Quadratura de Gauss-Legendre

1. Quadratura de Gauss-Legendre Integração Numérica

2. A idéia da Quadratura de Gauss-Legendre é determinar fórmulas de integração que sejam exatas para polinômios de grau ≤ 2n - 1. • Para isso, relaxa-se o critério de Newton-Cotes de que os pontos de integração sejam igualmente espaçados. • Os pontos podem ser escolhidos de tal maneira que a área do trapézio seja a mais próxima possível da área sob a curva. • Graficamente: . . D . C B . A a b

3. Então, considerando dois pontos (n=2), o trabalho é determinar uma fórmula do tipo: • De modo que ela seja exata para polinômios de grau ≤ 3. • Para facilitar os cálculos, façamos uma mudança de variável de x para t, no intervalo [-1,1], representando em:

4. Dizer que a fórmula é exata para polinômios de grau ≤ 3 equivale dizer que a fórmula é exata para • Assim: • I • II • III • IV

5. Podemos reunir I, II, III e IV em um sistema não linear de ordem 4: • Cuja solução é:

6. x (1,b) • Para generalizar o resultado para o intervalo [a, b], precisamos entender como x se relaciona com t: b (-1, a) a -1 1 t • Para relacionar x com t, posso definir uma reta passando pelos pontos (-1, a) e (1, b), Então, tomando a equação da reta, temos que:

8. Para relacionar x com t, posso definir uma reta passando pelos pontos (-1, a) e (1, b), Então, tomando a equação da reta, temos que: • De modo que: • Assim:

9. Exemplo: Calcular usando a quadratura de Gauss Legendre com dois pontos.

10. Exemplo: Calcular usando a quadratura de Gauss Legendre com dois pontos.

11. Fórmula Geral