מתיאוריה לידע מעשי

מתיאוריה לידע מעשי מוגש ע"י גב' צ'ארנה פליקמן, MA מורה למתמטיקה ומחנכת כיתות מחוננים תיכון ע"ש פנחס אילון, חולון

" כל תחום מתמטי, אשר מגיע לרמת התפתחות מסוימת, הופך לכלי חיוני לחקר המציאות הריאלית. " סוקראט "מקצוע המתמטיקה הינו רציני כל כך, שחבל לפספס כל הזדמנות להפוכו למשעשע יותר." בלז פסקל

רקע תיאורטי • הפרויקט מבוסס על רעיונות וגישות של שיטת ה-Renzulli Learning System (RLS): Assessing and Developing Children’s Interests. • שיטת ה-RLS מבוססת על מודל ה- Enrichment Triad Model (1977) של Joseph S. Renzulli, PhD. • המודל נוצר במטרה לעודד רמת לימוד מתקדמת והגברת יצירתיות התוצרים בקרב תלמידים.

מטרה הגברת הישגים והנאה בלימודי מתמטיקה

יעדים • עידוד התלמידים לחקור ולפתח נושאים בתחומי העניין שלהם • העשרה והרחבת אופקים בתחומים שונים • גיבוש של קשב ואמפטיה לזולת • שיחרור לחצים האופייניים לתלמידים מחוננים היעדים הם לימודיים, קוגניטיבים ומטא-קוגניטיבים, התפתחותיים, חינוכיים, רגשיים וחברתים.

כלים • חשיפת תלמידים למגוון תכנים, תחומי עניין ולימוד • פיתוח תובנות של מושגים בסיסיים בכל הרמות • יצירת סביבה המעודדת התפתחות תכונות אישיות של תלמידים • הקניית כלים לחשיבה ביקורתית • מתן אפשרות וצורך לשתף הורים • תיווך פדגוגי בהשגת מסקנות חשובות להשקפת העולם

אוכלוסיית היעד של התוכנית התוכנית מיועדת כיתות מחוננים בחטיבת הביניים. התוכנית מבוססת על תוכנית הלימודים של משרד החינוך והתרבות , והופעלה בכיתה ח'

תיאור התוכנית • לאחר לימוד נושא "חזקות עם מעריך שלם" בכיתה, תלמידים חיזקו והפנימו החומר הנלמדבעבודה קבוצתית ואינדיבידואלית • תלמידי כיתת ח' מחוננים קיבלו משימה: ללמוד לבד "כתיבה מדעית של מספרים גדולים וקטנים" - חומר ליישום הידע הקודם • משימתם – למצוא דוגמאות לשימוש בו בתחומים שונים של מדע • התוצר אמור להיות: חומר לימודי בנושא זה בצורות הגשה שונות (כולל שימושים במולטימדיה) • הצגה פומבית של התוצרים • יישום חומר לימודי הנבנה בכיתות אחרות

סיכום ידע ומיומנויות של תלמידינו הנחוצים ללימוד שיטתי ועקבי של מתמטיקה (לפי מודל של ואן טאסל-באסקה), מאפשר להם לרכוש ידע ומיומנויות חדשים באופן עצמאי ולפי ענייניהם מתוך שימוש במקורות ידע מודרניים.

דוגמאות

מסע בין כוכבים מגיש:תובל פישגרונד מוגש למורה צ'ארנה פליקמן

שיטת המדידה שיטת המדידה שבה משתמשים כיום הינה מסת שמש. מסת שמש נמדדת כ x1030 1.98892ק"ג. אנו מודדים כך מכיוון שהשמש היא מרכז מערכת השמש סול שהיא מערכת השמש שלנו. הסימן המוסכם למסת שמש הוא . נוסחאות נוספות למדידת מסת שמש:

היסטורית המדידה הראשון שהשתמש בחישובו בכוח הכבידה היה הנרי קוונדיש בשנת 1798,במחקרו הוא במאזני פיתול,השימוש במאזני הפיתול עזר לו למצוא את קבוע הכבידה של ניוטון ובעזרת קבוע הכבידה והחוק השני של ניוטון חישב את מסת כדור הארץ. השיטות השונות פותחו מדברים שונים האחת פועלת על פי תורת היחסות הכללית ודרכה אפשר לבטא זמן. את המסה המדויקת של השמש איננו יודעים מכיוון שאיננו יודעים את קבוע הכבידה של השמש לכן אנו מעריכים את מסתה על פי השפעתה הכבידתית על תנועת עצמים אחרים הנמצאים במערכת השמש.

תרגילים • מסת כדור הארץ היא ‎5.98×1024 ק"ג מסת השמש היא 1.99×1030ק"ג ומסת הירח היא 7.36×1022ק"ג.מצא פי כמה :א.כבדה השמש מכדור הארץ ב.כבד כדור הארץ מהירח ג.כבדה השמש מהירח. • הכוכב: חמה נוגה כדור הארץ מאדים צדק שבתאי אורנוס נפטון מסה (1024 ק"ג): 0.33 4.87 5.97 0.642 1899 568 86.8 102 בטא את מסת כל אחד מהכוכבים הנ"ל כפונקציה של מסת השמש.

מקורות • ויקיפדיה • בני גורן - אלגברה חלק ב' • אתר האינטרנט העולמי NASA • Universe today

שם: נועה חן, שקד לנדמן וטלי לייבה. כיתה: ח'4. תאריך: 30.01.2011

שימושים בכתיבת החזקות כדי לבטא מרחקים עצומים באסטרונומיה, בפיזיקה, בגיאוגרפיה ובאוקיינוגרפיה.

שימוש: מרחקים גדולים • בפיזיקה ובאסטרונומיה אנחנו מתמודדים עם מרחקים גדולים מאוד: בין כוכבי לכת וגלקסיות. וגם עם מושגים אחרים: מהירות האור ומהירות הקול. כדי שלא נצטרך לכתוב עשרות פעמים את הספרה '0' כדי לבטא אחד מאלו, נוכל להשתמש בצורת כתיבה אחרת: חזקות.

מרחקים גדולים-המשך • למשל, במקום לכתוב שהמרחק בין כדור הארץ לשמש הוא 150,000,000 ק"מ, נוכל לכתוב את זה בצורה פשוטה יותר: אז איך השיטה הזאת עובדת? בעצם, אפשר לקחת כל מספר "גדול" ולהפוך אותו לתרגיל כזה בדרך הבאה. ניקח את המספר 35,700,000 ונספור כמה ספרות יש לו לא כולל הספרה השמאלית (3). התשובה היא, כמובן, 7 ספרות. עכשיו, נסתכל על הספרות הראשונות שאינן 0: 3,5,7. לפיכך, נוכל לכתוב את המספר גם כך: צורת הרישום הזאת מקלה עלינו כשאנחנו מתמודדים עם מספרים גדולים יותר, בדיוק באופן הזה.

למה הצורך בשימוש גדול כ"כ? • במערכת השמש שלנו, המרחק בין נפטון לשמש הוא בממוצע 453,000,000,000 ק"מ. אבל באסטרונומיה אנחנו יוצאים מהגבולות של מערכת השמש שלנו למרחקים בין מערכות שמש שונות וגלקסיות שונות. לדוגמא, שנת אור שווה 9,460,730,472,580 קילומטר וגלקסיית NGC 1705 נמצאת במרחק של 170 מיליון שנות אור מכדור הארץ.

מרחק שלאדם ממוצע ייקחו 38250000000000000 ( ) שנים ללכת בלי לעצור, תקופת זמן השווה בערך ל-170 פעמים התקופה מאז הדינוזאורים ועד היום! והמרחקים רק הולכים וגדלים.

שימוש II: שטחי אוקיינוסים ומדינות • השטח של רוסיה הוא כ-17075200 קמ"ר. • שטח צפון אמריקה הוא כ-24709000 קמ"ר. • שטח אסיה הוא כ-44614000 קמ"ר. • שטח כדור הארץ הוא 1,083,206,246,123,080,894,852 מ"ר.

שטחי אוקיינוסים ומדינות-המשך • לדוגמא, ניקח את שטח האוקיינוס השקט: 180,000,000,000 דונם. נספור ונראה שאחרי הספרה השמאלית יש במספר 11 ספרות ונציב בתרגיל הבא:

ממה נובע הצורך? • לא רק בחלל, אלא גם בכדור הארץ יש כמה מידות ומרחקים גדולים למדיי. השטחים שהוצגו כאן הם לא היחידים ויש הרבה מקום להשוואות, אי דיוקים ותיקונים. לכן, בגיאוגרפיה החוקרים מתמודדים עם חישובים של שטחים לא קטנים.

בעיות מילוליות בנושא • מערכת השמש: • בNASA עובדים על מעבורת חדשה. מעבורת זו תוכל להגיע מכדור הארץ (בנקודה הקרובה ביותר למאדים) עד למאדים (בנקודה הכי קרובה לכדו"הא) תוך 8 חודשים (חודש אורכו 30 יום). השיגור יתבצע בזווית כזו, שהמרחק שהמעבורת תצטרך לעבור בין כדור הארץ למאדים יהיה זהה למרחק בין מאדים לכדור הארץ כאשר הם על קו ישר מהשמש. נתון שהמרחק בין כדור הארץ לשמש הוא ק"מ. המרחק של מאדים מן השמש גדול פי 1.52 מהמרחק בין כדור הארץ לשמש. חשב: • מהי מהירות המעבורת? (בקמ"ש) • נתון: NASA מתכוונים להמשיך במסע ובמקום שמעבורת תחזור לכדור הארץ, היא תמשיך לנוגה. המרחק בין נוגה לשמש קטן פי מהמרחק בין מאדים לשמש. אחרי 5 חודשים בנוגה המעבורת תחזור לכדור הארץ. בהנחה שבמאדים המעבורת תשהה 4 חודשים. חשב כמה חודשים יעברו מצאת המעבורת מכדור הארץ ועד שובה.

האוקיינוסים: • בNOAA (National Oceanic and Atmosphric Administration) החליטו לעשות מחקר על האוקיינוס השקט. לפי הממצאים, שטח האוקיינוס הוא . עומק האוקיינוסים הממוצע הוא 3800 מטר. • חשב את כמות המים באוקיינוס השקט בקירוב. (חשב במ"ק. נפח גליל הוא שטח העיגול כפול הגובה) • נתון: קילוגרם= מ"ק. גרם זהב יש בטון (1000 קילוגרם) מי ים. חשב כמה זהב (בקילוגרמים) יש באוקיינוס השקט. • יבשות: • שטח מדינת רוסיה הוא קמ"ר בקירוב. שטח יבשת אירופה הוא קמ"ר בקירוב. שטח מדינת ישראל הוא . • פי כמה רוסיה גדולה מישראל? • פי כמה אירופה גדולה מישראל? • ישראל מהווה איזה אחוז מכדור הארץ, אם אירופה מהווה 2% בקירוב משטח כדור הארץ?

תשובות לבעיות המילוליות • תשובות: א) 13,505 קמ"ש ב) 33 חודשים • תשובות: א) 68282 מ"ק מים ב) 136,572 קילוגרם זהב. • תשובות: א) פי ב) פי ג)

שימושים בכתיבת החזקות כדי לבטא יחידות ויצורים קטנטנים במיקרוביולוגיה ובכימיה.

שימוש I:חלקיקי החומר • אטום הוא החלקיק הקטן ביותר שביסוד כימי. הוא קטן עד כדי כך, שקוטרו של אטום ממוצע הוא 0.0000001 מילימטר! יש כ-300,000,000,000,000 אטומים בראש של מחט! • האטום, כידוע, מתחלק לחלקיקים קטנים אפילו יותר: ניוטרונים, אלקטרונים ופרוטונים. ואלה, מתחלקים לחלקיקים קטנים אפילו יותר: קווארקים!

חלקיקיהחומר-המשך • קוטר פרוטון הוא 0.000000000001 מילמיטר. • קוטר אלקטרון הוא פחות מ: 0.000000000000001 מילימטר. • קוטר נויטרון הוא 0.000000000001 מילימטר. את קוטר הקווארק אפילו לא הצליחו לחשב, שום שהגדלים משתנים מקווארק לקווארק והם קטנים מידי, אך הוא קטן אפילו מאלקטרון.

רישוםהמספריםהקטנים • אז איך נוכל להקל על הרישום של המספרים הקטנים האלה שאנחנו נאלצים לבטא במדעים השונים? ניקח לדוגמא אטום מסוים שהרדיוס שלו 0.0000000056 ס"מ. נספור כמה אפסים יש משמאל לספרה השמאלית ביותר שאיננה אפס:6. התשובה היא, כמובן, 8 אפסים. הנגדי של מספר האפסים יהיה מעריך החזקה שבסיסה 10, כלומר, במקרה הזה המעריך הוא: 8-. לפיכך, נוכל לכתוב את המספר גם באופן הבא: . לפי חוקי החזקות, התרגיל מבטא בעצם:

שימוש II: התאים בחי • זוהי תמונה של תא דם. בפועל, הוא שוקל כ-1 ננוגרם=0.000000000001 קילוגרם. הקוטר שלו הוא 0.000003 ס"מ. • זוהי תמונה של גרעין תא. בפועל, הקוטר שלו הוא 0.000001 מ'.

התאים בחי-המשך • בגוף האדם יש בממוצע בין 75,000,000,000,000 תאים! התאים, הם אלה שמרכיבים איתנו ומנהלים את המערכות בגופינו כך שנוכל לחיות והם אחת הצורות החשובות ביותר בביולוגיה ובמיקרוביולוגיה.

אזאיךמחשבים? • בדיוק כמו עם האטומים, את גודל התאים ממירים לתרגילים פשוטים יותר עם חזקות באותו האופן. ניקח תא שריר שקוטרו 0.0000007 סנטימטר. כמה אפסים יש משמאל לספרה השמאלית ביותר שאינה אפס? 7 אפסים, כמובן. אם כך, נבנה את התרגיל:

בעיות מילוליות בנושא • תאים בגוף האדם: • תא דם שוקל 0.000000000001 ק"ג ותא שריר שוקל 0.000000000005 ק"ג. • כתוב את משקל תא דם אדום בגרמים בכתיב עם חזקות. • כתוב את משקל תא שריר בגרמים בכתיב עם חזקות. • פי כמה ובכמה גדול תא שריר מתא דם? • אטומים: • אטום ממוצע, קוטרו 0.0000001 מילימטר. בראש מחט מתכת אחת יש כ-300,000,000,000,000 אטומים נפרדים. קוטר פרוטון הוא 0.000000000001 וקוטר ניוטרון הוא 0.000000000001. • כתוב את הקטרים השונים בכתיב חזקות. • כתוב את מספר האטומים בראש מחט בכתיב חזקות. • פי כמה גדול קוטר האטום מקוטר הניוטרון או הפרוטון? • האם גודל זה יכול להעיד על כמות הפרוטונים/ניוטרונים שבאטום?

פתרונות לבעיות • תשובות:א) ב) ג) פי 5 וב . • תשובות: א) אטום – , פרוטון וניוטרון – ב) ג) פי מאה אלף ד)לא, כי האטום אינו כדור מלא, אלא חללי ריק ממלאים חלק מנפחו.

מתיאוריה לידע מעשי