Matemática Unidad I Tema 2

1. Producto Cartesiano Matemática Unidad I Tema 2 Ética, Valores y Deontología _ Unidad VI _ Capitulo 1

2. Producto Cartesiano Producto Cartesiano. Definición. Sean A y B conjuntos. Al conjunto formado por todos los pares ordenados de primera componente en A y segunda componente en B, se le denota A x B y se le llama producto cartesiano de A y B. Simbólicamente: A x B = {(x, y) / x ∈ A ∧ y ∈ B} En consecuencia: (x, y) ∈ A x B ⇔ x ∈ A ∧ y ∈ B (x, y) ∉ A x B ⇔ x ∉ A ∨ y ∉ B En particular, siendo R el conjunto de los números reales, se tiene: R x R = {(x, y) / x ∈R ∧ y ∈ R }. R x R es el conjunto de todas las parejas de números reales. La representación geométrica de R x R es el plano cartesiano llamado también plano numérico. Se establece una relación biunívoca entre R x R y el conjunto de los puntos del plano geométrico, asociándose de esta forma el par ordenado (x,y) con el punto P(x,y). Ejemplo 1: Sean A = {1, 2} y B = {3, 4, 5} el producto cartesiano A x B será: A x B = {(1, 3),(1, 4),(1, 5),(2, 3),(2, 4),(2, 5)}. - - 1 1 - -

3. Producto Cartesiano Ejemplo 2: Sean A = {x / x ∈R∧1 < x ≤ 3 }, B = {x / x ∈R∧-2 ≤ x < 2 }. Su representación geométrica es: A x B es el conjunto de los puntos interiores al rectángulo PQRS y los puntos que pertenecen a los segmentos PQ y QR. Ejemplo 3: Sean A = {x / x ∈N∧1 ≤ x < 4}, B = {x / x ∈R ∧1 ≤ x ≤ 3}. Representar A x B en el plano cartesiano. - - 2 2 - -

4. Producto Cartesiano Nota: La definición de producto cartesiano puede generalizarse al producto entre n conjuntos A1, A2,..., An. En este caso, al conjunto formado por todas las n-adas ordenadas (a1, a2,..., an) tales que ai∈ Ai con i = 1, 2,..., n, se llama producto cartesiano de A1, A2,..., An y se denota A1 x A2 x ... x An. Propiedades del producto cartesiano. 1) A ⊂ X ∧ B ⊂ Y ⇔ A x B ⊂ X x Y. 2) A x B = 0 ⇔ A = 0 ∨ B = 0. 3) A ≠ B ∧ A x B ≠ 0 ⇒ A x B ≠ B x A. 4) A x (B • C) = (A x B)( A x C). 5) A x ( B + C) = (A x B) + ( A x C ). Demostración de la propiedad 2: Suponga que A x B = 0. Razonando por reducción al absurdo, sí A ≠ 0 y B ≠ 0; entonces existen elementos a y b tales que a ∈ A y b ∈ B. Luego la pareja (a,b) ∈ A x B, en contradicción con la hipótesis de que A x B = 0. Recíprocamente si A = 0, debe ser A x B = 0 pues si se llega a dar que Ax B ≠ 0, existirá (a, b) ∈ A x B entonces a ∈ A en contradicción con la suposición de que A = 0. Análogamente se razona en el caso de que B = 0. Demostración de la propiedad 4: (x, y) ∈ A x (B • C) ⇔ x ∈ A ∧ y ∈B • C. ⇔ x ∈ A ∧ ( y ∈ B ∧ y ∈ C). ⇔ ( x ∈A ∧ y ∈ B) ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ C). ⇔ (x, y) ∈ A x B ∧ (x, y) ∈ A x C. ⇔ (x, y) ∈ (A x B) • (A x C). - - 3 3 - -

5. Producto Cartesiano 3 Número de elementos del producto cartesiano. (Técnicas de conteo). Para conjuntos finitos A y B se tiene: | A x B | = | A| | B| .puesto que: A x B = {(a, b): a ∈ A ∧ b ∈ B}.y para cada una de las | A | elecciones de a en A hay | B| elecciones de b en B para formar el par ordenado (a, b). Ejemplo 4. Sea A = {1, 2, 3, 4} y B = {a, b, c}. Entonces A x B consta de 12 elementos, los cuales se pueden representar por medio de una tabla organizada en la siguiente forma: Para el producto de más de dos conjuntos, se cumple una identidad semejante. Reglas del producto. Para conjuntos finitos A1, A2,..., Ak, se tiene: k | A1x A2x ... x An|= ∏ | Aj | j =1 De manera más general, suponga que un conjunto puede considerarse como un conjunto de k-adas ordenadas de la forma (a1, a2,..., ak) con la siguiente estructura. Hay n1 elecciones posibles de a1. Dado a1, hay n2 elecciones posibles de a2. Dados a1 y a2 hay n3 elecciones posibles de a3. En general dados a1, a2,..., aj-1 hay nj elecciones posibles de aj. Entonces el conjunto tiene n1, n2,..., nk elementos. - - 4 4 - -