Capacity Planning in Hospitals

1. Capacity Planning in Hospitals מציגות: נועה הלוי יוליה צייטלין בהנחיותו של פרופ' אבישי מנדלבאום

2. Agenda • Introduction to capacity planning in hospitals • How many hospital beds? • How many doctors/ nurses?

3. מבוא לתכנון וניהול הקיבולת בבתי חולים Linda V. Green, “Capacity Planning and Management in Hospitals”, OperationsResearch and Health Care, (Brandeau et al editors), Kluwer, 2004.

4. רקע על בתי חולים • לאורך השנים השתמשו בתי החולים בהמצאות וחידושים לצורך שיפור התהליך הרפואי. דבר זה גם צמצם את זמן שהיית המטופלים בבתי החולים. • עם זאת מבחינה ניהולית ואירגונית בתי החולים מלאים בעיכובים, איחורים, קביעת תורים מחדש וכדומה. • חולים יכולים להיות ממוקמים במיטה הלא נכונה ולעבור מליון פעם בין מחלקה למחלקה.

5. רקע על בתי חולים - המשך • חוסר יעילות זה נובע בשורשים של הסביבה הכלכלית בה בתי החולים שהו עד אמצע שנות ה-80. בתי חולים בארה"ב מומנו על פי תשלום פר טיפול. הממשלה סיבסדה הרבה מהבזבוזים של המערכת וכך היא יכלה להמשיך להתקיים. • היום קטנות הסובסידות של מערכת הרפואה ומנהלי בתי חולים נימצאים תחת לחץ לקצץ עלויות. • לכן חשוב שנמצא שיטות לארגן את המערכת ביתר יעילות ובאופן שיטתי.

6. חלוקת כספי ביטוח הבריאות בשנת 1999

7. סקירה כללית על תכנון קיבולת בבתי חולים • האמד המשמעותי ביותר לקיבולת בית חולים הוא מספר המיטות התפוסות על ידי חולים. באופן מסורתי אמד זה נקבע על סמך מטרת נצילות. • באופן הסטורי מטרת הנצילות היתה בבתי חולים 85% כאשר במחלקות בהן משתמשים בציוד יקר רמת הניצולת אפילו גבוהה יותר. • המרכיב השני המשמעותי בבתי חולים זה אחיות. הן מספקות השירות העיקריות ומשמעותן לעתיד החולה ולתוצאות האישפוז קריטיות. • מספר האחיות לחולה אמור לנוע לפי הסטנדרטים בין 8:1 לבין 1:1 במחלקות טיפול נמרץ. הרבה עבודות נעשו בנוגע לשיבוץ אחיות אך לבתי חולים חסר מידע הנחוץ לשיבוץ כזה.

8. סקירה כללית על תכנון קיבולת בבתי חולים - המשך • מרכיב רביעי בבתי חולים הוא חדרי טיפול כמו למשל חדרי ניתוח. חדרי הניתוח הם פעמים רבות צווארי הבקבוק במערכת וחשוב לנצלם באופן יעיל. • מכשירי אבחון ובדיקה הם מרכיב חמישי. הפעלתן של מכונות אלו יקרה ביותר ולכן מנסים להגיע איתן לניצולת של 100%. • בנוסף יש הקצאת רופאים ושאר הצוות הרפואי כמו גם הקצאת אמבולנסים, שגם על זה נעשו עבודות.

9. דוגמא של חדר מיון (ED) • לפני שאנו צועקים על עומס יתר בחדרי מיון כדאי לבדוק מה באמת הולך שם: • רבים מאלו שמגיעים למיון הם מטופלים לא דחופים "non-urgent" שלא יפגעו מעיכובים משמעותיים. • עם זאת מרבית המטופלים הם “emergent” הזקוקים לטיפול מידי או "urgent" הזקוקים לטיפול תוך פרק זמן קצר. • בתוך הגדרות כלליות אלו יש מגוון רחב של בעיות, מחלות ופציעות בהם צריך לטפל. • בניגוד למרכז טלפוני, במיון אין סטנדרטים לעמידה סבירה בתור.

10. דוגמא של חדר מיון (ED)– המשך • התהליך במיון כולל פגישה עם אחות הקובעת את מידת החומרה של כל מקרה. אחרי האחות רואים רופא, אם זה רופא מומחה מיוחד צריך לחכות הרבה זמן כי הוא לא מסתובב במיון. אחרי הרופא יש צורך בבדיקות בדרך כלל. כדי להעביר את החולה לבדיקות צריך "בחורים", צוות העברה. • נניח שמטופל מהמיון צריך ניתוח. לחדרי הניתוח יש גם מטופלים שמגיעים עם הזמנה מראש. עדיפות למי ניתן ואיך עובדים עם סיבוכיות של כניסה אקראיות מצד אחד וקבועות מצד שני. פעמים רבות מטופל מהמיון צריך אותו מכשיר כמו מטופל מבית החולים. • מכאן ניתן לראות את הצורך בקביעת צווארי בקבוק במערכת. הבעיה היא שצווארי הבקבוק משתנים משעה לשעה וממחלקה למחלקה. • מורכבות נוספת בחדרי מיון היא שמיטות ומכשירים הם קבועים במספרם ואילו אנשי הצוות הרפואי משתנים במספרם.

11. דוגמא של חדר מיון (ED)– המשך • מורכבות נוספת בחדרי מיון היא שיש עונתיות של קצב ההגעה, עונתיות של זמן ביום, יום בשבוע, שבוע בשנה. לכן אנו צריכים מדיניות הקצאת עובדים גמישה. • בארה"ב יש גם נסיונות להשתמש בהסבת אמבולנסים מבית חולים לבית חולים כדי להשתלט על העומס בחדרי המיון בשעות העמוסות.

12. How Many Hospital Beds?

13. בריאות הנפש אשפוז כללי סך הכל שנה 2.2 3.0 6.7 1980 0.8 2.1 6.1 2003 מערכת האשפוז בישראל(לפי נתוני הכנסת) נתונים של בתי חולים בישראל לשנת 2003 • סך כולל של מיטות – 41,140 • שיעורי תפוסת המיטות – מעל 100% (מחלקות פנימיות –106%, עור- 118%, שהיה – 190%) • שהייה ממוצעת 4.2 יום במחלקות כלליות, 100.6 בבריאות נפש, 44.6 בשיקום • שיעור מיטות לאלף נפש:

14. מערכת האשפוז בישראל נובעת מהגידול באוכלוסיה אשר לא לווה בגידול מקביל במספר מיטות • מגמות במספר מיטות ובאשפוז • ירידה במספר המיטות הכלליות לנפש • ירידה בשהות הממוצעת • גידול במספר השחרורים לאוכלוסיה • היבט בינלאומי • מקום נמוך בשיעור המיטות הכלליות • בין המדינות בהן משך האשפוז קצר ביותר • מדינה צעירה יחסית – בעיות השוואה נובעים משינויים טכנולוגיים וכלכליים מערכת יעילה יחסית

15. מערכת האשפוז בישראלהשוואה מול מדינות אחרות

16. "רמת התפוסה הממוצעת"לפי מאמרים של Linda V. Greenהסבר כללי על המדד • Target occupancy level – מדד יסודי לקביעת מספר המיטות • אחוז המיטות התפוסות = יחס בין מספר המיטות התפוסות למספר המיטות סה"כ • הרמה ה"אופטימאלית" – 85% • רמה בפועל – כ 64% "יותר מידי מיטות"

17. "רמת התפוסה הממוצעת"מדוע המדד בעייתי? בעיתיות המדד נובעת מכך שהמדד מבוסס על: • מספר המיטות certified שבד"כ גדול יותר ממספר המיטות בפועל • "midnight census" – מודד רמת התפוסה הנמוכה ביותר ביממה • תופעת “23-hour patient” • census השיא הנו באמצע היום ויכול להיות גבוה ב-20% מזה של חצות • ממוצעים שנתיים למרות שישנו הבדל גדול בין הגעות במהלך השבוע או השנה • הרבה פחות הגעות בסופי שבוע • פחות הגעות בקיץ וחופשים • אפקט העונתיות ביחידות מסוימות

18. "רמת התפוסה הממוצעת" מדוע המדד בעייתי? רמת התפוסה המדווחת • אינה מדד אמיןשל הנצילות הכללית של המיטות • מראה תוצאות שונות משימוש במדדים אחרים (נראה בדוגמא) • לא מודדת ואפילו לא מצביעה על המתנת החולים למיטות – המדד לא מקושר לרמת השירות הרצויה למרות זאת בתי חולים לא מודדים המתנות ולא משתמשים במודלי תורים או סימולציות על-מנת להעריך המתנות

19. "רמת התפוסה הממוצעת"דוגמא של מחלקת המיילדות מאפייני המחלקה: • יחידה עצמאית, בלתי תלויה ביחידות אחרות, יש נתונים נפרדים • רוב החולות צריכות טיפול דחוף (“urgent” או “emergent”) • לא ניתן לשים off-service (לא לספק שירות) נראה את: • מודלM|M|s • סתירה בין שני מדדים: רמת התפוסה הממוצעת והסתברות להמתנה • יתרון לגודל • השפעת העונתיות

20. "רמת התפוסה הממוצעת" דוגמא של מחלקת המיילדות • מודלM|M|s (Erlang-C): • הגעות (דרישות החולים למיטות) – מתרחשות לפי תהליך פואסוני הומוגני בזמן • משכי שירות (LOS- length of stay) – מתפלגות אקספוננציאלית • s – מספר השרתים (מיטות) • תהליך לידה ומוות עם קצבי מעבר:

21. "רמת התפוסה הממוצעת" דוגמא של מחלקת המיילדות • מודלM|M|s -יתרונות • הנחות המודל: • תור יחיד לא מוגבל • שרתים זהים • הגעות אקראיות • בהינתן 3 הפרמטרים (קצב הגעות, משך שירות ומספר שרתים) ניתן לקבל בקלות ביטוי סגור למדדי ביצוע, כגון הסתברות להמתנה חיובית ותוחלת ההמתנה • אי תלות בין ההגעות ובין זמני השירות • מדיניות FCFS • Work conservation

22. "רמת התפוסה הממוצעת" דוגמא של מחלקת המיילדות • מודלM|M|s - מדוע מתאים? • רוב החולות unscheduled – תהליך הגעות מוערך טוב ע"י תהליך פואסוני • CV(LOS) – סטיית תקן\תוחלת - בד"כ קרוב מאד ל-1 • חוסר נטישות – האם זו הנחה בעייתית? • חולות לא ניתנות להעברה ליחידה אחרת לכן לרוב אכן מחכות • היה קשה למדל עם נטישות עקב חוסר בנתונים • מהיבט התכנון צריכות להיות מספיק מיטות ביחידה כדי לספק זמינות מלאה ללא נטישות

23. "רמת התפוסה הממוצעת" דוגמא של מחלקת המיילדות סתירה בין שני מדדים: • רמת התפוסה הממוצעת • רמת התפוסה המומלצת – מתחת ל-75% (חולות "דחופות") • רמת התפוסה הממוצעת לפי דו"ח של 1997 בתי חולים במדינת ניו יורק – רק 60% • ב-79% (117 מתוך 149) רמות תפוסה ממוצעות מתחת למטרה – "יותר מידי מיטות" • רק כ-18% (27 מתוך 149) היו נחשבים לבעלי ניצולת-יתר לפי המדד הזה

24. "רמת התפוסה הממוצעת" דוגמא של מחלקת המיילדות סתירה בין שני מדדים: • הסתברות להמתנה • אין יעד סטנדרטי, מניחים כי לא צריכה לעלות על 1% • לפי הקריטריון הזה בהכנסת הנתונים למודל M|M|sל-40% של בתי חולים קיבולת לא מספקת • P(Delay)<5% - ל-32% של בתי חולים קיבולת לא מספקת • P(Delay)<10% - ל-20% של בתי חולים קיבולת לא מספקת

25. "רמת התפוסה הממוצעת" דוגמא של מחלקת המיילדות סתירה בין שני מדדים - יתרון לגודל • באותן רמות ההמתנה מערכות שירות גדולות יכולות לפעול בנצילויות גבוהות יותר ממערכות קטנות (באותה נצילות ההמתנות עולות ככל שגודל המחלקה קטנה) • בבתי חולים קטנים המחלקות מכילות רק 5-10 מיטות • ב-50% ממחלקות בנתונים יש 25 או פחות מיטות

26. פרופורציית בתי חולים העומדים בתנאי מספר מיטות מינימלי דרוש הסתברות להמתנה רצויה 40% 28 10% 14% 41 5% 2% 67 1% "רמת התפוסה הממוצעת" דוגמא של מחלקת המיילדות סתירה בין שני מדדים - יתרון לגודל • כמה מיטות צריכות להיות ביחידה כדי שהיא תפעל ברמת תפוסה 75% והסתברות להמתנה לא תעלה על יעד מסוים?

27. "רמת התפוסה הממוצעת" דוגמא של מחלקת המיילדות סתירה בין שני מדדים – השפעת העונתיות • התוצאות האמיתיות גרועות יותר מתוצאות המודל, היות והניתוח היה מבוסס על ממוצעים שנתיים, ובמחלקות מיילדות לרוב מושפעות במידה גדולה מהעונתיות • Beth Israel Deaconess Hospital in Boston • רמת תפוסה ממוצעת 68% בינואר ו-88% ביולי • 56 מיטות  לפי המודל הסתברות להמתנה בינואר זניחה וביולי – 25% • ביום שמספר ההגעות עולה ב-10% על הממוצע החודשי הסתברות להמתנה תגיע ל-65%

28. "רמת התפוסה הממוצעת" דוגמא של מחלקת המיילדות תוצאות אפשריות של העומס: • מדובר במיטות של אחרי לידה (postpartum) • Labor Delivery Recovery Postpartum • עיכוב במיטות postpartum יגרום לכך שחולה תישאר במיטת recovery יותר זמן ממה שצריך וזה יגרום לעיכובים ב delivery ו-labor • לפעמים חולות משוחררות מוקדם מהרגיל – יכול להיות מסוכן בלידות עם תסבוכות • פתרון אפשרי: • “swing” beds – נפתחות כאשר כל המיטות הרגילות תפוסות, במסדרונות או ביחידות אחרות • בעיות: • יותר חולות לכל אחות – איכות ירודה של השירות • אי זמינות אפשרית של ציוד המעקב במיקום אחר

29. "רמת התפוסה הממוצעת"מסקנות • תוצאות הצפף משפיעות שלילית על תפישת החולות של איכות השירות • הערכת קיבולת היחידה בהתבסס על רמת התפוסה של 75% עלולה להוביל להערכת יתר משמעותית • תכנון הקיבולת בהתבסס על היעד של 75% עלול להביא לתוצאות שליליות על היולדות • (בתי חולים צמצמו מספר מיטות בשנים אחרונות בגלל שהנצילות הייתה מתחת ל-75%

30. The seven-day hospitalלפי מאמרים של Linda V. Green • קיימים הבדלים משמעותיים בהגעות על-פני השבוע • בבתי חולים רבים טיפולים נבחרים ובדיקות דיאגנוסטיות נפסקות בסופי שבוע • כתוצאה מכך, נצילות המיטות נמוכה יותר וציוד מבוקש בטל • חסרונות כלכליות של "seven-day hospital": צוות נוסף, שעות נוספות • יתרונות אפשריות: דוגמא של SICU (מחלקת טיפול נמרץ כירורגי)

31. The seven-day hospitalדוגמא SICU • ALOS = 3.05 ימים • צריך 17 מיטות כדי שההסתברות היומית להמתנה לא תעלה על 10% (פתרון משוואות דיפרנציאליות המתארות תהליך לא סטציונרי – מודל Mt|M|St) • אם "נחליק" את אותו מספר ההגעות על כל השבוע (קצב הגעה יומי ממוצע 3.34 חולים) נצטרך רק 15 מיטות עבור אותו יעד ביצוע • אם ניקח 15 מיטות עם הביקוש המקורי, הסתברות ההמתנה הממוצעת תהיה כ-11%, שיא של 18% עם תוחלת ההמתנה החיובית של 13 שעות ניתן לקבוע את הקיבולת האופטימלית ומדיניות התפעול ע"י השוואה של הוצאות צפויות מול קיבולת המיטות מורחבת אין הבדל משמעותי

32. מידול מחלקת טיפול נמרץ בעזרת תורת התוריםלפי מאמר של Litvak et al מחלקת טיפול נמרץ - ICU: • ירידה במספר בתי חולים בארה"ב הביאה לעומס יתר משמעותי, במיוחד בחדרי מיון ו-ICU • ICU – בין המשאבים הכי מורכבים ויקרים, מהווים צווארי בקבוק בבתי חולים עמוסים אך הרחבתם יקרה ולא אפשרית תיאור המחקר: • מטרה: לאמת מודל תורים פשוט ב ICU עמוס • שיטה: במהלך שנתיים נאספו נתונים של הגעות, דחיות וזמני שהיה ב-ICU עירוני עמוס. בעזרת המודל M|M|c|c חושבו מדדי ביצוע (הסתברות לדחייה), הושוו ל מדדים בפועל ובוצע ניתוח רגישות לשינוי במספר מיטות • תוצאות: לשיעורי הדחיות החזויות ע"י המודל קורלאציה גבוהה מאד עם האלו בפועל. ניתוח רגישות הראה ירידה דרסטית בביצועי המערכת עם שינוים הכי קטנים בזמינות המיטות

33. מידול מחלקת טיפול נמרץ בעזרת תורת התוריםתיאור המודל M|M|c|c – Erlang-B : • הגעות (דרישות החולים למיטות) – מתרחשות לפי תהליך פואסוני הומוגני בזמן • משכי שירות (LOS- length of stay) – מתפלגות אקספוננציאלית • c – מספר השרתים (מיטות), c – מספר המקומות במערכת • הנחה: שום המתנה אינה אפשרית עבור החולים הקריטיים הללו לכן הסתברות להמתנה= הסתברות לדחייה

34. מידול מחלקת טיפול נמרץ בעזרת תורת התוריםניתוח סטטיסטי • הגעות יומיות ל-ICU מתפלגות פואסונית • משכי שירות מתפלגות אקספוננציאלית נתונים בפועל מתוך סה"כ של 18 מיטות ביחידה, מספר המיטות הזמינות בפועל נע בין 13 ל-18 (ממוצע 17) בעקבות חולים ארוכים (מעל חודש) וסיבות אדמיניסטרטיביות

35. מידול מחלקת טיפול נמרץ בעזרת תורת התוריםניתוח סטטיסטי • שיעור הדחיות בפועל עולה אקספוננציאלית עם עלייה בנצילות • כאשר הנצילות עולה מעל 80-85 %, שיעור הדחיות עולה משמעותית – "רמת התפוסה האופטימלית"?

36. מידול מחלקת טיפול נמרץ בעזרת תורת התוריםניתוח רגישות • השפעה של סגירת המיטות או חולים עם שהיות ארוכות למדי על היענות ה-ICU העמוס • trade-off בין נצילות ושיעור הדחיות כאשר מספר המיטות הזמינות משתנה • עליות קטנות בנצילות מלוות בירידה חדה ביכולת לקבל חולים חדשים – דילמת ה-ICU

37. turn-away rate = מידול מחלקת טיפול נמרץ בעזרת תורת התוריםאחוז הדחיות בפועל מול מחושב • בפועל: • לפי Erlang-B: • קירוב QED: • קירוב ED:

38. מידול מחלקת טיפול נמרץ בעזרת תורת התוריםאחוז הדחיות בפועל מול מחושב

39. מידול מחלקת טיפול נמרץ בעזרת תורת התוריםמתי קירוב ED מתאים יותר מקירוב QED

40. מידול מחלקת טיפול נמרץ בעזרת תורת התוריםמסקנות • תורת התורים ממדלת מדויק את מחלקת טיפול נמרץ גדולה ועמוסה מגבלות • לאו דווקא מתאים למחלקות קטנות או מחלקות לא עמוסות • תוצאות עלולות לתת הערכת חסר ללחצים במחלקות קטנות ("יתרון לגודל") מסקנות מהשוואת שיעורי הדחייה בפועל מול המחושבים • מודל Erlang-B וקירוב QED מתארים בצורה מדויקת שיעורי הדחייה בפועל • קירוב ED נותן תמיד הערכת-חסר (למה?). נותן קירוב טוב בעומסים גבוהים

41. מקורות: • Linda V. Green, “Capacity Planning and Management in Hospitals”, OperationsResearch and Health Care, (Brandeau et al editors), Kluwer, 2004. • Linda V. Green, “How Many Hospital Beds”, Inquiry – Blue Cross and Blue Shield Association; Winter 2002/2003; 39,4 • Linda V. Green and Vien Nguyen, “Strategies for Cutting Hospital Beds: The Impact on Patient Service”, 2001,Health services Research36 • הכנסת – מרכז מחקר ומידע, "מערכת האשפוז הכללי בישראל – נתוני יסוד", 2005 • McManus M.L., Long M.C., Cooper A., Litvak E., “Queuing Theory Accurately Models the Need for Critical Care Resources”, Anesthesiology 2004

42. איחוד מחלקות קטנותלפי מאמרים של Linda V. Green • ניתן להגיע לרמות תפוסה גבוהות יותר כאשר מנצלים מיטות בצורה גמישה יותר • לכן נוהגים לאחד יחידות קטנות ולטפל במגוון גדול של סוגי חולים בתוך אותה במחלקה • דוגמא של שתי מחלקות כירורגיות בבי"ח בבוסטון:cardiac and thoracic • קצב ביקוש ממוצע: cardiac – 1.91, thoracic – 0.42 מיטות ביום • מודלM|M|s נותן קירוב טוב אולם תיתכן הערכת יתר של ההמתנות (כי הגעות לא אקראיות לגמרי)

43. איחוד מחלקות קטנותלפי מאמרים של Linda V. Greenהאם תמיד כדאי? • לכל יעד איחוד המחלקות חוסך מיטה אחת • אבל ההנחה שמדיניות הקבלה זהה לשני הסוגים אינה נכונה:לחולים cardiac ניתנת עדיפות על-פני thoracic • אם היעד – E(Delay)<1, עבור cardiac זה מתקיים שוב ב-21 מיטות, אבל ההמתנה של thoracic כעת היא יותר מ-3 ימים! • בנוסף הנחת משכי שירות זהים אינה נכונה (ל cardiac פי 2 יותר ארוך מל- thoracic) – בפועל ההמתנה של חולים בעדיפות נמוכה ארוכה עוד יותר

44. איחוד מחלקות קטנותלפי מאמרים של Linda V. Greenהאם תמיד כדאי? • כדי לשמור על אותה רמת השירות E(Delay)<1 במחלקה המאוחדת יש להחזיק מיטה אחת יותר מבמחלקות נפרדות • איחוד מחלקות קטנות לאו דווקא מביא לשיפור ביעילות • פתרון אפשרי – מדיניות קבלה דינמית על-מנת ליצור איזון בין שני סוגי החולים • למשל, קביעת סף המתנה כך שאם החולה הפחות מועדף מגיע אליו, התור הופך להיות FCFS

45. How many doctors/ nurses?

46. כמה רופאים ואחיות כדי לקבוע מספר שרתים במערכת תורים צריך מספר נתונים: • קצב הגעה – במחלקות כמו מיון אין מדד אמין כי יש מספר גדול של נוטשים “Left Without Been Seen” . בכלל אין בדרך כלל מעקב ממוחשב אחר הגעת המטופלים למחלקות השונות. • זמן שירות – אין מעקב, ניתן להגיע רק להערכות כלליות. המצב חמור במיוחד במחלקת המיון בה יש מגוון נרחב של טיפולים אפשריים.

47. בעיה לדוגמא • קצב הגעה ורמות איוש ביום שני

48. בעיה לדוגמא - המשך • ההסתברות שהמטופל חיכה יותר משעה P(Delay>1 hour) • בבעיה זו ניסו להגיע למצב של: P(D>1)<0.1 • זמן שירות מוערך להיות 45 דקות

49. מודלים של מרכז טלפונים • מחלקים לתקופות החישוב במודלים יערך פר תקופה. • PSA – Pointwise Stationary Approximation: חישוב מספר עובדים דרוש עבור כל זמן בתקופה ולקיחת המקסימום בין הזמנים. • SIPP – Stationary Independent Period-by Period: לוקחים ממוצע קצב ההגעה בתקופה. ולפיו מחשבים את מספר השרתים הדרוש. • ההבדלים בין השיטות מובילות בעיקר להבדל באיכות השירות. נוסחת Little: • W – זמן שהיה •  – קצב מעבר • L – מס' יחידות במערכת • L= W

50. מודלים של מרכז טלפונים - המשך • SIPP Max – נבנה על סמך קצב הגעות כמו SIPP אך נלקח הקצב המקסימאלי בתקופה ולא הממוצע. לכן ניתן לראות שתוצאות SIPP Max ו-PSA יוצאות בעצם זהות. • עבור כל t בתוך תקופה i פתרון עבור SIPP Max: [Max(t)]W פתרון עבור PSA: Max(tW)=Max(Lt) =