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Guass legendre - ea

methode de quadrature d'intu00e9gration numerique

Elyass
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Presentation Transcript

  1. Quadrature de Gauss Quadrature de Gauss (Gauss (Gauss- -Legendre) Legendre) ? ? ?=? ∫ ?(?)? ?? ? ≅∑ ?? ∗ ?(??) w w : : fonction de pondération (pour Legendre Notre algorithme consiste à approcher f(x) sont intégral mais mais sur [ [- -1 1 ;1] t = (?−? (pour Legendre w=1 w=1) ) f(x)≅ ?(?) ?? ???????? , donc on peut approcher ;1] , donc on a besoins d’un changement de variable : ?? +?+? dt = dt = ?−? t = ( ?) [a [a ; b] ; b]  & & ???  [ [- -1 1 ; 1] ; 1] EA

  2. ? −? Wi Wi : : poids 1 −1 1 −1 ? ?=1 ? ?=? ?(?) ?? =∑ = =∑ ≅ ∫ ?(?) ?? ?(??) ??(?) ?? ?(??) ∗ ?? ∫ ∫ ? −? (?−??) ??(?)?? Wi Wi = =∫ ( ( Li= ? ?=? ?≠? Li=∏ ) ) (1) (1) (??−??) Xi Xi: nœuds appartiennent à R et sont uniques .Et sont les racines de polynôme de Legendre Legendre (sont toujours situées entre -1 et 1). ?(?) ???[(??− ?)?] n=0 : P0(x)=1  pas de racine n=1 : P1(x)=x  X=0 n=2 n=2 : : P P2 2(x) (x) = =? √? n=3 n=3 : : P P3 3(x) (x) = =? polynôme de ? P Pn n= = ???! ? (???− ?) X X1 1 = = ? = - - ? ; ; X X2 2 = √? ; ; X X1 1 = = − √?,? (2) (2) ? (???− ??) X X1 1 = = √?,? ; ; X X2 2 = = 0 0 (3) (3) EA

  3. Remarque Remarque : : Les poids et les nœuds sont choisit de façons à obtenir des degrés d’extraction les plus grand possible. Le domaine d’intégration et la fonction de pondération déterminent le nbre de quadrature de gauss. La méthode de gauss est exacte pour polynôme de degré <=2n-1. Les subdivisions ne sont pas égales. Newton Newton- - Côtes Côtes Gauss Gauss- -Legendre Legendre a b a -1 1 b L’erreur sera plus petit. EA

  4. Il Il y y a deux chemins pour a deux chemins pour calculer les 1.Soit on impose que f(x)=xi (i=0 ; 1 ; 2…) ? −? of(x)=0 f(x)=0 : : W W1 1+W +W2 2=1 of(x)=x f(x)=x : W : W1 1*X *X1 1+W +W2 2*X of(x)=x f(x)=x2 2 : : W W1 1*(X *(X1 1) )2 2+W of(x)=x f(x)=x3 3 : : W W1 1*(X *(X1 1) )3 3+W Et on résous le système non linéaire ? ? −? C’est pire☹ ; on peut remplacer les Xi Xi et faire sortir les Wi calculer les Wi Wi et les et les Xi Xi : : ?(?) ?? ≅ ???(??) + ???(??)(4 inconnues 4 équations) Pour n=2 Pour n=2 ∫ =1 *X2 2=0 +W2 2*(X +W2 2*(X =0 *(X2 2) )2 2=2/3 *(X2 2) )3 3=0 =2/3 =0 ?(?) ?? ≅ ???(??) + ???(??) + ???(??)(6 inconnues 6 équations) Pour n=3 Pour n=3 ∫ Wi . . EA

  5. 2.On utilise les relations (1, 2, 3) On trouve Pour Pour n=2 n=2 : : W W1 1 = = W Pour n=3 Pour n=3 : : W W1 1 = = W W2 2 = = W3 3 = = 5/9 1 1 5/9 et et W W2 2 = = 8/9 8/9 ووووووووووحرفنو Exemple (Gauss-Legendre) 4 0 t expo (2t) dt = 5216 ,926477 I= ∫ n=2 ? n=3 ? Les erreurs dans chaque cas ? EA

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