Distribuições de probabilidades referentes a variáveis contínuas e suas aplicações

1. Distribuições de probabilidades referentes a variáveis contínuas e suas aplicações As variáveis contínuas podem assumir qualquer valor dentro de um intervalo e para estas não é possível enumerar todos os valores possíveis e suas respectivas probabilidades. Para estas distribuições convém elaborar uma função de densidade de probabilidade.

2. Como existem infinitos pontos cada um com igual probabilidade, se fossemos usar o mesmo método usado para a variável aleatória discreta, cada ponto teria probabilidade de ocorrência igual a zero. A densidade de probabilidade de uma variável é comumente chamada de sua Distribuição de Probabilidade.

3. DISTRIBUIÇÃO NORMAL Entre as distribuições teóricas de variável aleatória contínua, uma das mais empregadas é a distribuição Normal. Muitas das variáveis analisadas na pesquisa sócio-econômica correspondem à distribuição normal ou dela se aproximam. Propriedades da distribuição normal : 1ª - A variável aleatória X pode assumir todo e qualquer valor real. 2ª - A representação gráfica da distribuição normal é uma curva em forma de sino, simétrica em torno da média, que recebe o nome de curva normal ou de Gauss. 3ª - A área total limitada pela curva e pelo eixo das abscissas é igual a 1, já que essa área corresponde à probabilidade de a variável aleatória X assumir qualquer valor real. 4ª - A curva normal é assintótica em relação ao eixo das abscissas, isto é, aproxima-se indefinidamente do eixo das abscissas sem, contudo, alcançá-lo. 5ª - Como a curva é simétrica em torno da média, a probabilidade de ocorrer valor maior que a média é igual à probabilidade de ocorrer valor menor do que a média, isto é, ambas as probabilidades são iguais a 0,5 ou 50%. Cada metade da curva representa 50% de probabilidade.

4. Abraham de Moivre, em 1733, publicou a equação da curva normal: que permite gerar o seguinte gráfico:

5. O gráfico da distribuição normal assemelha-se a um sino e seu formato dependerá dos valores dos parâmetros µ e . • Notação de uma variável com distribuição normal: A probabilidade de X assumir qualquer valor X0 é zero, isto é (PX=X0) = 0, logo, são iguais as probabilidades: P (a < x < b) = P (a ≤ x ≤ b) = à area sob a curva compreendida entre dois pontos.

7. Distribuição Normal padronizada Seja X uma variável aleatória com distribuição N(µ;2). Considere a transformação linear: A média de Z é zero e a sua variância é igual a 1, logo a função densidade da variável Z é dada por:

8. Uso da distribuição normal padronizada

9. Exemplos do uso de z:  • Em uma população de indivíduos adultos de sexo masculino, cuja estatura média é 1,70m e desvio padrão é 0,08m, qual é o intervalo de alturas em que 95% da população está compreendida? •   95% =     ± 1,96     =   1,70 ± 1,96 x 0,08 •   = 1,70 + 0,1568 = 1,8568 (maior altura) e = 1,70 - 0,1568 =1,5432 (menor altura). • Assim sendo, 95% da população tem altura entre 1,5432m e 1,8568m. Portanto, será pouco provável encontrar alguém com altura superior a 1,8568m (2,5%) ou abaixo de 1,5432m (2,5%).

10. 2. Na mesma população, qual a probabilidade de um indivíduo ter estatura entre 1,60 e 1,82m? Calcula-se dois valores de z:   zmin = (1,60 - 1,70) / 0,08 = 1,25     zmax = (1,82 - 1,70) / 0,08 = 1,50   A área entre z = 0 e z = -1,25 é 39,44 e a área entre z = 0 e z = 1,82 é de  43,32.   Portanto, a probabilidade de se encontrar alguém com estatura entre 1,60 e 1,82m é   0,3944 +  0, 4332  =  0,8276 =  82,76%