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Henneberg-Konstruktion in O(n²)

Henneberg-Konstruktion in O(n²). Konstruktion von Laman-Graphen mittels Rot-Schwarz-Hierarchien Marko Walther WS 07/08. Überblick. Grundlagen und Definitionen Die Rot-Schwarz-Hierarchie (RSH) Charakterisierung von Laman-Graphen mittels der RSH

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Henneberg-Konstruktion in O(n²)

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Presentation Transcript


  1. Henneberg-Konstruktion in O(n²) Konstruktion von Laman-Graphen mittels Rot-Schwarz-Hierarchien Marko Walther WS 07/08

  2. Überblick • Grundlagen und Definitionen • Die Rot-Schwarz-Hierarchie (RSH) • Charakterisierung von Laman-Graphen mittels der RSH • Berechnung der Henneberg-Konstruktion mittels der RSH in O(n²)

  3. Grundlagen

  4. Theorem 1(Charakterisierung von Laman-Graphen): Ein Graph G(V,E) heißt Laman-Graph genau dann, wenn:

  5. Theorem 2 (Henneberg): Ein Graph ist genau dann ein Laman-Graph, wenn für ihn eine Henneberg-Konstruktion existiert.

  6. Theorem 3 (Lovász und Yemini): Ein Graph G(V,E) mit n Ecken und 2n-3 Kanten ist ein Laman-Graph genau dann, wenn für jede Kante e aus E der Multigraph G+e, der durch Hinzufügen einer Kante parallel zu e entsteht, die Vereinigung von zwei kantendisjunkten Spannbäumen ist.

  7. Definition 1: 3tree2-Partition

  8. Beispiel für 3tree2-Partition:

  9. Theorem 4: Ein Graph G(V,E) ist ein Laman-Graph genau dann, wenn er eine 3tree2-Partition zulässt.

  10. Die Rot-Schwarz-Hierarchie (RSH)

  11. Definitionen:

  12. Definition: Hierarchie

  13. Definition: Hierarchie

  14. Definition: Hierarchie

  15. Beispiel: Hierarchie

  16. Definition: Rot-Schwarz-Hierarchie Eine Rot-Schwarz-Hierarchie ist eine Hierarchie welche folgenden 4 Regeln genügt:

  17. 1. Wurzel-Regel: Die Wurzel von T hat genau zwei Kinder.

  18. 2. Blatt-Regel: Eine Ecke v von T ist genau dann das einzige Kind seines Elternknotens, wenn v ein Blatt ist.

  19. 3. Querkanten-Regel: Die Endecken jeder Querkante haben denselben Großelternknoten, jedoch unterschiedliche Elternknoten.

  20. 4. Baum-Regel: Für jede Ecke v aus T bilden die Querkanten, die inzident zu Enkelknoten von v sind einen Baum, der alle Enkel von v verbindet.

  21. Färbung der RSH: • Ecken gerader/ungerader Tiefe werden rot/schwarz eingefärbt. • Kanten können rot oder schwarz gefärbt sein. • Querkanten haben die Farbe ihrer Endpunkte.

  22. Beispiel: Rot-Schwarz-Hierarchie Hierarchie H

  23. Charakterisierung von Laman-Graphen mittels der RSH Die RSH als Charakterisierung von Laman-Graphen.

  24. Bezeichnungen:

  25. Lemma 5:

  26. Beweis: Lemma 5

  27. Beweis: Lemma 5

  28. Beweis: Lemma 5 Lemma 5 impliziert auch, dass nicht für jeden Graphen eine RSH existiert.

  29. Lemma 6:

  30. Beweis(Skizze): Lemma 6

  31. Folgerung aus Lemma 5,6: Graphen, für die eine RSH existiert sind Laman-Graphen.

  32. Theorem 7:

  33. Beweis: Theorem 7 Der Beweis wird hier nicht geführt. Nur soviel: Die RSH wird konstruiert, indem der Graph G in eine 3tree2-Partition zerlegt wird und aus dieser rekursiv die Unterbäume der Knoten in H sowie die Querkanten erzeugt werden. Für einen ausführlichen Beweis, siehe [2].

  34. Laufzeit: Die 3tree2-Zerlegung kann in O(n²) Zeit konstruiert werden (siehe [3]). Die Knoten in H der selben Tiefe werden in O(n) Schritten bearbeitet. Da die Höhe der RSH O(n) beträgt, folgt eine Laufzeit von O(n²).

  35. Folgerung: Ein Graph ist genau dann ein Laman-Graph, wenn für ihn eine RSH existiert. Damit ist die RSH eine weitere Charakterisierung von Laman-Graphen neben der 3tree2-Partitionierung z.B. .

  36. Lemma 8 (Validierung der RSH): Sei H eine Hierarchie für den Graph G. Es kann in O(n) Schritten überprüft werden, ob H eine Rot-Schwarz-Hierarchie ist.

  37. Beweis: Lemma 8

  38. Beweis: Lemma 8 Nun wird überprüft, ob H allen 4 Regeln für RSH genügt.

  39. Beweis: Lemma 8 Die Wurzel-Regel kann in O(1) Zeit überprüft werden.

  40. Beweis: Lemma 8 Die Blatt-Regel kann für jedes Blatt und jeden inneren Knoten von H überprüft werden. Dafür sind O(n) Schritte notwendig.

  41. Beweis: Lemma 8

  42. Beweis: Lemma 8 Die Baum-Regel kann in O(m+n) Zeit überprüft werden. Es folgt eine Gesamtlaufzeit von O(n).

  43. Berechnung der Henneberg-Konstruktion mittels der RSH in O(n²)

  44. a a v b b Henneberg-Operationen: Henneberg-Einfüge-Operation vom Typ I

  45. a b Henneberg-Operationen: a v b Henneberg-Einfüge-Operation vom Typ II

  46. Henneberg-Operationen: Die inversen Operationen werden Henneberg-Lösch-Operationen vom Typ I bzw. Typ II genannt.

  47. Theorem 9:

  48. Beweis(Vorbemerkungen): Theorem 9

  49. Beweis(Vorbemerkungen): Theorem 9

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