ALJABAR LINIER DAN MATRIKS

1. ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (PENYELESAIAN SPL DENGAN MATRIKS, OPERASI MATRIKS, DAN SIFAT MATRIKS) PERTEMUAN 2

2. Pengertian Matriks (1) • (1 0 3 -1)  array (susunan objek dalam baris)  vektor (susunan objek dalam kolom)  matriks (susunan objek dalam baris dan kolom)

3. Pengertian Matriks (2) • Notasi matriks biasanya menggunakan huruf kapital, misal A, M, B dan entri dari matriks dinotasikan dengan huruf kecil. • Ukuran matriks ditentukan oleh banyak baris dan kolom. , matriks A berukuran 3x3 , matriks B berukuran 2x4

4. Pengertian Matriks (3) • Jika A adalah matriks mxn, maka A dapat disajikan A = [aij], dengan i=1,2,…,m dan j=1,2,…,n atau

5. Operasi Matriks (1) • Diketahui A=[aij] dan B=[bij], i=1,2,…,m dan j=1,2,…,n • Kesamaan matriks A=B jika ukuran A = ukuran B dan aij = bij, ij • Penjumlahan dan pengurangan matriks AB = C, dengan cij = aij  bij Syarat: ukuran matriks harus sama

6. Operasi Matriks (2) • Perkalian matriks dengan skalar kA = [kaij], dengan k suatu konstanta • Perkalian matriks dengan matriks Amxn, Bnxp, maka AxB = Cmxp = [cij] dengan cij = Syarat: ukuran kolom matriks A sama dengan ukuran baris matriks B, sehingga hasil perkaliannya berukuran: ukuran baris A x ukuran kolom B

7. Soal • Hitunglah

8. Sifat Operasi Matriks (1) • Jika A, B, C matriks dengan ukuran sedemikian sehingga operasi matriks dapat dikerjakan dan k, l adalah skalar, maka berlaku: • AB = BA • (AB)C = A(BC) • (AB)C = A(BC)

9. Sifat Operasi Matriks (2) • (AB)C = AC  BC • C(AB) = CA  CB • k(AB) = (kA)B = A(kB) • (kl)A = kA  lA • k(AB) = kA  kB • k(lB) = (kl)B

10. Matriks untuk SPL (1) • Bentuk umum SPL a11 x1 + a12x2 + … + a1n xn = b1 a21 x1 + a22x2 + … + a2n xn = b2 ………………… am1 x1 + am2x2 + … + amn xn = bm dapat diubah ke matriks

11. Matriks untuk SPL (2) • Matriks yang diperbesar dari bentuk matriks tadi adalah

12. Operasi Baris Elementer (OBE) • Mengalikan suatu baris dengan suatu konstanta, k0 • Menukarkan 2 buah baris • Menambahkan kelipatan suatu baris dengan baris yang lain

13. Eliminasi Gauss (1) • Suatu matriks dikatakan dalam bentuk eselon baris tereduksi jika memenuhi sifat berikut: • Jika suatu baris yang entrinya tidak seluruhnya nol, maka entri tak nol pertamanya 1 dan disebut 1 utama • Jika ada suatu baris yang seluruhnya nol, maka baris tersebut diletakkan pada baris paling bawah

14. Eliminasi Gauss (2) • Dalam 2 baris yang berurutan, 1 utama pada baris yang bawah terletak lebih ke kanan dari 1 utama pada baris atasnya • Kolom yang memuat 1 utama mempunyai entri tak nol di tempat lain

15. Eliminasi Gauss dan Eliminasi Gauss Jordan • Eliminasi Gauss didasarkan pada matriks bentuk eselon baris (dengan OBE) dan eliminasi Gauss Jordan didasarkan pada matriks bentuk eselon baris tereduksi

16. Bentuk Eselon Baris Tereduksi (1) • Letakkan kolom pertama yang tidak seluruhnya nol • Tukarkan baris pertama dengan baris yang lain, jika diperlukan, untuk memperoleh entri tak nol pada kolom pertama baris pertama • Jika entri baris pertama kolom paling kiri (pertama) a, maka kalikan 1/a pada baris pertama untuk memperoleh 1 utama pada baris pertama

17. Bentuk Eselon Baris Tereduksi (2) • Tambahkan kelipatan yang sesuai dari baris pertama terhadap baris lainnya untuk memperoleh entri nol di bawah 1 utama • Lakukan langkah 1-4 pada baris-baris berikutnya • Kolom yang memuat 1 utama variabelnya berperan sebagai variabel utama dan kolom yang tidak memuat 1 utama sebagai variabel bebas