CHƯƠNG III : NGUYÊN HÀM –TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

1. CHƯƠNG III : NGUYÊN HÀM –TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG §2 :Tích phân

2. I - KHÁI NiỆM TÍCH PHÂN 1. Diện tích hình thang cong : Kí hiệu T là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng y = 2x + 1 , trục hoành và 2 đường thẳng x = 1 , x = t ( 1  t  5) . Hình vẽ 1. Tính diện tích S của hình T khi t = 5 y y 11 y = 2 x + 1 y = 2 x + 1 S 3 3 S(t) 1 1 O 1 t 5 x O 1 t 5 x 2. Tính diện tích S(t) của hình T khi t  [1 ; 5] 3. Chứng minh rằng S(t) là một nguyên hàm của f(t) = 2t + 1 với t  [1 ; 5] và diện tích S = S(5) - S(1)

3. Giải : 1. Tính diện tích S của hình T khi t = 5 y Diện tích S là: y = 2 x + 1 2. Tính diện tích S(t) của hình T khi t  [1 ; 5] 2t + 1 Diện tích S(t) là : 3 • Chứng minh rằng S(t) là một nguyên hàm của • f(t) = 2t + 1 với t  [1 ; 5] và diện tích S = S(5) - S(1) S(t) 1 Chứng minh : Xét S’(t) = (t2 + t - 2 ) ’ = 2 t + 1 = f(t) O 1 t 5 x Vậy có : Xét diện tích : S(5) = 7.4 và S(1) = 3.0 = 0 Vậy S = S(5) - S(1) = 28

4. Cho hàm số y = f(x) liên tục , không đổi dấu trên đoạn [a ; b] . Hình phẳng giới hạn bởi : Đồ thị hàm số y = f(x) , trục hoành , và hai đường thẳng x = a ; x = b được gọi là hình thang cong Bây giờ xét một đường cong kín bất kỳ Hình D thì ta chia hình đó (hình vẽ) y f(b) y = f(x) f(a) O a b x Bằng cách kẻ các đường thẳng song song với các trục tọa độ , chia D thành những hình thang cong .Dẫn đến tính diện tích các hình thang cong .

5. Ví dụ 1 : Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đường cong y = x2 , trục hoành và các đường thẳng x = 0 ; x = 1 Giải : Với mỗi x  [0 ; 1] Gọi S(x) là diện tích của phần hình thang cong đã cho nằm giữa 2 đường thẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ 0 và x . Ta chứng minh : S’(x) = x 2 x[0;1] y y 1 1 y = x2 y = x2 F E Q P S(x) 1 M N x O 1 x x x+h O x Thật vậy với h > 0 , x + h < 1 và kí hiệu : SMNPQ và SMNEF là diện tích các hình chữ nhật MNPQ và MNEF . Ta có SMNPQ S(x+h) - S(x)  SMNEF hay hx2  S(x+h) - S(x)  h(x+h)2 Vậy có : Và với h < 0 ; x +h > 0 . Tính toán tương tự cũng có Tóm lại với mọi h ≠ 0 thì : Suy ra : Cũng có S’(0) = 0 ; S’(1) = 1

6. Do đó S(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x2 trên đoạn [0 ; 1] . Mặt khác trên đọan đó F(x) = Cũng là một nguyên hàm của f(x) = x2 nên Với giả thiết S(0) = 0 nên suy ra C = 0 . Vậy : Thay x = 1 vào ta có : diện tích cần tìm là : S(1) = Bây giờ xét một đường cong bất kỳ , biễu diễn bằng (hình vẽ) Kí hiệu : S(x) là diện tích hình thang cong . Ta chứng minh được : S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a ; b] y f(b) Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì có hằng số C Sao cho : S(x) = F(x) + C y = f(x) Vì S(a) = 0 nên F(a) + C = 0 hay C = - F(a) f(a) Vậy S(x) = F(x) – F(a) S(x) Thay x = b vào có : S(b) = F(b) – F(a) O a x b x

7. 2. Định nghĩa tích phân : Giả sử f(x) là hàm liên tục trên đoạn [a ; b] . F(x) và G(x) là hai nguyên hàm của f(x) . Chứng minh rằng F(b) – F(a) = G(b) – G(a) tức là hiệu số F(b) – F(a) không phụ thuộc việc chọn nguyên hàm ) Định nghĩa : Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a ; b] . Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đọan [a ; b] . Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b ( hay gọi là tích phân xác định trên đoạn [a ; b] của hàm số f(x)) . Kí hiệu là : là dấu tích phân , a là cận dưới , b là cận trên Ta gọi f(x) dx là biểu thức dưới dấu tích phân và f(x) là hàm số dưới dấu tích phân . Chú ý : Trong trường hợp a = b hay a > b , ta quy ước :

8. Ví dụ 2 : Tính : Nhận xét : a) Tích phân chỉ phụ thuộc vào f và các cận a , b ; không phụ thuộc vào biến số x . : b) Ý nghĩa hình học của tích phân : Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a ; b] , thì tích phân là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị f(x) , trục Ox và hai đường x = a ; x = b . Vậy

9. II - TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN Tính chất 1 : ( k là hằng số ) Tính chất 2 : Tự chứng minh các tính chất này : Ví dụ 3 : Tính : Giải : Ta có :

10. Tính chất 3 : ( a < c < b ) Chứng minh : Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a ; b] . Khi đó , F(x) cũng là một nguyên hàm của f(x) trên mỗi đoạn [a ; c} và [c ; b] Do đó ta có : Ví dụ 4 : Tính : Ta có : Giải : Vì : nên :

11. II I- PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1. Phương pháp đổi biến số : Cho tích phân : a) Tìm I bằng cách khai triển (2x + 1) 2 b) Đặt u = 2x + 1 . Biến đổi biểu thức (2x + 1) 2 dx thành g(u).du c) Tính và so sánh kết quả của I trong câu 1. Giải : a) Tìm I bằng cách khai triển (2x + 1) 2 b) Đặt u = 2x + 1 . Biến đổi biểu thức (2x + 1) 2 dx thành g(u).du Ta có : Vậy : c) Tính Ta có : u(0) = 1 ; u(1) = 3 nên

12. Định lý : Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a ; b] . Giả sử x =  (t) có đạo hàm liên tục trên đoan [ ; ] sao cho  () = a ;  () = b và a  (t)  b với mọi t  [ ; ] Khi đó : Ví dụ 5 : Tính : Giải : Đặt : x = tan t  Ta có Khi x = 0 thì t = 0 ; khi x = 1 thì t = Do đó Chú ý : Trong nhiều trường hợp còn dùng phép đổi biến số dạng sau : Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] . Để tính đôi khi chọn hàm số U = u(x) làm biến số mới , trong đó trên đoạn [a ; b] , u(x) có đạo hàm liên tục trên u(x)  [ ; ] . Giả sử có thể viết : f(x) = g(u(x)).u’(x) với x  [a ; b]n , g(u) liên tục trên đoan [ ; ] . Khi đó có :

13. Ví dụ 6 : Tính : Giải : Đặt : u = sin x  u’ = cos x Khi x= 0 thì u(0) = 0 ; khi x = thì Vậy Ví dụ 7 : Tính : Giải : Đặt : u = 1 + x2 u’ = 2x ; u(0) = 1 ; u(1) = 2 nên có :

14. 2. Phương pháp tính tích phân từng phần : a) Hãy tính bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần b) Từ đó tính Giải : a) Hãy tính Đặt : u = x + 1  du = dx nên dv = ex dx  v = ex b) Từ đó tính Từ a) có : Định lý : Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a ; b] . Thì : hay

15. Ví dụ 8 : Tính : Giải : Đặt : u = x và dv = sin x.dx  du = d x và v = - cos x Vậy có : Ví dụ 9 : Tính : Giải : Đặt : u = lnx và Có nên

16. NEWTON-LEIBNITZ