukuje na dva, takže platí přesně totéž, co pro skládání kmitů. • V reálném prostředí rychlost šíření vln na úhlové frekvenci závisí. Tento jev se nazývá disperze a je například v optice příčinou barevnévady čoček nebo rozkladusvětla na optickém hranolu.

12. Skládání vln IV • Šíří-li se harmonické vlny stejnou rychlostí, ale liší se amplitudou a úhlovou frekvencí, je výsledná vlna obecně aperiodická, ale může být i periodická, dokonce i harmonická. Závisí to na vzájemných vlastnostech úhlovýchfrekvencí.

13. Skládání vln V • K zajímavému efektu dochází, mají-li vlny úhlovou frekvenci stejnou: • V každém bodě se potom skládají kmity stejné frekvence • Výsledkem je opět kmit stejné frekvence a určité amplitudy a fáze • uvažujme pro jednoduchost vlny s jednotkovou amplitudou

14. Skládání vln VI • výsledná vlna je modulována veličinou závislou na vzájemném fázovém posunu. • Zajímavé jsou dva extrémy • konstruktivní interference, kdy vznikne vlna o dvojnásobné amplitudě • destruktivní interference, kdy se vlny navzájem vyruší

15. Stojaté vlnění I • Zvláštním případem je složení vlny se svým odrazem na překážce • Fázový posun zde zohledňuje skutečnosti, že • podle charakteru překážky se může změnit fáze • k odrazu může dojít v různých vzdálenostech

16. Stojaté vlnění II • Za vhodných okolností je vlna stabilní a je prostorově modulována. Existují na ní : • kmitny – místa, kde je maximální rozkmit • uzly – místa, kde se vlny úplně vyruší

17. Skládání vln VII • Složením vln s násobnými frekvencemi je možné aproximovat libovolnouperiodickou vlnu. • Na tomto principu je založena Fourierova analýza.

18. Skládání vln VIII • Ukážeme si například složení pilového kmitu jako součtu :

19. Dopplerův jev I • Pohybuje-li se zdroj vlnění, pozorovatel nebo prostředí, ve kterém se vlnění šíří, dochází ke změně pozorované frekvence. • Popišme pohyb : • zdroje vlnění rychlostí v • příjemce vlnění rychlostí u • prostředí šíření rychlostí w • rychlost šíření c je větší než u, v, w, ale menší než rychlost světlave vakuu • všechny rychlosti ve směru osy +x jsou kladné

20. Dopplerův jev II • Předpokládejme stojícízdroj v počátku a stojícíprostředí(v = w = 0) a pozorovatel(napravo od počátku)sevzdaluje od zdroje rychlostí u > 0. • Jakou frekvenci (výšku tónu) vnímá pozorovatel závisí na počtu vln, které kolem něj projdou za jednotku času. • kdyby byl pozorovatel v klidu :

21. Dopplerův jev III • Když se pozorovatelpohybuje, vlny kolem něj neprochází rychlostí c, ale relativní rychlostí c - u. S použitím předchozího platí : • Pro vzdalujícího se pozorovatele je tedy frekvence nižší, pro přibližujícího se by bylo u záporné a frekvence by byla vyšší.

22. Dopplerův jev IV • Nyní jsou pozorovatel a prostředí v klidu. A zdroj se pohybuje rychlostí v od počátku k pozorovateli. • Během jedné periody T0 vyšle zdroj jednu vlnu. • V momentě, kdy zdroj vysílá konec vlny, je vzdálen od bodu, odkud vysílal začátek o T0v. Začátek se ale dostal do vzdálenosti T0c. Takže vlna se zmačkla do prostoru T0(c-v). Proto : • Pro vzdalující se zdroj je tedy v<0 a frekvence je nižší, pro přibližující se by byla frekvence opět vyšší.

23. Dopplerův jev V • Pohybuje-li se jenprostředí, a to rovnoměrně, přičítá se jeho rychlost w k rychlosti šíření c a pozorovaná frekvence se nemění. • Jsou-li ale nenulové i pohyby pozorovatele nebo zdroje, musí se změněná rychlost šíření vzít v úvahu a lze tedy napsat souhrnný vztah pro všechnymožné vzájemné pohyby :

24. Dopplerův jev VI • Nevýhodou použité konvence je, že kladná rychlost u neznamená automaticky vzdalování. Pouze, je-li větší než v. • Pro správné posouzení, zda se jedná o přibližování nebo vzdalování, je nutné zkoumat rozdílu - v. • Konvence je ale konzistentní s normálními znaménky rychlosti, ale hlavně vztahy vycházejí jednoznačně. • Zajímavá je nesymetrie vůči pohybu zdroje nebo pozorovatele. Ta ale není daná konvencí, ale je skutečná.

25. Dopplerův jev VII • Předpokládejme nulovou rychlost prostředí a rychlosti zdroje nebo pozorovatele zanedbatelné vůči rychlosti šíření. Potom : • tento vztah již symetrický je. • v – u je vzájemná rychlost, kladná při přibližování • platí i pro elektromagnetické vlny (světlo)

26. Příklad – rychlost zvuku I • Pomocí výbuchů v malých hloubkách pod mořskou hladinou byla zjištěna rychlost šíření zvuku c = 1.43 103 m/s. • Jak je stlačena voda v největších hlubinách na Zemi? • Z hustoty mořské vody  = 1.03 103 kgm-3 můžeme určit Kmodul její objemové pružnosti :

27. Příklad – rychlost zvuku II • Součinitel objemové stlačitelnosti tedy je: • Relativnístlačenípři atmosférickém tlaku 105 Patedy je 510-5 a na dně Mariánského příkopu, při tlaku cca 108 Pa je asi 5%. Voda tedy není dokonale nestlačitelná! ^