230 likes | 456 Views
KOLOROWANIE MAP. Grafy dualne do płaskich. Dany jest 2-spójny graf płaski G . Wybierzmy po jednym wierzchołku v*(S) z wnętrza każdej ściany S . Jeśli brzegi ścian S i S’ mają wspólną krawędź e , to połączmy v*(S) i v*(S’) krawędzią e* (krzywą Jordana przechodzącą przez e ).
E N D
Grafy dualne do płaskich • Dany jest 2-spójny graf płaski G. • Wybierzmy po jednym wierzchołku v*(S) z wnętrza każdej ściany S. • Jeśli brzegi ścian S i S’ mają wspólną krawędź e, to połączmy v*(S) i v*(S’) krawędzią e* (krzywą Jordana przechodzącą przez e). • Otrzymujemy (multi)graf płaski G*, dualny do G, gdzie • n*=l, m*=m, l*=n
Ilustracja G i G* e e*
Ściany wierzchołki • Każda ściana grafu G staje się wierzchołkiem grafu G*. • I odwrotnie: G**=G
Mapy a grafy planarne • Mapa to zbiór ścian 2-spójnego grafu płaskiego o δ(G)>2 (ścianę zewnętrzną można traktować jako tło/ramę mapy). • Kolorowanie mapy to kolorowanie (właściwe) wierzchołków grafu dualnego. • Są mapy, które wymagają aż 4 kolorów.
Hipoteza 4 kolorów - historia H4K: KAŻDĄ mapę można pomalować 4 kolorami! • Hipoteza z roku 1852 (de Morgan, bracia Guthrie) • Dwa błędne dowody w XIX wieku (Kempe, Tait) • Dowód komputerowy ogłoszony w 1976, zweryfikowany w 1989 (Appel, Haken, Koch) i 1997 (Robertson, Sanders, Seymour, Thomas)
6 kolorów wystarczy! Algorytm zachłanny: Jeśli G jest planarny, to e(G)<3v(G), więc δ(G)<6. Zatem
Heawood: 5 kolorów wystarczy! Tw. o 5 kolorach (Heawood, 1890) Każdy graf planarny jest 5-kolorowalny. Dowód: (nie wprost, oparty na korekcie błędnego dowodu Kempe) Niech G będzie grafem płaskim o χ(G)=6 i minimalnej liczbie wierzchołków. Niech wierzchołek x ma stopień 5. G-x jest 5-kolorowalny.
Dowód – c.d. • Pomalujmy G-x 5 kolorami i spójrzmy na sąsiadów x: x_1,...,x_5 ponumerowanych cyklicznie wokół x. • Można przyjąć, że x_i ma kolor i, i=1,...,5 • Niech H(i,j) –podgraf indukowany przez kolory i i j. • Gdyby x_1 i x_3 były w różnych składowych H(1,3), to zamieniając kolory w jednej z nich mielibyśmy tylko 4 kolory wokół x. • Zatem x_1 i x_3 są połączone ścieżką, podobnie x_2 i x_4 – sprzeczność z płaskością G.
Ilustracja x_4 x_3 x x_5 x_2 x_1 ?
Błąd Kempe • Analogiczne przekolorowanie nie działa, jeśli zamiast 5 różnych kolorów, wystepują 4, (w tym jeden dwa razy). • Zauważył to dopiero Heawood.
Appel, Haken, Koch: idea Idea dowodu Heawooda/Kempe: • Minimalny graf 6-kolorowalny G nie może zawierać wierzchołka xstopnia 5, bo 5-kolorowanie G-x można by rozszerzyć na G. • Każdy graf planarny zawiera taki wierzchołek.
Konfiguracje • Konfiguracja jest redukowalna, gdy żaden minimalny 5-chromatyczny graf płaski jej nie zawiera. • Zbiór konfiguracji jest nieunikniony, gdy każda triangulacja zawiera przynajmniej jedną z nich. • Appel i Haken znaleźli nieunikniony zbiór złożony z 1482 konfiguracji i wraz z Kochem, przy pomocy komputerów, sprawdzili, że wszystkie one są redukowalne. • To dowodzi H4K (dlaczego?).
Redukcja do map 3-regularnych Fakt 1.H4K jest prawdziwa wgdy każda 3-regularna mapa jest 4-kolorowalna. Dowód: Weźmy mapę G (2-spójna, δ(G)>2). Zastąpmy każdy wierzchołek stopnia >3 nowym krajem:
Pierwsza próba Taita 1880 Fakt 2. H4K jest prawdziwa wgdy każdy 3-regularny i 2-spójny graf planarny ma indeks chromatyczny 3. (Tait sądził, że potrafi udowodnić druga część tej równoważności.)
Dowód: Pomalujmy ściany G elementami grupy Kleina: c_0=(0,0), c_1=(1,0), c_2=(0,1), c_3=(1,1) z dodawaniem mod 2. Każdej krawędzi przypiszmy kolor będący sumą kolorów ścian, które rozdziela. Ta suma nigdy nie będzie równa c_0. Dla 3 różnych indeksów i,j,k z {0,1,2,3} sumy c_i+c_j,c_i+c_k,c_j+c_k są parami różne .
Ilustracja c_i+c_j c_i c_j c_i+c_k c_j+c_k c_k
Dowód • Malujemy krawędzie G niezerowymi elementami grupy Kleina. • Jeśli C jest krzywą zamkniętą omijającą wierzchołki G, to suma kolorów krawędzi, które przecina wynosi c_0=(0,0). (ćw) • Dowolną ścianę S_0 malujemy kolorem c_0. • Do pozostałych ścian prowadzimy krzywe z S_0 i nadajemy im kolory równe sumom kolorów przecinanych krawędzi. • Ta definicja jest poprawna a kolorowanie właściwe (ćw).
Ilustracja S_0 S c_0
Druga próba Taita 1880 • Mapę hamiltonowską można pomalować 4 kolorami. Dowód bezpośredni (ćw) lub korzystając z dowodu Faktu 2, bowiem • 3-regularnygraf hamiltonowski ma indeks chromatyczny 3. Hipoteza Taita (1890). Każdy 3-spójny, 3-regularny graf planarny jest hamiltonowski. • Z niej wynikałaby H4K, bo wystarczy ograniczyć się do map 3-regularnych (Fakt 1) oraz 3-spójnych (bez dowodu). • Niestety... kontrprzykład Tutte’a (1946).