Proses Stokastik

1. Proses Stokastik Semester Ganjil 2013

2. PenerapanTeoriAntrian • Telekomunikasi • Traffic control • Menentukanurutanoperasionalkomputer • Memprediksi performance darikomputer • Pelayanankesehatanataupelayananumumlainnya • Airport traffic, airline ticket sales

3. Contoh • Pada supermarket atau bank • Beberapa counter ataucheckout system sistemantriandimanapelangganmenunggukasir yang kosongberikutnya

4. IlustrasipenerapanTeoriAntrian

5. Hukum Little (Little’s Law) • Little’s Law: Rata-rata jumlahpekerjaandidalamsistem(L)= rata-rata lajukedatangan (λ) x rata-rata wakturesponslayanan (W) • Dapatditerapkanuntuksembarangsistemdalamkondisikesetimbangan (equilibrium) System Arrivals Departures

6. # of Jobs in the System 3 3 3 2 2 2 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 Time Time in System 1 2 3 Job # Proving Little’s Law Arrivals Job # Departures 1 2 3 4 5 6 7 8 Time J = daerahygdiarsir= 9 Samadisemuakasus!

7. Definisi-definisi • J: “Luas” pada slide sebelumnya • N: Jumlahpekerjaan • T: Total waktu • l: Rata-rata lajukedatangan • N/T • W: Rata-rata waktupekerjaandidalamsistem • = J/N • L: Rata-rata jumlahpekerjaandidalamsistem • = J/T

8. 3 3 Time in System (W) 2 2 1 1 1 2 3 Job # (N) Proof: By Definition # in System (L) = 1 2 3 4 5 6 7 8 Time (T)

9. Queuing System Server Queue Queuing System Server System Model Queuing System • Model antrian (Queuing models) digunakanuntuk: • Menggambarkanperilakusistemantrian • Mengevaluasikinerjasistem

10. Karakteristikdarisistemantrian • Proseskedatangan (Arrival Process) • Sebaran yang menentukanbagaimanapekerjaandatangkesistem • Prosespelayanan • Sebaran yang menentukanwaktumemprosespekerjaan • Jumlah server/mejalayan • Jumlah server/mejalayan yang tersediauntukmemprosespekerjaan

11. Notasi Kendall 1/2/3(/4/5/6) • EnamParemeter • Tigapertama yang paling seringdigunakan • Sebarankedatangan (Arrival Distribution) • Sebaranpelayanan (Service Distribution) • Jumlah server • Total kapasitas (diasumsikantakterbatasjikatidakdidefinisikan) • Ukuranpopulasi (diasumsikantakterbatasjikatidakdidefinisikan) • Disiplinantrian(FCFS-First Come First Served/FIFO-First in First Out)

12. Sebaran-sebaran • M: berasaldariistilah "Markovian", yang berartisebaraneksponensialuntukwaktuantarkedatanganatauwaktulayanan. • D: deterministik (konstan) • Ek: Erlangdenganparameter k • Hk: Hyperexponentialdenganparameterk • G: General (umum/apapun)

13. ContohNotasi Kendall • M/M/1: • Kedatangansebagaiproses Poisson danwaktulayananmenyebareksponensial, 1 server, kapasitastakterbatas, populasitakterbatasdan FCFS (FIFO) • Antrian paling sederhana yang realistis • M/M/m • Kedatangansebagaiproses Poisson danwaktulayananmenyebareksponensial, m server, kapasitastakterbatas, populasitakterbatasdanFCFS (FIFO) • G/G/3/20/1500/SPF • Jumlahkedatangandanwaktulayananmempunyaisebaranumum, 3 server, kapasitasantriansejumlah 17 slot (20 – 3), 1500 total pekerjaan (populasi) danShortest Packet First (pekerjaan yang tersedikit yang didahulukan)

14. Untukproses Poisson dengan rata – rata kedatanganλ, peluangbahwaakanadankedatanganpadaselangwaktu∆t Proses Poisson

15. Waktuantarkedatangan (interarrival time) t didalamproses Poisson mengikutisebaraneksponensialdengan parameter λ Proses Poisson danSebaraneksponensial

16. Antrian M/M/1 Diberikan • l: Lajukedatanganpekerjaan • m: Lajuselesainyalayanandari server Inginditentukan • L: rata-rata jumlahpekerjaandidalamsistem • Lq: rata-rata jumlahpekerjaan yang menunggudiantrian W: rata-rata waktutunggudidalamsistem • Wq: rata-rata waktutunggudiantrian

17. L Lq l m Wq W Antrian M/M/1

18. Menyelesaikansistemantrian • 4 variabel yang ingindicarisolusinya: L, Lq W, Wq Hubungan yang berlaku: • L=lW • Lq=lWq(steady-state argument) • W = Wq + (1/m) • PenentuanLadalahlangkahawal. • Yang tergantungdaritipesistemantrian. Peluang equilibrium bahwasistemmempunyain pekerjaandidalamantrian Nilaiharapan

19. Analisisdariantrian M/M/1 • Tujuan: • Mendapatkanbentuklangsungdaripeluangjumlahpekerjaanpadasistem(πi)sebagaifungsidarildanm

20. l l l l n-1 n n+1 m m m m Syarat/kondisi Equilibrium • πi , i=1, 2, … peluang equilibrium dariproseskelahirandankematian Adalahproseskelahirandankematiandengan parameter kelahirandan parameter kematian yang samadisetiap state yang mungkin

21. l l l l n-1 n n+1 m m m m • Berdasarkanhubungannet flow balance: Dstsecararekursif

22. DenganbatasansedemikiansehinggafungsipeluangterdefinisidenganbaikDenganbatasansedemikiansehinggafungsipeluangterdefinisidenganbaik • π0ditentukandarisyaratdiatas

23. Penyebutakanmenjadiberhingga (deretgeometri) jika • λ <µ, or ρ<1 • Sedemikian:

24. Perhatikan: • Adalahfungsidarisebarangeometrikdenganpeluangsukses: • Sehingga rata-rata jumlahpekerjaandidalamsistemL: • adalahnilaiharapandarisebarangeometrik.

25. SolusibagiL • HasiltsbditerapkanuntukL: • Intensitas traffic: ukuranperformance sistem • L akanberhinggajikaλ <µ, or ρ<1, sebaliknyasistemakan “exploded”.

26. SolusibagiW, WqdanLq

27. Analis model antrian M/M/∞ • Jumlah server yang takhingga • Semuapelanggandalamsistemakansegeradilayaniseketika • l: Lajukedatanganpekerjaan • m: Lajupelayanansetiap server • Jikaterdapatkkedatangankedalam server makalajupelayananakanmenjadikm.

28. Analis model antrian M/M/∞ • Tujuan: Bentuklangsungdaripeluangjumlahpekerjaandidalamsistem (πi) sebagaifungsidarildanm

29. l l l l n-1 n n+1 nm (n+2)m (n-1)m (n+1)m Syarat Equilibrium • πi , i=1, 2, … adalahpeluangekuilbrium Adalahproseskelahirandankematian • Menggunakanhubungannet flow balance:

30. Dstsecararekursif:

31. Denganbatasan: • π0sesuaisyaratdiatasmenjadi:

32. Penyebutadalahderet Taylor: • Sedemikian

33. SolusibagiL • Penerapanhasiltsbuntuk L: • Intensitas Traffic: • L akanberhinggajikaλ <µ, or ρ<1, sebaliknyasistemakan “exploded.”

34. SolusibagiW, Wq and Lq