Matematika

1. Matematika Számok, számítások

2. Egyiptomi számrendszer Tízes számrendszer. Minden tíz hatványnak külön írásjele van. Ezeket többszörözik. Később a hieratikus írásnál külön számjegyek, amelyek helyiértéktől függően néznek ki.

3. Egyiptomi számtan • Csak egység számlálójú törteket használtak (kivéve 2/3és 3/4). A többi törtet ilyenek összegeként írták fel. Pl.: 1/5 duplája az 1/3+1/15-öt. Ezek a felbontások nehéz feladatok, táblázatokat használtak. • Szorzást kettőzéssel végezték el. 12*12 = 8*12+4*12 (időnként kiegészítették tízszerezéssel és felezéssel). Osztást is így végezték.

4. Rhind papirusz 26. feladata • Egy mennyiség, ¼-ét hozzáadjuk. 15 lesz. • Számolj 4-től. Kiszámolod ¼-ét: 1. • Összesen 5. • Számolj 5-től, hogy 15-öt találj. • 1 5 • 2 10 • 3 az eredmény • Számolj 3-tól, 4-szer. • 1 3 • 2 6 • 4 12 • 12 az eredmény

5. A mennyiség 12. ¼-e: 3. Összeg: 15. • 1 12 • ¼ 3 • Összesen 15 • Mint látható ellenőrzés is tartozik a feladathoz. • Nincsenek megfogalmazva az algoritmusok, hanem példákon keresztül tanulják meg.

6. A feladat módszerei • Az algoritmus itt az volt, hogy egy rossz megoldásból kiindulunk. Ez gyakori trükk az ókori számtanban. Kipróbálták 4-re, majd megnézték, hogy mennyivel kell megszorozni 4-et, hogy a jó eredményt kapják. • A műveleteknek standard szöveges alakjai vannak. Pl.: „számolj N-től, M-szer” a szorzás. „Számolj N-től, hogy M-et találj” az osztás. • A számolási technikákat is leírja a nehezebb részeknél, de nem mindenhol. Például a 4 negyedének a kiszámolását nem részletezi.

7. Mezopotámiai számrendszer Függőleges ékek egyesek Vízszintes „csőrök” tízesek 60-as és 10-es számrendszer keveréke Helyiértékes számrendszer: Nulláknak üres hely, de a szám végén nincs.

8. Nulla és a törtek • A szeleukida korban már van írásjel a nullának: az, ami a mondat végét is jelenti, vagyis a pont. De még mindig nincs a szám végén nulla. Az előző 743 lehetne akár 12*3600+23*60 is. • A törteket is ugyanúgy írták. Vagyis a 743 lehetne akár 12+23/60-ad is, vagy 12/60+23/3600. A törteknek azonban külön írásjelei is voltak, és a végeredményben gyakran ezt használták.

9. A csillagászati táblázatokkal együtt átvették az indiaiak és a görögök is, innen a szögperc és szögmásodperc átváltás. Ennek hatására alakult ki a mi helyiértékes számrendszerünk is. Még Kopernikusz is használt teljesen szexagezimális számrendszert, az egészekre is. (Ptolemaiosz csak a törtekre). • Mezopotámiában is volt más írásmód, például „2 me 25” vagyis „2 száz 25” egy tábla keltezésénél.

10. Matematikai táblázatok • Matematikai szövegek két korszakból maradtak ránk: i.e.18. sz. az óbabiloni korból, és a szeleukida korból (Nagy Sándor után, i.e.3. századtól az i.e.1. századig). • Nagyjából kétszáz táblányi táblázat, legtöbbjük Nippurból. • Feladatszövegekből száz tábla. • Osztó-, szorzó- és reciproktáblázatok

11. 1. Feladat

12. 2. Feladat

13. Mezopotámiai algoritmusok • Táblázatok mellett számoltak is, pl.: 7/20 kiszámításához vették a 20 reciprokát (3/60) majd beszorozták 7-tel: 21/60 Gyök közelítő algoritmus x’=1/2(x+a/x) képlettel írjuk le ma (x’ az új közelítés, x az előző, és a-ból vonunk gyököt. Volt algoritmusuk pitagoraszi számhármasok előállítására is.

14. Magasabb fokú egyenletek bizonyos fajtáira algoritmusok. • Hatvány számítások • Az algoritmusok absztraktak: akkor is elvégezték a szorzást, ha a szorzótényező 1 volt, mert az algoritmus így szól.

15. Kínai számok • Jelölt tizedes számrendszer, a mai napig. • -2. században a már korábban is használt számlálópálcikák hatására átalakultak a számjegyek. Tízes számrendszer. • Mértékrendszer egységesítéssel próbálkoznak, tízes alapú váltással, hogy könnyen lehessen számolni. • Tizedes törtek megjelennek a 3. században. Ezek is azt segítik, hogy az egészeknél bevált algoritmusokat használva kellő pontosság elérhető legyen. Európába is innen került át szamarkandi közvetítéssel. • Kézjelek tízig egy kézen.

16. Lo Shu - Bűvös négyzet • Teknős hátán jelent meg Yü-nek. • Yi-jingben szerepel • Lehet, hogy köze van a kút földrendszerhez? • 8 család műveli a földet • a középső parcella az áldozati adó gabona

17. Számlálótáblaés számlálópálcák • Számlálópálcákkal számjegyenként rakják ki a számot, és minden helyiérték el van forgatva az előzőhöz képest, hogy ne legyen félreérthető. Lényegében százas számrendszer az eredmény. • Számlálótábla négyzetrácsos, a számok leírása egyszerű, 0-nál üres négyzet van. Műveletek elvégzését segíti, hasonlóan ahhoz, amikor mi négyzethálós papíron összeadunk, kivonunk, szorzunk.

18. π • Gyakorlatban 3-mal számoltak. • Egy időben, akár egy szövegben, eltérő értékek használata. • Liu Hui a 3. században 192 oldalú szabályos sokszöggel közelítette a π-t. 3.14 • Az 5. században pedig 24576 oldalú szabályos sokszöggel 3.1415926-ot kaptak.

19. Suan Jing • -250 körül született a „Matematika kilenc fejezetben”, de később többször átdolgozták. Legfontosabb Liu Hui, a 3. századból, aki egy tizedik könyvet csatolt hozzá. • 246 feladatot tartalmaz, mind „szöveges feladat”, kérdésből, válaszból, és a számolás módjából áll. Bizonyítás természetesen nincs. • Hivatalnokok vizsgatankönyve, ezért a gyakorlatban használható feladatokat eljárásokat tanítja.

20. Szöveges feladatok vannak természetesen. • „Egy mező szélessége 1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8 bu. A mező területe 1 mu. Mekkora a hosszúság?” • Vannak egyértelműen csak a matematikáról szóló feladatok: • „3+1/3 ember között kell szétosztani 6+1/3+3/4 pénzérmét. Kérdés: Mennyit kapnak egyenként?”

21. Feladat megoldás • 5 pénzt kell elosztani 5 ember közt úgy, hogy a részek egy számtani sorozat szomszédos elemei legyenek, és az első két ember összesen ugyanannyit kapjon, mint a többi három összesen. • Oldjuk meg ezt a feladatot!

22. Kínai módszer: rakjunk ki egyesekből a számlálótáblára egy ötös piramist. • Az első két sor összege 9, az utolsó háromé 6, ez nem jó, javítsuk ki. • Ha minden sorhoz 3-at adunk akkor 15 lesz az első kettő és az utolsó három összege. • Most az összeg viszont harminc, nekünk viszont öt kell, osszuk le mindegyiket hattal.

23. Suan Jing • A 8. fejezetben fang-zheng szabály, amely determináns segítségével old meg lineáris egyenletrendszereket. A determináns felírás megegyezik a számlálótáblás felírással. Európában csak a 17. században jelenik meg Leibnitznél a determináns és a mátrix. • A 9. fejezetben Pitagoraszi számhármasokat előállító „algoritmus” • Másodfokú egyenletet hasonlóan oldották meg, mint ahogy mi most.

24. Kínai matematikusok • A hivatalnokok tankönyveit ismerjük, de azokról, akik kifejlesztették az ott tanított algoritmusokat keveset. Matematikusokról csak későbbről maradtak fent anyagaink. • A csillagászatnál használt matematikával csak a asztrológiai hivatal foglalkozott. • A kínai matematikusok egyedül dolgoztak, hobbiból, eredményeik gyakran elfelejtődtek, kevés forrás maradt meg.

25. Maradékszámítás nagyon fejlett. Főleg naptár számítás motiválhatta. Kínai maradék tétel név még a mi gimnáziumunkba is eljutott, de igazából sok sok tételt lehetne kínainak hívni. • Qin Jiushao (1247) általános megoldást ír le a kongruenciás egyenletekre, még arra az esetre is, amikor nem relatív prímek.

26. Magasabb fokú egyenletek megoldási algoritmusa, amely megegyezik az 1819-es Horner formulával. Az előbb említett Qin Jiushao például tizedfokú polinom gyökét állítja elő. • Többismeretlenes egyenleteket is magasabb fokú polinomra alakítottak át. • Wang Xiaodong már a 7. század, harmad- és negyedfokú egyenleteket old meg. Nála jelent meg a számtani sorozat összegképlete az arányosság helyett.

27. További eredmények • Zhu Shijie (1299) Pascal háromszög. • Yang Hui (1261, 1275) binomiális együttható. • Másodfokú egyenletek elméletét fejti ki. Magyarázatokat hiányolja a régi kínai matematikusoknál. • Páratlan számok összegképletét megadja, négyzetszámok, háromszögszámok összegképletét nála is megtaláljuk, de korábbi.

28. Indiai számok • Első emlékek -3. századból, Asóka idejéből származnak (Indiában az írás későn terjedt el). Ekkor rögtön két számrendszerük van: egy mezopotámiai eredetű és egy bráhmi. • Bráhmi írás szemjegyeiből alakult ki az indiai, abból az arab, abból pedig a mi „arab” számjegyeink.

29. Árjabhatta (az első név szerint ismert hindu matematikus, 5. sz.) betűkkel jelöli a számokat. • A mássalhangzók a számok, a magánhangzók a helyiértéket jelölik, de százasával. Mintha az „a” jelölné az egyeseket és tizeseket, az „i” a százasokat és ezreseket. Tehát (latin abc-re átírva) bada =13, fi = 400. • Kínaira hasonlít, és a százas csoportosítás, és az jobbról balra írás is kínai eredetre utal.

30. Tanítványa Bhászkara (i.sz. 520) már elhagyta a helyiérték jelölőket, és betűk helyett a bráhmi számjegyeket használta. Két évtized múlva fordították meg a balról jobbra irányba a számokat. • A nullát jelentő szunja szó már létezett, de jelölését vagy a görögöktől (hatvanas számrendszert használó Szaszanidáktól) vagy a kínaiaktól vették át. • Így állt össze, a mi általunk is használt tízes alapú, helyiértékes, nullával rendelkező számírás.

31. Matematikai könyvek • Indiai matematika két fő mozgatója az áldozati oltár kimérésének feladata, és a csillagászati számítások elvégzése volt. • Szulvaszútra, avagy a mérőzsinór szútrája (-5. század körül keletkezett). Derékszög kijelölésére használható kötélhosszak (vagyis pitagoraszi számhármasok), szerkesztési feladatok találhatóak benne.

32. Matematikai könyvek • Szúrja sziddhánta: a nap rendszere (i.sz. 3. század, de van aki i.e.2. századra datálja, van aki i.sz.8.-ra) sok görög, mezopotámiai, esetleg kínai hatás ismerhető fel benne. Ptolemaiosz almagesztjére sok részlete emlékeztet. Itt jelenik meg a szinusz ma ismert formájában (Ptolemaiosz még húrok hosszát, és nem a félhúrokat írta fel). • Hindu „jiva” húr szót arabok „jibá”-nak fordították, de sémi nyelv lévén nem jelölték a magánhangzókat, tehát „jb”-t írtak. A latinra elfordítótták, „jaib”-nak olvasták, ami öblöt jelent. Így lett szinusz, ami latinul ölt, öblöt jelent. Magyarítva pedig kebel lett (koszinuszból pedig pótkebel).

33. Árjabhatta • Legtöbb könyv vegyes tartalmú, nem csak matematika van bennük. • Matematikai tartalmuk is vegyes. • Árjabhatta (500 körül) • négyzet és köbvonás • Terület és térfogatszámítás • Számtani sorozatok, kamatszámítás • Másodfokú egyenlet megoldása • Gömbi trigonometria • Felváltva használ pontos és közelítő értékeket.

34. Brahmagupta (598-660) • Verses formában írt (mint a többiek is), 20 kötetet, amiből 12 matematika tárgyú. • Elsőként ismerteti részletesen előjeles műveletek szabályait (vagyonnak illetve adósságnak nevezve őket) • Nála 0:0=0, és voltak 0 nevezőjű törtek is. • A diophantoszi egyenletek általános megoldását kidolgozta. • A másodfokú diophantoszi egyenlet megoldását Ácsárja Bhászkara oldotta meg a 12. században.

35. Ácsarja Bhászkara • Leánya a legenda szerint férj nélkül maradt, és neki írta Lilávati című matematika könyvét. • Egy feladat innen: az oszlop tetején páva ül, az oszlop tövében egy kígyó lakik. A kígyó jön haza,mikor is a páva megpillantja háromszor olyan messzire, mint az oszlop magassága. A páva egyenes vonalban lecsapott a kígyóra, mielőtt az beért volna az odvába és elkapta. Ha a páva és a kígyó ugyanolyan gyorsak, milyen messze voltak az oszlop tövétől a találkozás pillanatában?

36. Bizonyítás hiánya • A bizonyítás igénye görög jellegzetesség. • Máshol a tekintélyelv uralkodik: adott az eljárás, így kell csinálni Egyiptomban például Thottnak, a tudományok istenének tulajdonították az algoritmusokat. • Görögöknél lehet, hogy a demokrácia hatására jelent meg a logika, a retorika és a bizonyítás. • Demonstráció megmutatást jelentett a görögöknél.

37. Görögöknél pont a bizonyíthatóság adja a matematika tekintélyét. • Kínában a leghíresebb matematika könyv a Suan Jing (kilenc fejezetes könyv). -250 körüli. • Ez a könyv a hivatalnokok vizsgakönyve, ezért gyakorlati élethez kapcsolódó példákat tartalmaz. • Liu Hui (+2. sz.) bizonyítja egyes algoritmusait a Suan Jingnek.