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變異數分析

變異數分析. Analysis of Variance(ANOVA). 單因子變異數分析 (One-way ANOVA). 1 個（與 t 檢定相似）有兩組以上之組別，為獨立樣本 t 檢定之延伸。 例如：教學策略 1 、 2 、 3 對學生成績的影響 Ho ：教學策略 1 、 2 、 3 並不會造成學生成績之差異，即. Ho ： μi..'s all equal Ha ： at least one pair of μi..'s not equal.

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變異數分析

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Presentation Transcript

  1. 變異數分析 Analysis of Variance(ANOVA)

  2. 單因子變異數分析(One-way ANOVA) • 1個（與 t 檢定相似）有兩組以上之組別，為獨立樣本 t 檢定之延伸。 • 例如：教學策略1、2、3對學生成績的影響 Ho：教學策略1、2、3並不會造成學生成績之差異，即

  3. Ho：μi..'s all equalHa：at least one pair of μi..'s not equal ANOVA方法是透過對變異數的分析來同時檢定k個母體之平均數 i，i = 1, 2, …, k是否相等。即檢定，H0：1 = 2 =…= k，H1：至少有二平均數不等。

  4. t-test • Treatment(K=3) • Ho:μ1＝μ2 Ha:μ1≠μ2 1-α=0.95 • Ho:μ1＝μ3 Ha:μ1≠μ3 1-α=0.95 (1-α)3=0.857 • Ho:μ2＝μ3 Ha:μ2≠μ3 1-α=0.95 • Type I error:α=1-0.857=0.143 • 三個以上Treatment(K) Type I error:α=1-(0.95)2CK＞0.05

  5. 變異數分析的意義、原理 變異數分析的意義 統計學家R.A. Fisher（1890～1962）首創變異數分析（Analysis of Variance，ANOVA），在相同的顯著水準下，同時（simultaneously）檢定k個母體平均數是否相等的方法，謂之。 一因子ANOVA（one-way ANOVA）：以一個解釋變數來解釋反應變數變異來源的一種分析方法。 二因子ANOVA（two-way ANOVA）：以兩個解釋變數來解釋反應變數變異來源的一種分析方法。 多因子ANOVA：按兩個以上因子分類分析。

  6. 變異數分析的基本概念 • 變異數分析的基本假設： • 每個處理水準(即依實驗因子的準分組之各組樣本資料) 的母體，均為常態分配。 • 每個處理水準的母體之變異數相等。 • 抽自各母體的各組隨機樣本互為獨立。 • 實驗結果的變異可區分為實驗因子所造成的變異，加上實驗因子以外的因素所造成的變異。

  7. 單因子變異數分析基本觀念 • 總變異(sum of squares due to total,SSt) ：混合後資料的變異。 • 處理間變異(sum of square between treatment, SSb ) • 處理內變異 (sum of square due to error,SSE; sum of square within treatment; SSw) • 總變異=處理間變異+處理內變異 SS (sum of square): 平方和

  8. 總變異量的概念 SS總變異量Total SS組內Error SS組間Between

  9. 單因子變異數分析表

  10. F分配

  11. F分配 α >0.05 接受Ho α <0.05 接受Ha α=0.05

  12. MSB SSB = = MSB F - k 1 MSE SSE = MSE - k ( n 1 ) 10-4 完全隨機的變異數分析 • 變異數分析(摘要)表： • 實驗因子有 k 個水準處理，每個處理之實驗單位相同(即分為 k 組，每組樣本大小n 相等)： 獨立樣本單因子變異數分析表 ( 樣本大小相同 )

  13. k k å å - - n n 1 k i i = = i i 1 1 MSB SSB = F = MSB - k 1 MSE SSE = MSE k å - n k i = i 1 10-4 完全隨機的變異數分析 • 變異數分析表： • 實驗因子有 k 個水準處理，每個處理之實驗單位不同(即分為k 組，每組樣本大小n 不同)： 獨立樣本單因子變異數分析表 (樣本大小不等)

  14. 二因子變異數分析

  15. 二因子變異數分析 • 假設兩因子間無互動關係存在 • 隨機區集設計 • 區集因子無法控制 • 兩因子完全隨機設計 • 可根據實驗單位的地點特性或某些固定因素而將之歸入不同的區集(區集因子可控制) • 兩因子間考慮互動關係 • 互動之二因素變異數分析(重覆二因子變異數分析)

  16. 隨機區集設計(pH值&照度)與兩因子完全隨機設計(課程&教學方式)隨機區集設計(pH值&照度)與兩因子完全隨機設計(課程&教學方式)

  17. 隨機區集設計與兩因子完全隨機設計模型 • Yij=μ+αi+j+εij • 處理變數之假設 • H0(Treatment)：α1=α2=…=αm=0 • H1(Treatment)：αi不全為0 • 區集因子之假設 • H0(Block)：1=2=…=n=0 • H1(Block)：j不全為0 • SSTotal=SSTreatment+SSBlock+SSE • SSTreatment=n∑(Ti-Y)2 • SSBlock=m∑(Bj-Y)2 • SSE=SST-SSTreatment-SSBlock

  18. 二因子變異數分析表： • 實驗因子有 k個水準處理及b個區集設計： 獨立樣本二因子變異數分析表(無重複試驗)

  19. MSTreatment FTreatment= MSE SSTreatment/(k-1) = SSE/(k-1)(b-1) If FTreatment≦Fα，接受H0(Treatment) FTreatment>Fα，拒絶H0(Treatment) 隨機區集設計與兩因子完全隨機設計模型 • H0(Treatment)：α1=α2=…=αk • H1(Treatment)：αi不全相等(至少有一不相等)

  20. MSBlock FBlock= MSE SSBlock/(b-1) = SSE/(k-1)(b-1) If FBlock≦Fα，接受H0(Block) FBlock>Fα，拒絶H0(Block) 隨機區集設計與兩因子完全隨機設計模型 • H0(Block)：1=2=…=b • H1(Block)：j不全相等(至少有一不相等)

  21. 互動之二因子變異數分析(重覆二因子變異數分析)互動之二因子變異數分析(重覆二因子變異數分析)

  22. 互動之二因子變異數分析(重覆二因子變異數分析)互動之二因子變異數分析(重覆二因子變異數分析) • Yijk=μ+αi+j+(α)ij+εijk • 處理變數之假設 • H0(Treatment)：α1=α2=…=αk=0 • H1(Treatment)：αi不全為0 • 區集因子之假設 • H0(Block)：1=2=…=b=0 • H1(Block)：j不全為0 • 交互作用之假設 • H0(no interaction)：(α)11=(α)12=…(α)kb=0 • H1(interaction)：(α)ij不全為0

  23. 二因子變異數分析表： • 實驗因子有 k個水準處理、b個區集設計及n次重複試驗： 獨立樣本二因子變異數分析表(重複試驗)

  24. 三因子變異數分析 • Three-way ANOVA, 3 IV, 1 DV

  25. 多重比較(事後檢定) • 在ANOVA分析裡，有三組（含）以上之組別接受不同的自變項（IV）的處理，但是ANOVA的結果只能解釋這三組（以上）之間『有無差異』，而無法解釋『兩組間的差異』。 • 事後比較：當變異數分析的F值達到顯著水準後才須尋找到底哪些對平均數之間有顯著差異。

  26. c b b a b a a a

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