ALGORITMO DE KRUSKAL Algoritmo polinomial para geração de uma Árvore Geradora Mínima de um grafo conexo

1. Teoria dos Grafos Trabalho Computacional ALGORITMO DE KRUSKAL Algoritmo polinomial para geração de uma Árvore Geradora Mínima de um grafo conexo Hilio Holz Ramon M. Ramos Professora: Maria Claudia Silva Boeres

2. Agenda Árvores, Árvores Geradoras, Árvores Geradoras Mínimas e seus pesos O problema da Árvore Geradora Mínima O algoritmo de Kruskal Estruturas de dados utilizadas Implementações realizadas Complexidade do algoritmo Resultados obtidos Conclusão Hilio Holz e Ramon M. Ramos Algoritmo de Kruskal

3. Árvore O que é? Na teoria dos grafos, uma árvore nada mais é do que um tipo especial de grafo: Árvores são grafos em que não existem ciclos! Uma árvore Um grafo comum com ciclos Hilio Holz e Ramon M. Ramos Algoritmo de Kruskal

4. Árvore Geradora O que é? Uma árvore é dita geradora se ela interliga (direta ou indiretamente) todos os nós do grafo. Hilio Holz e Ramon M. Ramos Algoritmo de Kruskal

5. Árvore Geradora Mínima – AGM O que é? Uma Árvore Geradora Mínima - AGM, ou Minimum Spanning Tree - MST, de um grafo com pesos nas arestas (grafo valorado) é qualquer árvore geradora do grafo que tenha peso mínimo. Vale frisar.. Localizar uma AGM só é possível em grafos valorados, ou seja, com pesos nas arestas. Hilio Holz e Ramon M. Ramos Algoritmo de Kruskal

6. Peso total de uma AGM O que é peso? Peso é o valor dado a cada aresta, podendo representar qualquer valor em um problema real, como custo, fluxo, confiabilidade, etc. Como calcular o peso total? O peso total de uma AGM é dado pela soma dos pesos das arestas da árvore. Peso total da árvore geradora: 1+2+4+6+12 = 25 Hilio Holz e Ramon M. Ramos Algoritmo de Kruskal

7. O problema da AGM O problema da Árvore Geradora Mínima – AGM consiste em encontrar, dado um grafo com arestas valoradas, uma estrutura de conexão (árvore) em que todos os nós (geradora) se conectem (direta ou indiretamente) uns aos outros. Essa estrutura deve possuir o menor peso possível, onde o peso é dado pela soma dos pesos das arestas escolhidas (mínima). Como resolver? • Opção 1 – Difícil! formar todas as árvores geradoras possíveis e escolher a de menor peso O matemático Arthur Caley provou que um grafo com N nós possui NN-2 árvores geradoras diferentes. N=4, 16 árvores N=6, 1.296 árvores N=10, 100.000.000 árvores Apenas 1 árvore mínima • Opção 2 – Melhor Usar um algoritmo específico para esta tarefa... Hilio Holz e Ramon M. Ramos Algoritmo de Kruskal

8. Algoritmos possíveis de AGM Há quatro possibilidades conhecidas Algoritmo de Kruskal. Algoritmo de Prim. Algoritmo Reverse-Delete. Algoritmo de Borůvka. Esta apresentação se limita a demonstrar o comportamento do Algoritmo de Kruskal Hilio Holz e Ramon M. Ramos Algoritmo de Kruskal

9. O algoritmo de Kruskal História Este algoritmo apareceu pela primeira vez no jornal Proceedings of the American Mathematical Society, em 1956, e foi escrito por Joseph Bernard Kruskal, Jr. Objetivo Resolver o problema de AGM para grafos conexos. Para grafos desconexos encontra a Floresta Geradora Mínima. O que é Floresta Geradora Mínima? É o mesmo princípio das AGM só que para grafos desconexos. Uma Floresta Geradora Mínima é composta pelo conjunto de árvores geradoras mínimas de cada componente conexo. Hilio Holz e Ramon M. Ramos Algoritmo de Kruskal

10. Funcionamento Lê todas as arestas Ordena em ordem crescente Seleciona cada aresta na ordem • Verifica: • Se forma ciclo, descarta • Senão adiciona à arvore Hilio Holz e Ramon M. Ramos Algoritmo de Kruskal

11. Programa exemplo Clicar na figura para abrir o programa... Hilio Holz e Ramon M. Ramos Algoritmo de Kruskal

12. Estrutura de dados Estruturas de dados utilizadas Matriz de Adjacência com pesos Lista de Arestas Algoritmo implementado utilizando Conjuntos Disjuntos Hilio Holz e Ramon M. Ramos Algoritmo de Kruskal

13. Matriz de Adjacência • Arestas nulas representadas com 999 • Alocado somente metade da matriz • Sem ordenação! • Não façam isso em casa! Hilio Holz e Ramon M. Ramos Algoritmo de Kruskal

14. 1 5 2 2 4 7 3 4 10 5 V1 : 1 V2 : 2 Custo : 5 V1 : 1 V2 : 5 Custo : 7 V1 : 1 V2 : 3 Custo : 2 V1 : 3 V2 : 2 Custo : 4 V1 : 3 V2 : 5 Custo : 10 Lista de Arestas • Não representa arestas inexistentes • Não consegue representar grafos desconexos Hilio Holz e Ramon M. Ramos Algoritmo de Kruskal

15. Conjuntos Disjuntos • Conjuntos de objetos conectados • Objetos • Conjuntos Disjuntos • Find • Union Hilio Holz e Ramon M. Ramos Algoritmo de Kruskal

16. Conjuntos Disjuntos - Quick Find • Estrutura de Dados • Vetor de inteiros id[ ] de tamanho N • Dois vértices são de mesmo conjunto se tem o mesmo id. • Find: Retornar o id do nó • Union: Para mesclar conjuntos contendo p e q, muda-se todas as entradas com id[p] para id[q] Hilio Holz e Ramon M. Ramos Algoritmo de Kruskal

17. Conjuntos Disjuntos - Quick Union • Estrutura de Dados • Vetor de inteiros id[ ] de tamanho N • id[i] é o pai de i • Find: Procurar recursivamente até id[i] =i • Union: mudar o id da raiz de um dos conjuntos Hilio Holz e Ramon M. Ramos Algoritmo de Kruskal

18. Heurística 1 - União por Ordenação • Objetivo Evitar árvores compridas. • Union: A raiz de menor ordem aponta para a raiz de maior ordem. Hilio Holz e Ramon M. Ramos Algoritmo de Kruskal

19. Heurística 2 - Compressão de Caminho • Find: Fazer cada nó no caminho apontar diretamente para a raiz. Hilio Holz e Ramon M. Ramos Algoritmo de Kruskal

20. Implementação – Complexidade • Make Sets • Ordenação • Find's + Union's Hilio Holz e Ramon M. Ramos Algoritmo de Kruskal

21. Implementação • Linguagem • C • Testes • Grafos • Esparsos • Densos • Completos • Número de Vértices variando de 50 a 2000 (de 50 em 50) Hilio Holz e Ramon M. Ramos Algoritmo de Kruskal

22. Resultados – Grafos Esparsos Hilio Holz e Ramon M. Ramos Algoritmo de Kruskal

23. Resultados – Grafos Densos Hilio Holz e Ramon M. Ramos Algoritmo de Kruskal

24. Resultados – Grafos Completos Hilio Holz e Ramon M. Ramos Algoritmo de Kruskal

25. Exemplo • Ex:Problema realmente grande • 109 vértices e 1010 arestas • Aplicação das heurísticas reduz o tempo de 3000 anos para 1 minuto em relação ao Quick-FindFonte: http://www.cs.princeton.edu/~rs/AlgsDS07/01UnionFind.pdf Hilio Holz e Ramon M. Ramos Algoritmo de Kruskal

26. Conclusão • Ordenação tem efeito muito importante • 'Quick Union + heurísticas' é implementação assintoticamente mais rápida conhecida • Bons Algoritmos tornam as soluções possíveis Hilio Holz e Ramon M. Ramos Algoritmo de Kruskal

27. Obrigado! Dúvidas / Perguntas? Hilio Holz e Ramon M. Ramos Algoritmo de Kruskal